Школа №366 из 4 в 5 класс 2019 год вариант 1

1. Вычислить:
   \(124 + 65 \cdot 31\).
   
   
2. Решить уравнение:
   \(x : 385 = 343\).
   
   
3. Решить уравнение:
   \(17 \cdot x = 6052\).
   
   
4. Вычислить:
   \(3550 - 3630 : 15\).
   
   
5. Вычислить:
   \((15 + 385 \cdot 100) : 5 \cdot 310\).
   
   
6. Вычислить:
   \(27808 : 79 + 51012 : 52\).
   
   
7. Решить уравнение:
   \(x \cdot 213 = 125457\).
   
   
8. Из двух городов, расстояние между которыми 484 км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Скорость одного поезда 45 км/ч. Определите скорость второго поезда, если поезда встретились через 4 часа.
   
   
9. Сколько литров в двух кубических метрах?
   
   
10. Когда маленькая Лариса видит число, то сразу умножает его само на себя, а затем прибавляет к результату 14, после чего громко кричит полученное число. Какое число увидела Лариса, если она громко выкрикнула «пятьдесят»?
    
    
11. Сколько натуральных чисел можно составить из цифр 4, 6 и 0, используя каждую цифру не более, чем по одному разу? Не забудьте доказать свой ответ.
    
    
12. Маша выписала все целые числа от 1 до 200. Сколько нулей написала Маша? Ответ докажите.
    
    
13. Расставьте знаки действий между цифрами так, чтобы равенство \[ 3\,6\,6 = 2\,0\,1\,9 \] получилось верным. Достаточно придумать один способ. Скобки использовать нельзя. Для умножения используйте символ «\(*\)», для деления — «:».
    
    
14. На парковке стоят машины и мотоциклы. У каждой машины 4 колеса, а у каждого мотоцикла по 2. Яша насчитал на парковке 84 колеса и 27 транспортных средств. Сколько на парковке мотоциклов?
    
    
15. Асенька взяла шахматную доску и начала писать на ней числа. На первой клетке она написала число 2, на второй – 4, на третьей – 8, и так далее (на каждой следующей клетке число вдвое больше предыдущего). Всего она написала 64 числа. Потом пришёл её брат Гоша и посчитал сумму всех записанных чисел на доске. У него получилось $368\,000\,000\,004$. Докажите, что кто-то из них ошибся.
    
    

Решения задач

1. Вычислить: \(124 + 65 \cdot 31\).
   Решение: \[ 65 \cdot 31 = 2015 \quad (\text{т.к. } 65 \cdot 30 = 1950, \quad 1950 + 65 = 2015) \] \[ 124 + 2015 = 2139 \] Ответ: 2139.
   
   
2. Решить уравнение: \(x : 385 = 343\).
   Решение: \[ x = 343 \cdot 385 = 343 \cdot 300 + 343 \cdot 80 + 343 \cdot 5 = 102900 + 27440 + 1715 = 132055 \] Ответ: 132055.
   
   
3. Решить уравнение: \(17 \cdot x = 6052\).
   Решение: \[ x = 6052 : 17 = 356 \quad (\text{т.к. } 17 \cdot 356 = 17 \cdot 300 + 17 \cdot 56 = 5100 + 952 = 6052) \] Ответ: 356.
   
   
4. Вычислить: \(3550 - 3630 : 15\).
   Решение: \[ 3630 : 15 = 242 \quad (\text{т.к. } 15 \cdot 242 = 3630) \] \[ 3550 - 242 = 3308 \] Ответ: 3308.
   
   
5. Вычислить: \((15 + 385 \cdot 100) : 5 \cdot 310\).
   Решение: \[ 385 \cdot 100 = 38500, \quad 38500 + 15 = 38515 \] \[ 38515 : 5 = 7703, \quad 7703 \cdot 310 = 7703 \cdot 300 + 7703 \cdot 10 = 2310900 + 77030 = 2387930 \] Ответ: 2387930.
   
   
6. Вычислить: \(27808 : 79 + 51012 : 52\).
   Решение: \[ 27808 : 79 = 352 \quad (\text{т.к. } 79 \cdot 352 = 27808) \] \[ 51012 : 52 = 981 \quad (\text{т.к. } 52 \cdot 981 = 51012) \] \[ 352 + 981 = 1333 \] Ответ: 1333.
   
   
7. Решить уравнение: \(x \cdot 213 = 125457\).
   Решение: \[ x = 125457 : 213 = 589 \quad (\text{т.к. } 213 \cdot 589 = 125457) \] Ответ: 589.
   
   
8. Скорость второго поезда.
   Решение: Сумма скоростей поездов: \[ \displaystyle \frac{484}{4} = 121 \, \text{км/ч} \] Скорость второго поезда: \[ 121 - 45 = 76 \, \text{км/ч} \] Ответ: 76 км/ч.
   
   
9. Литры в двух кубических метрах.
   Ответ: \(1 \, \text{м}^3 = 1000 \, \text{л}\), следовательно \(2 \, \text{м}^3 = 2000 \, \text{л}\).
   
   
10. Число Ларисы.
    Решение: \[ x^2 + 14 = 50 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 36 \quad \Rightarrow \quad x = 6 \] Ответ: 6.
    
    
11. Количество натуральных чисел из цифр 4, 6, 0.
    Решение:
    • Однозначные: 4, 6 (2 числа)
    • Двузначные: 40, 46, 60, 64 (4 числа)
    • Трёхзначные: 406, 460, 604, 640 (4 числа)
    Итого: \(2 + 4 + 4 = 10\) чисел.
    Ответ: 10.
    
    
12. Нули от 1 до 200.
    Решение:
    • Двузначные числа (X0): 10–90 → 9 нулей
    • Числа от 100 до 200:
      • 100–109: два нуля в 100 + девять нулей → 11
      • 110–199: X0 нули единиц (9 чисел) → 9
      • 200: два нуля → 2
      Итого: \(9 + 11 + 9 + 2 = 31\) нулей.
      
    Ответ: 31.
    
    
13. Расстановка знаков: \(3\,6\,6 = 2\,0\,1\,9\).
    Решение: \[ 3^{6} \cdot 6 - \sqrt{36} = 729 \cdot 6 - 6 = 4374 - 6 = 4368 \, (\text{Неверно}) \quad \text{Правильный пример отсутствует} \] Допустимый вариант: \[ 36^{6} : 6 = 2176782336 : 6 = 362797056 \, (\text{Ошибка}) \] Верное решение требует проверки.
    
    
14. Количество мотоциклов на парковке.
    Решение: Пусть \(x\) — количество мотоциклов, тогда машин \(27 - x\): \[ 2x + 4(27 - x) = 84 \quad \Rightarrow \quad 2x + 108 - 4x = 84 \quad \Rightarrow \quad -2x = -24 \quad \Rightarrow \quad x = 12 \] Ответ: 12 мотоциклов.
    
    
15. Ошибка в сумме чисел.
    Решение: Сумма геометрической прогрессии: \[ S = 2 + 4 + 8 + \ldots + 2^{64} = 2(2^{64} - 1) \approx 3.69 \times 10^{19} \] Число, названное Гошей (\(368\,000\,000\,004\)), значительно меньше истинной суммы.
    Ответ: ошибся Гоша.