8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 9 в 10 класс 2019 вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 2019
Печать
youit.school ©
Лицей 239

2019 год

Вариант 2-2

  1. Упростите выражение: \[ \frac{a^2 + 9a + 20}{\sqrt{a^2 + 8a + 16}} + \frac{a^2 + 8a + 12}{\sqrt{a^2 + 4a + 4}}, \] если \(-4 < a < -2\).
  2. Вычислите: \[ \Bigl(\frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{11}} + \frac{1}{\sqrt{10} - 3}\Bigr) \;\colon\; \Bigl(1 + \frac{\sqrt{11}}{3}\Bigr). \]
  3. Решите уравнение: \[ \Bigl(\frac{x+1}{x-1}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{x}{x+5}\Bigr)^2 = \frac{2x^2 + 2x}{x^2 + 4x - 5}. \]
  4. Решите неравенство: \[ \frac{\lvert x - 3\rvert\,(4x^2 + 7x - 2)}{10 + 3x - x^2} \;\le\; 0. \]
  5. Числа \(a_1,a_2,\dots,a_{19}\) образуют арифметическую прогрессию. Известно, что удвоенная сумма членов этой прогрессии с чётными номерами на 10 больше суммы всех членов. Найдите \(a_{13}\), если \(a_3 = 2a_4\).
  6. Постройте график функции \[ y = \frac{3x^2 - 6x}{\lvert x - 1\rvert - 1} \] и укажите те значения функции, которые она принимает ровно один раз.
  7. Найдите значение выражения \[ \sqrt{13 - a} + \sqrt{6 - a}, \] если \[ \sqrt{13 - a} - \sqrt{6 - a} = 1. \]
  8. Может ли парабола, приведённая на рисунке (абсцисса её вершины равна 3), быть графиком функции
    \[ y = a(x - 2)(x - 5), \quad a \neq 0? \]
  9. В каждом из двух ящиков лежит по 40 кубиков. Число жёлтых кубиков в обоих ящиках равно 14, остальные кубики — зелёные. Сколько зелёных кубиков лежит в каждом ящике, если в первом ящике на каждый жёлтый кубик приходится в 3 раза меньше зелёных кубиков, чем во втором?
  10. В треугольнике $ABC$: $\angle A = 26^\circ$, $\angle B = 70^\circ$. Найдите угол между прямой, содержащей высоту, проведённую из вершины $B$, и прямой, содержащей биссектрису внешнего угла при вершине $C$.
  11. В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно 41 и 13. Боковая сторона $AB = 17$, а $CD = 25$. Найдите площадь трапеции.
  12. В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 6$, $BC = 3$, $AC = 5$. На стороне $AB$ взята точка $M$ так, что $\tfrac{AM}{MB} = \tfrac15$. Найдите отрезок $CM$.
  13. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 3 и 10. Найдите катеты треугольника.
  14. В треугольнике $ABC$: $\cos \angle C = \tfrac{\sqrt7}{4}$, $AB = BC = 8$. Найдите высоту $BH$ этого треугольника.
  15. Даны две параллельные прямые, на одной из которых отмечено 5 точек, а на другой — 4 точки. Сколько существует различных треугольников с вершинами в этих точках?
  16. Дано $(a-1)(b-1)=2ab$. Найдите числовое значение выражения \[ \frac{(a^2 - 1)(b^2 - 1)}{ab}. \]
  17. Функция $f$ нечётная и для любого $x$ выполнено \[ 3f(x-1) + 2f(x-5) = 2x + 1. \] Найдите $f(2)$.
  18. При каком наименьшем натуральном $n$ все дроби \[ \frac{6}{n+8},\;\frac{7}{n+9},\;\dots,\;\frac{29}{n+31} \] одновременно несократимы?
  19. Придумайте многочлен второй степени $f(x)$ такой, что \[ f(1)=1,\quad f(2)=8,\quad f(4)=64. \]
  20. Про функцию $f$ известно: \[ f(a;b;c) + f(d;b;c) = f(a+d; b; c) + 2bc, \] а также \[ f(a;b;c)=f(b;a;c)=f(c;b;a),\quad f(2;3;5)=62. \] Найдите:
    1. $f(3;4;5)$;
    2. $f(4;6;10)$.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростите выражение: \[ \frac{a^2 + 9a + 20}{\sqrt{a^2 + 8a + 16}} + \frac{a^2 + 8a + 12}{\sqrt{a^2 + 4a + 4}}, \] если \(-4 < a < -2\).

    Решение: Подкоренные выражения: \[ \sqrt{a^2 + 8a + 16} = |a + 4| = -(a + 4), \quad \sqrt{a^2 + 4a + 4} = |a + 2| = -(a + 2) \] Упрощаем дроби: \[ \frac{(a+5)(a+4)}{-(a+4)} + \frac{(a+6)(a+2)}{-(a+2)} = -(a+5) - (a+6) = -2a -11 \] Ответ: \(-2a - 11\).

  2. Вычислите: \[ \Bigl(\frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{11}} + \frac{1}{\sqrt{10} - 3}\Bigr) \;\colon\; \Bigl(1 + \frac{\sqrt{11}}{3}\Bigr). \] Решение: Рационализируем знаменатели: \[ \frac{1}{\sqrt{10}+\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{10}-\sqrt{11}}{\sqrt{10}-\sqrt{11}} = \sqrt{11} - \sqrt{10} \] \[ \frac{1}{\sqrt{10}-3} \cdot \frac{\sqrt{10}+3}{\sqrt{10}+3} = \sqrt{10} + 3 \] Сумма: \[ \sqrt{11} - \sqrt{10} + \sqrt{10} + 3 = \sqrt{11} + 3 \] Делим на \(1 + \frac{\sqrt{11}}{3}\): \[ \frac{\sqrt{11} + 3}{\frac{3 + \sqrt{11}}{3}} = 3 \] Ответ: 3.

  3. Решите уравнение: \[ \Bigl(\frac{x+1}{x-1}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{x}{x+5}\Bigr)^2 = \frac{2x^2 + 2x}{x^2 + 4x - 5}. \] Решение: Общий знаменатель \((x-1)(x+5)\). Приводим к общему виду и сокращаем: \[ \frac{(x+1)^2(x+5)^2 + x^2(x-1)^2}{(x-1)^2(x+5)^2} = \frac{2x(x+1)}{(x-1)(x+5)} \] После сокращения и упрощений: \(x = 1\) и \(x = -5\) не подходят по ОДЗ. Ответ: корней нет.

  4. Решите неравенство: \[ \frac{\lvert x - 3\rvert\,(4x^2 + 7x - 2)}{10 + 3x - x^2} \;\le\; 0. \] Решение: Разложим множители: \[ 4x^2 + 7x - 2 = (4x -1)(x + 2), \quad 10 + 3x -x^2 = -(x-5)(x+2) \] Метод интервалов: \(x \in (-2; \frac{1}{4}] \cup [3;5)\). Ответ: \(x \in [-2; 0.25] \cup [3;5)\).

  5. Найдите \(a_{13}\), если \(a_3 = 2a_4\). Решение: Пусть \(a_1 = a\), разность \(d\). Условие \(a + 2d = 2(a + 3d)\) => \(a = -4d\). Условие суммы: \(\frac{19}{2}(2a + 18d) - 10 = 2S_{чёт}\). Решение дает \(d = 1\), тогда \(a_{13} = a + 12d = 8\).

    Ответ: 8.

  6. Постройте график функции \(y = \frac{3x^2 - 6x}{\lvert x - 1\rvert - 1}\). Решение: Рассмотрим случаи \(x \ge 1\): \(|x -1| = x -1\), знаменатель \(x -2\). Уравнение: \(y = \frac{3x(x-2)}{x-2} = 3x\) при \(x \neq 2\). Для \(x <1\): знаменатель \(-x\), уравнение \(y = \frac{3x^2 -6x}{-x} = -3x +6\). Ответ: Единственные значения при \(x \neq 2\), достигаются единожды при \(y = 6\), \(y = -3x +6\) для \(x <1\).

  7. Найдите \(\sqrt{13 - a} + \sqrt{6 - a}\), если \(\sqrt{13 - a} - \sqrt{6 - a} =1\). Решение: Обозначим \(A = \sqrt{13 - a}\), \(B = \sqrt{6 - a}\). Система: \[ \begin{cases} A - B = 1 \\ A^2 - B^2 = 7 \end{cases} \] Решение: \(A + B = 7\). Ответ: 7.

  8. Парабола с вершиной в \(x=3\) не может быть графиком \(y =a(x-2)(x-5)\), т.к. вершина должна быть в \(x = \frac{2+5}{2} =3.5\). Ответ: Нет.

  9. \(14\) жёлтых кубиков распределены между ящиками. Пусть \(x\) — в первом, \(14 -x\) — во втором. Соотношение зеленых: \(\frac{40 -x}{40 - (14 -x)} = \frac{1}{3}\). Решение: \(x =8\). Ответ: В первом \(32\), во втором \(33\).

  10. Угол между высотой и биссектрисой: \(180^\circ -26^\circ -70^\circ -45^\circ =39^\circ\). Ответ:39°.

  11. Площадь трапеции \(ABCD\): \(S = \frac{41 +13}{2} \cdot h\). Находим высоту через теорему Пифагора: \(h = 15\). Ответ: \(405\).

  12. Отрезок \(CM\): используем теорему Стюарта. Ответ: \(\sqrt{10}\).

  13. Катеты: \(a =13\), \(b=14\).

  14. Высота \(BH\): По теореме косинусов \(AC = 8\sqrt{2}\sin 105^\circ\). Ответ:\(4\sqrt{3}\).

  15. Треугольников: \(C_5^2 \cdot 4 + C_4^2 \cdot5 = 70\). Ответ:70.

  16. \((a-1)(b-1)=2ab\). Раскрываем: \[ ab -a -b +1 =2ab \Rightarrow -a -b =ab -1 \] Подставляем в выражение: \[ \frac{(a^2 -1)(b^2 -1)}{ab} = \frac{(ab)^2 -a^2 -b^2 +1}{ab} =4 \] Ответ:4.

  17. Нечётная функция \(f(-x) = -f(x)\). Подставляем \(x=2\): Ответ: \(f(2) = -3\).

  18. Наименьшее \(n=25\): проверка делителей чисел от \(25+8=33\) до \(25+31=56\). НОД с числителями должен быть 1. Ответ:25.

  19. Многочлен \(f(x)=ax^2 +bx +c\). Система уравнений: \[ \begin{cases} a + b + c =1 \\ 4a +2b +c =8 \\ 16a +4b +c =64 \end{cases} \] Решение: \(a=6\), \(b=-12\), \(c=7\). Ответ: \(f(x)=6x²-12x+7\).

  20. Функция f:
    1. \(f(3;4;5) = 3\cdot4 +4\cdot5 +5\cdot3 +2\cdot3\cdot4\cdot5/(3+4+5) = 62\). Ответ:62.
    2. \(f(4;6;10) = 4\cdot6 +6\cdot10 +10\cdot4 +2\cdot4\cdot6\cdot10/(4+6+10)=120\). Ответ:120.
Материалы школы Юайти