8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №239 из 9 в 10 класс 2021 вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 2021
СкачатьПечать
youit.school ©
  1. Вычислите: \[ 6\frac{1}{10}\;\cdot\;2{,}391 \;-\; 0{,}109\;\cdot\;1\frac{5}{6} \;-\; 1\frac{5}{6}\;\cdot\;2{,}391 \;+\; 0{,}109\;\cdot\;6\frac{1}{10}. \]
  2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби: \[ \frac{\sqrt{6}} {\sqrt{3} \;-\;\sqrt{6}\;-\;\sqrt{24}\;-\;\sqrt{48}\;+\;\sqrt{108}}. \]
  3. Упростите выражение: \[ \left( \frac{1}{\bigl(a^{\tfrac12}+b^{\tfrac12}\bigr)^{-2}} \;-\; \Bigl(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a^{\tfrac32}-b^{\tfrac32}}\Bigr)^{-1} \right) : \sqrt{ab}. \]
  4. Решите уравнение: \[ \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2} \;+\; \left(\frac{x}{x+5}\right)^{2} \;=\; \frac{2x^2 + 2x}{x^2 + 4x - 5}. \]
  5. Решите уравнение: \[ \sqrt{x + 4} \;=\; x + 1. \]
  6. Решите уравнение: \[ \bigl|\,2x - 3\bigr| \;+\; \bigl|\,2 - x\bigr| \;-\; \bigl|\,x + 4\bigr| = 1. \]
  7. Решите неравенство: \[ \frac{(x^2 + 4x - 1)\,(x^2 + 8x + 16)} {(x^2 - x)\,(x^2 + 16x + 64)} \;\ge\; 0. \]
  8. Пусть дана функция \[ f(x) = \frac{1 - \lvert x - 2\rvert}{x}. \]
    1. Постройте график функции \(y = f(x)\).
    2. Решите неравенство \(\displaystyle f(x) \le \tfrac{3}{2}.\)
    3. Сколько корней имеет уравнение \(\displaystyle f(x) = a\) в зависимости от параметра \(a\)?
  9. При каких значениях параметра \(b\) число \(-1\) заключено между корнями уравнения \[ \bigl(4 - b^2\bigr)x^2 - (3b - 1)x + 7 = 0? \]
  10. Найдите сумму всех трёхзначных чисел, делящихся на \(7\), но не делящихся на \(5\).
  11. Фляга наполнена \(96\%\)-ным раствором соляной кислоты. Из неё отлили \(12\) л кислоты и долили флягу водой. Затем из фляги отлили ещё \(18\) л и снова долили водой, после чего концентрация кислоты во фляге составила \(32\%\). Найдите объём фляги.
  12. Вычислите \(\cos 2\alpha\), если \(\ctg \alpha = 0{,}5\).
  13. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) (\(AB = BC\)), \(AB = 13\), \(AC = 10\):
    1. найдите высоту треугольника \(ABC\), проведённую из вершины \(C\);
    2. найдите радиус вписанной окружности треугольника \(ABC\);
    3. найдите радиус описанной окружности треугольника \(ABC\);
    4. в треугольник вписан прямоугольник \(KLMN\) (\(LM = 2\,KL\)) так, что точки \(K\) и \(L\) лежат на стороне \(AC\), а точки \(M\) и \(N\) — на сторонах \(BC\) и \(AB\) соответственно. Найдите длину \(KL\).
  14. \(PK\) — основание равнобедренного треугольника \(SPK\). Точка \(F\) лежит на \(PK\), \(PF = 1\), \(FK = 3\). Окружности, вписанные в треугольники \(PSF\) и \(FSK\), касаются \(SF\) в точках \(E\) и \(O\) соответственно. Найдите длину отрезка \(OE\).
  15. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки длины \(15\) и \(20\).

Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: \[ 6\frac{1}{10}\;\cdot\;2{,}391 \;-\; 0{,}109\;\cdot\;1\frac{5}{6} \;-\; 1\frac{5}{6}\;\cdot\;2{,}391 \;+\; 0{,}109\;\cdot\;6\frac{1}{10} \]
    Решение: Группируем слагаемые: \[ (6{,}1 \cdot 2{,}391 - 1\frac{5}{6} \cdot 2{,}391) + (0{,}109 \cdot 6{,}1 - 0{,}109 \cdot 1\frac{5}{6}) \] Выносим общие множители: \[ 2{,}391\,(6{,}1 - \frac{11}{6}) + 0{,}109\,(6{,}1 - \frac{11}{6}) \] Вычисляем выражение в скобках: \[ 6{,}1 - \frac{11}{6} = \frac{64}{15} \] Получаем: \[ \frac{64}{15}\,(2{,}391 + 0{,}109) = \frac{64}{15} \cdot 2{,}5 = \frac{64 \cdot 5}{15 \cdot 2} = \frac{32}{3} \] Ответ: $\frac{32}{3}$.

  2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби: \[ \frac{\sqrt{6}} {\sqrt{3} \;-\;\sqrt{6}\;-\;\sqrt{24}\;-\;\sqrt{48}\;+\;\sqrt{108}} \]
    Решение: Упростим знаменатель: \[ \sqrt{3} - \sqrt{6} - 2\sqrt{6} - 4\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = 3\sqrt{3} - 3\sqrt{6} = 3(\sqrt{3} - \sqrt{6}) \] Домножим числитель и знаменатель на $(\sqrt{3} + \sqrt{6})$: \[ \frac{\sqrt{6}(\sqrt{3} + \sqrt{6})}{3(\sqrt{3} - \sqrt{6})(\sqrt{3} + \sqrt{6})} = \frac{\sqrt{18} + 6}{3(3 - 6)} = \frac{3\sqrt{2} + 6}{-9} = -\frac{\sqrt{2} + 2}{3} \] Ответ: $-\dfrac{\sqrt{2} + 2}{3}$.

  3. Упростите выражение: \[ \left( \frac{1}{\bigl(a^{\tfrac12}+b^{\tfrac12}\bigr)^{-2}} \;-\; \Bigl(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a^{\tfrac32}-b^{\tfrac32}}\Bigr)^{-1} \right) : \sqrt{ab} \]
    Решение: Преобразуем первое слагаемое: \[ \frac{1}{(a^\tfrac{1}{2} + b^\tfrac{1}{2})^{-2}} = (a^\tfrac{1}{2} + b^\tfrac{1}{2})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b \] Второе слагаемое: \[ \left(\frac{a^\tfrac{3}{2} - b^\tfrac{3}{2}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}\right) = (\sqrt{a})^3 - (\sqrt{b})^3 = a + \sqrt{ab} + b \] Объединяем: \[ \left((a + 2\sqrt{ab} + b) - (a + \sqrt{ab} + b)\right) : \sqrt{ab} = \sqrt{ab} : \sqrt{ab} = 1 \] Ответ: 1.

  4. Решите уравнение: \[ \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{2} \;+\; \left(\frac{x}{x+5}\right)^{2} \;=\; \frac{2x^2 + 2x}{x^2 + 4x - 5} \]
    Решение: Умножаем обе части на общий знаменатель $(x-1)^2(x+5)^2$: \[ (x+1)^2(x+5)^2 + x^2(x-1)^2 = 2x(x+1)(x-1)(x+5) \] Упрощаем левую часть: \[ (x^4 + 12x^3 + 46x^2 + 60x + 25) + x^4 - 2x^3 + x^2 = 2x^4 + 10x^3 - 2x^2 - 10x \] Сводим к уравнению: \[ 49x^2 + 70x + 25 = 0 \implies x = -\frac{5}{7} \] Ответ: $-\dfrac{5}{7}$.

  5. Решите уравнение: \[ \sqrt{x + 4} \;=\; x + 1 \]
    Решение: Возводим в квадрат: \[ x + 4 = x^2 + 2x + 1 \implies x^2 + x - 3 = 0 \] Корни: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2} \] Проверка показывает, что подходит только $x = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}$. Ответ: $\dfrac{-1 + \sqrt{13}}{2}$.

  6. Решите уравнение: \[ \bigl|\,2x - 3\bigr| \;+\; \bigl|\,2 - x\bigr| \;-\; \bigl|\,x + 4\bigr| = 1 \]
    Решение: Рассматриваем интервалы:
    • При $x \leq -4$: $9 - 2x = 1 \implies x = 4$ (не подходит).
    • При $-4 < x \leq 1{,}5$: $-4x + 1 = 1 \implies x = 0$.
    • При $1{,}5 < x \leq 2$: $-5 = 1$ (нет решений).
    • При $x > 2$: $2x - 9 = 1 \implies x = 5$.
    Ответ: $0; 5$.

  7. Решите неравенство: \[ \frac{(x^2 + 4x - 1)\,(x^2 + 8x + 16)} {(x^2 - x)\,(x^2 + 16x + 64)} \;\ge\; 0 \]
    Решение: Преобразуем выражение: \[ \frac{(x^2 + 4x -1)(x+4)^2}{x(x-1)(x+8)^2} \geq 0 \] Нули числителя: $x = -2 \pm \sqrt{5}$, $x = -4$. Знаменатель: $x = 0$, $x = 1$, $x = -8$.
    Решение: $x \in (-\infty, -8) \cup (-8, -2 - \sqrt{5}] \cup \{-4\} \cup [-2 + \sqrt{5}, 0) \cup (1, \infty)$. Ответ: $x \in (-\infty, -8) \cup (-8, -2 - \sqrt{5}] \cup \{-4\} \cup [-2 + \sqrt{5}, 0) \cup (1, \infty)$.

  8. Пусть дана функция \[ f(x) = \frac{1 - \lvert x - 2\rvert}{x}. \]
    1. График функции имеет две ветви с вершинами в точках $(0{,}5; 0)$ и $(1; -1)$.
    2. Неравенство $f(x) \leq \tfrac{3}{2}$ решений не имеет.
    3. Уравнение $f(x) = a$ имеет два корня при $a > 1$, один корень при $a = 1$, нет корней при $a < -1$.


  9. При $b \in (-\sqrt{31}/2, \sqrt{31}/2)$ число $-1$ заключено между корнями уравнения.

  10. Сумма трёхзначных чисел, делящихся на 7, но не на 5: $56231$.

  11. Объём фляги: $36$ литров.

  12. $\cos 2\alpha = 0{,}6$.

  13. В треугольнике $ABC$:
    1. Высота: $12$.
    2. Радиус вписанной окружности: $3$.
    3. Радиус описанной окружности: $\dfrac{169}{16}$. \
    4. Длина $KL$: $2$.


  14. Длина отрезка $OE$: $1$.

  15. Площадь треугольника: $150$.
Материалы школы Юайти