8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №239 из 9 в 10 класс 2021 вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2021
СкачатьПечать
youit.school ©

2021 год


  1. Вычислите: \[ 74,7\cdot\frac{2}{21} +\bigl(-105,3\bigr)\cdot2\frac{3}{7} \;-\; \bigl(-105,3\bigr)\cdot\frac{2}{21} \;-\; 2\frac{3}{7}\cdot74,7. \]
  2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби: \[ \frac{10}{\sqrt{5} - \sqrt{10} + \sqrt{20} + \sqrt{40} - \sqrt{80}}. \]
  3. Упростите выражение: \[ \frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} :\bigl((x^4 - y^4)^{-1} + (x^4 + y^4)^{-1}\bigr)^{-2}. \]
  4. Решите уравнение: \[ 2\!\left(\frac{x-1}{x+2}\right)^{2} \;-\; \left(\frac{x+1}{x-2}\right)^{2} \;=\; \frac{x^2 - 1}{x^2 - 4}. \]
  5. Решите уравнение: \[ \sqrt{7 - x} = x - 2. \]
  6. Решите уравнение: \[ \bigl|x + 3\bigr| \;-\; \bigl|5 - x\bigr| \;+\; \bigl|2x - 5\bigr| = 6. \]
  7. Решите неравенство: \[ \frac{(x^2 - 4x - 1)\,(x^2 - 8x + 16)} {(x^2 + x)\,(x^2 - 16x + 64)} \;\ge\;0. \]
  8. Пусть дана функция \[ f(x) = \frac{2 - \lvert x + 3\rvert}{x}. \]
    1. Постройте график функции \(y = f(x)\).
    2. Решите неравенство \(\displaystyle f(x) \;\ge\; -\frac{3}{2}.\)
    3. Сколько корней имеет уравнение \(\displaystyle f(x) = a\) в зависимости от значения \(a\)?
  9. При каких значениях параметра \(a\) число \(1\) заключено между корнями уравнения \[ \bigl(a^2 - 1\bigr)x^2 + (2a + 1)x - 3 = 0. \]
  10. Найдите сумму всех трёхзначных чисел, делящихся на \(5\), но не делящихся на \(7\).
  11. Из бутылки, наполненной \(12\%\)-ным раствором соли, отделили \(1\) л и долили бутылью водой, затем отлили ещё литр и опять долили водой. В бутылке оказался \(3\%\)-ный раствор соли. Какова вместимость бутылки?
  12. Вычислите \(\sin 2\alpha\), если \(\tg\alpha = 3\).
  13. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) (\(AB = BC\)), \(AB = 25\), \(AC = 14\):
    1. найдите высоту треугольника \(ABC\), проведённую из вершины \(C\);
    2. найдите радиус вписанной окружности треугольника \(ABC\);
    3. найдите радиус описанной окружности треугольника \(ABC\);
    4. в треугольник вписан прямоугольник \(KLMN\) (\(LM = 2\,KL\)) так, что точки \(K\) и \(L\) лежат на стороне \(AC\), а точки \(M\) и \(N\) — на сторонах \(BC\) и \(AB\) соответственно. Найдите длину \(KL\).
  14. \(AC\) — основание равнобедренного треугольника \(ABC\). Точка \(D\) лежит на \(AC\), \(AD = 4\), \(DC = 3\). Окружности, вписанные в \(\triangle ABD\) и \(\triangle DBC\), касаются \(BD\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно. Найдите длину отрезка \(MN\).
  15. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки длины \(3\) и \(4\).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: \[ 74,7\cdot\frac{2}{21} +\bigl(-105,3\bigr)\cdot2\frac{3}{7} \;-\; \bigl(-105,3\bigr)\cdot\frac{2}{21} \;-\; 2\frac{3}{7}\cdot74,7. \] Решение: Сгруппируем слагаемые: \[ = 74,7\left(\frac{2}{21} - 2\frac{3}{7}\right) + (-105,3)\left(2\frac{3}{7} - \frac{2}{21}\right) \] Переведём дроби: \[ 2\frac{3}{7} = \frac{17}{7}; \quad \frac{17}{7} - \frac{2}{21} = \frac{51 - 2}{21} = \frac{49}{21} = \frac{7}{3} \] Вычисляем: \[ 74,7 \cdot \left(-\frac{49}{21}\right) + (-105,3) \cdot \frac{7}{3} = -74,7 \cdot \frac{7}{3} - 105,3 \cdot \frac{7}{3} \] \[ = -\frac{7}{3}(74,7 + 105,3) = -\frac{7}{3} \cdot 180 = -420 \] Ответ: -420.

  2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби: \[ \frac{10}{\sqrt{5} - \sqrt{10} + \sqrt{20} + \sqrt{40} - \sqrt{80}}. \] Решение: Упростим знаменатель: \[ \sqrt{20} = 2\sqrt{5}; \sqrt{40} = 2\sqrt{10}; \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \] Подставим: \[ \sqrt{5} - \sqrt{10} + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{10} - 4\sqrt{5} = (1+2-4)\sqrt{5} + (-1+2)\sqrt{10} = -\sqrt{5} + \sqrt{10} \] Тогда дробь: \[ \frac{10}{\sqrt{10} - \sqrt{5}} = \frac{10(\sqrt{10} + \sqrt{5})}{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{10(\sqrt{10}+\sqrt{5})}{5} = 2(\sqrt{10}+\sqrt{5}) \] Ответ: \(2(\sqrt{10} + \sqrt{5})\).

  3. Упростите выражение: \[ \frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} :\bigl((x^4 - y^4)^{-1} + (x^4 + y^4)^{-1}\bigr)^{-2}. \] Решение: Упростим первую дробь: \[ \frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \sqrt{x} - \sqrt{y} \] Степенные выражения: \[ (x^4 - y^4)^{-1} + (x^4 + y^4)^{-1} = \frac{1}{(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)} + \frac{1}{x^4 + y^4} \] После приведения к общему знаменателю: \[ \frac{2x^4}{(x^4 - y^4)(x^4 + y^4)} = \frac{2x^4}{x^8 - y^8} \] Возведём в квадрат: \[ \left(\frac{2x^4}{x^8 - y^8}\right)^{-2} = \frac{(x^8 - y^8)^2}{4x^8} \] Итоговое выражение: \[ (\sqrt{x} - \sqrt{y}) \cdot \frac{(x^8 - y^8)^2}{4x^8} = \frac{(x - y)(x^8 - y^8)^2}{4x^8(\sqrt{x} + \sqrt{y})} \] Ответ: \(\frac{(x - y)(x^8 - y^8)^2}{4x^8(\sqrt{x} + \sqrt{y})}\).

  4. Решите уравнение: \[ 2\!\left(\frac{x-1}{x+2}\right)^{2} \;-\; \left(\frac{x+1}{x-2}\right)^{2} \;=\; \frac{x^2 - 1}{x^2 - 4}. \] Решение: Замена \(a = \frac{x-1}{x+2}\), \(b = \frac{x+1}{x-2}\). Уравнение: \[ 2a^2 - b^2 = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)} \] Подстановки: \[ a = \frac{x-1}{x+2}, \quad b = \frac{x+1}{x-2} \] Преобразования приводят к линейному уравнению \(x = 1\). Проверка не нарушает ОДЗ. Ответ: \(x = 1\).

  5. Решите уравнение: \[ \sqrt{7 - x} = x - 2. \] Решение: Возведем в квадрат: \[ 7 - x = (x - 2)^2 \Rightarrow x^2 - 3x - 3 = 0 \] Корни \(x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}\). Проверка: подходит \(x = \frac{3 + \sqrt{21}}{2}\). Ответ: \(\frac{3 + \sqrt{21}}{2}\).

  6. Решите уравнение: \[ \bigl|x + 3\bigr| \;-\; \bigl|5 - x\bigr| \;+\; \bigl|2x - 5\bigr| = 6. \] Решение: Рассмотрим случаи по точкам излома \(x = -3, 2.5, 5\):
    • \(x < -3\): \(-x-3 - (5 - x) + (-2x +5) = -x-3-5+x-2x+5 = -2x -3 =6 \Rightarrow x = -4.5\)
    • \(-3 \le x < 2.5\): \(x+3 - (5 -x) -2x +5 = x+3-5+x-2x+5=3 \neq6\) – нет решений.
    • \(2.5 \le x <5\): \(x+3 - (5 -x) +2x -5 =4x -7=6 \Rightarrow x=3.25\)
    • \(x \ge5\): \(x+3 - (x-5) +2x-5 =2x+3=6 \Rightarrow x=1.5\) – не подходит.
    Ответ: \(x = -4.5\) и \(x = 3.25\).

  7. Решите неравенство: \[ \frac{(x^2 - 4x - 1)\,(x^2 - 8x + 16)} {(x^2 + x)\,(x^2 - 16x + 64)} \;\ge\;0. \] Решение: Разложим множители: \[ \frac{(x^2 -4x -1)(x-4)^2}{x(x+1)(x-8)^2} \ge0 \] Корни числителя: \(x = 4\), \(x = 2 \pm \sqrt{5}\). Знаменатель: \(x=0, -1,8\). Метод интервалов даёт решение \(x \in [-1,0) \cup [2-\sqrt{5},2+\sqrt{5}] \cup \{4\} \cup (8,+\infty)\). Ответ: \(x \in [-1,0) \cup [2-\sqrt{5},2+\sqrt{5}] \cup \{4\} \cup (8,+\infty)\).

  8. Функция \(f(x) = \frac{2 - \lvert x + 3\rvert}{x}\).
    1. График состоит из двух ветвей гипербол с выколотой точкой при \(x=0\).
    2. Решаем неравенство \(\frac{2 - |x+3|}{x} \ge -\frac{3}{2}\). После преобразований: \(-3x \le 2 - |x+3|\). Рассматриваем случаи \(x+3\ge0\) и \(x+3<0\). Решение: \(x \in (-\infty,-6] \cup (-3,0) \cup [2,+\infty)\). \tip{Ответ: \(x \in (-\infty,-6] \cup (-3,0) \cup [2,+\infty)\)}
    3. Число корней \(f(x)=a\):
      • \(a >0\): 1 корень;
      • \(a=0\): нет корней;
      • \(-1 \le a <0\): 2 корня;
      • \(a < -1\): нет корней.


  9. Параметр \(a\) для уравнения \((a^2 -1)x^2 + (2a +1)x -3 =0\). Условие: \(f(1) <0 \Rightarrow (a^2 -1) +2a +1 -3 <0 \Rightarrow a^2 +2a -3 <0\). Решение: \(a \in (-3,1)\). Учитывая \(a^2 -1 \ne0\), ответ: \(a \in (-3,1) \setminus \{-1\}\). Ответ: \(a \in (-3,1) \setminus \{-1\}\).

  10. Сумма трёхзначных чисел, делящихся на 5, но не на 7. Арифметическая прогрессия: \(100,105,...,995\). Число членов: \(n = \frac{995-100}{5} +1 =180\). Сумма: \(\frac{100 +995}{2} \cdot180=99450\). Вычитаем числа кратные 35: \(105,140,...,980\). Их количество: \(\frac{980-105}{35}+1=26\). Сумма: \(\frac{105+980}{2}\cdot26=14075\). Ответ: \(99450 -14075=85375\).

  11. Вместимость бутылки \(V\). После двух замен: \[ \left(\frac{12}{100} \cdot \frac{V-1}{V}\right)^2 = \frac{3}{100} \] Решение: \(V^2 -5V +4=0\). Корни \(V=1\) и \(V=4\). Выбираем \(V=4\) л. Ответ: 4 л.

  12. \(\sin2\alpha= \frac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\). Ответ: \(\frac{3}{5}\).

  13. Треугольник \(ABC\) (\(AB=BC=25\), \(AC=14\)):
    1. Высота из \(C\): \(h = \sqrt{25^2 -7^2} =24\).
    2. Радиус вписанной \(r = \frac{S}{p} = \frac{14\cdot24/2}{(25+25+14)/2} = \frac{168}{32} =5.25\).
    3. Радиус описанной \(R = \frac{abc}{4S} = \frac{25\cdot25\cdot14}{4\cdot168}= \frac{8750}{672} \approx13.02\).
    4. Пусть \(KL=x\), высота прямоугольника \(2x\). Из подобия: \(x= 14\cdot \frac{24 -2x}{24}\). Решение: \(x=6\).
    Ответы: (a) 24; (b) 5.25; (c)≈13.02; (d)6.

  14. Длина \(MN\) равна разности радиусов вписанных окружностей. Радиус \(r = \frac{S}{p}\). Для треугольников \(ABD\) и \(CBD\) расчёты дают \(MN = 0.5\). Ответ: 0.5.

  15. Биссектриса делит гипотенузу 3:4. Используя теорему биссектрисы: \(c =7\), \(a/b =3/4\). Решая, \(a=3k\), \(b=4k\), \(c=5k=7\). Тогда площадь \(S= \frac{1}{2}ab =6k^2=6\cdot(49/25)=294/25=11.76\). Ответ: \(\frac{294}{25}\).
Материалы школы Юайти