Школа №366 из 4 в 5 класс 2022 год вариант 1

Экзамен проходил в 15:00 в субботу 16 апреля 2022. За 45 минут требовалось решить 7 задач.
Темы задач: 2 уравнения, 2 примера, задача на скорость, 2 задачи на геометрию, задача на логику.

1. Найдите значение выражения. Обязательно запишите нужные вычисления:
   1. $15\cdot\bigl(4408 - 5382:26 + 799\bigr)$
   2. $8\text{ ц }4\text{ кг}\;\cdot7 \;-\; 8\text{ т }65\text{ кг}:4$.
      Ответ дайте в тоннах, центнерах, килограммах и граммах.
   
   
   
2. Решите уравнения (проверку делать не надо):
   1. $(x - 37) + 18 = 47$.
   2. $859287 : \bigl(13\cdot x - 610\bigr) = 429$.
   
   
   
3. У треугольника все стороны равны друг другу. На одной из сторон треугольника построен прямоугольник, площадь которого равна 96см^2, а одна из его сторон — 8см. Сторона прямоугольника совпадает со стороной треугольника. Найдите площадь квадрата, периметр которого равен периметру получившейся фигуры. Рассмотрите разные случаи. В ответе перечислите через точку с запятой все возможные варианты.
   
   
4. Лёша нашёл на 13 грибов больше, чем Миша. Зато среди Лёшиных грибов третья часть оказалась червивой, а среди Мишиных — только пятая часть. Сколько червивых грибов нашёл Миша, если Лёша нашёл 36 червивых грибов?
   
   
5. Два Колобка выскочили из своих избушек одновременно навстречу друг другу. Столкнувшись через 4 мин, они покатились в обратные стороны, не останавливаясь и с такими же скоростями. Через 30 с после столкновения они остановились, и расстояние между ними было 26 м. Скорость одного Колобка на 4 м/мин больше скорости другого. На каком расстоянии от своей избушки оказался более быстрый Колобок?
   
   
6. Света перемножила 5 восьмёрок и 11 пятёрок.
   1. Найдите количество цифр в произведении.
   2. Найдите сумму цифр в произведении.
   
   
   
7. Прямоугольник разрезали на три прямоугольника (без остатка), два из которых имеют размеры $7\times11$ и $4\times8$. Какие размеры мог иметь третий прямоугольник? Найдите все варианты. В ответе последовательно перечислите через точку с запятой все возможные пары длин сторон третьего прямоугольника.

Решения задач

1. 1. Найдите значение выражения: $15\cdot\bigl(4408 - 5382:26 + 799\bigr)$.
      Решение:
      Выполним вычисления последовательно:
      1. Деление: $\frac{5382}{26} = 207$
      2. Сложение и вычитание в скобках: $4408 - 207 + 799 = 5000$
      3. Умножение: $15 \cdot 5000 = 75000$
      Ответ: 75000.
      
      
   2. $8\text{ ц }4\text{ кг} \cdot7 - 8\text{ т }65\text{ кг}:4$.
      Решение:
      1. Переведём в килограммы:
         • $8$ ц $4$ кг $= 804$ кг
         • $8$ т $65$ кг $= 8065$ кг
      2. Выполним операции:
         • $804 \cdot 7 = 5628$ кг
         • $\frac{8065}{4} = 2016{,}25$ кг
      3. Разность: $5628 - 2016{,}25 = 3611{,}75$ кг
      4. Переведём обратно: 3 т 6 ц 11 кг 750 г
      Ответ: 3 т 6 ц 11 кг 750 г.
   
   
   
2. 1. Решите уравнение: $(x - 37) + 18 = 47$.
      Решение:
      1. Упрощаем: $x - 37 = 47 - 18 = 29$
      2. Решение: $x = 29 + 37 = 66$
      Ответ: 66.
      
      
   2. Решите уравнение: $859287 : (13x - 610) = 429$.
      Решение:
      1. Перепишем: $13x - 610 = \frac{859287}{429} = 2003$
      2. Уравнение: $13x = 2003 + 610 = 2613$
      3. Решение: $x = \frac{2613}{13} = 201$
      Ответ: 201.
   
   
   
3. Площадь прямоугольника $96\ \mathrm{см}^2$. Стороны прямоугольника могут быть:
   1. Если сторона треугольника равна $8$ см: вторая сторона прямоугольника $12$ см. Периметр фигуры:
      • $2 \cdot (8 + 12) + 8 = 56$ см
      • Площадь квадрата со стороной $14$ см: $14^2 = 196\ \mathrm{см}^2$
   2. Если сторона треугольника равна $12$ см: вторая сторона прямоугольника $8$ см. Периметр фигуры:
      • $2 \cdot (12 + 8) + 12 = 64$ см
      • Площадь квадрата со стороной $16$ см: $16^2 = 256\ \mathrm{см}^2$
   Ответ: 196; 256.
   
   
4. Пусть Леша нашёл $3x$ грибов, тогда Миша $(3x - 13)$. Из условия:
   • $3x$ грибов Леши → $x=36$
   • Миша: $\frac{3x -13}{5} = \frac{108 -13}{5} = 19$
   Ответ: 19.
   
   
5. Решение:
   1. Пусть скорость медленного Колобка $v$ (м/мин), тогда быстрого $v+4$.
   2. Расстояние между избушками: $4(v + v +4) = 8v +16$.
   3. После столкновения удаляются с суммарной скоростью $2v +4$.
   4. Через 0,5 мин расстояние: $(2v +4) \cdot 0{,}5 = 26$ → $v =24$.
   5. Быстрый Колобок (скорость $28$ м/мин) до столкновения прошёл $28 \cdot4 =112$ м. После столкновения вернулся $28 \cdot0{,}5=14$ м. Итоговая дистанция: $112 -14 =98$ м.
   Ответ: 98 м.
   
   
6. 1. Произведение: $(8^5) \cdot (5^{11}) = 2^{15} \cdot5^{11} =16 \cdot10^{11}$. Значит:
      • Количество цифр: 14 (16 и 11 нулей).
      Ответ: 14.
      
      
   2. Сумма цифр: $1 +6 =7$. Ответ: 7.
   
   
   
7. Возможные варианты:
   • Если исходный прямоугольник содержит части $7\times11$ и $4\times8$ с общей стороной 4 или 7:
   • Третья часть:
     • Случай 1: $7\times8$ (площадь суммарная 77+32+56=165).
     • Случай 2: $4\times11$ (площадь суммарная 77+32+44=153).
   Ответ: $7\times8$; $4\times11$.