8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 9 в 10 класс 2017 вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 2017
Печать
youit.school ©
Лицей 239

2017 год

Вариант 2

  1. Вычислите:
    1. \[ \biggl(\frac{97^3 - 53^3}{44} + 97 \cdot 53\biggr) \mathbin{:} \bigl(152.5^2 - 27.5^2\bigr). \]
    2. \[ \frac{\sqrt{7} + 4\sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \;\cdot\; \sqrt{2 - \sqrt{3}}. \]
  2. Упростите выражение \[ \biggl( \frac{\sqrt{a^3} - \sqrt{b^3}} {a + \sqrt{a}\,\sqrt{b} + b} + 2ab\;\frac{(\sqrt a)^{-1} + (\sqrt b)^{-1}}{a - b} \biggr) \,\bigl(\sqrt a - \sqrt b\bigr). \]
  3. Решите уравнения:
    1. \[ \frac{4}{x^2 + 3x + 9} = \frac{1}{x - 3} - \frac{6x + 9}{x^3 - 27}. \]
    2. \[ \sqrt{5x + 1} = x - 1. \]
    3. \[ \lvert 3x + 2\rvert = \lvert 7x - 4\rvert. \]
  4. Решите неравенства:
    1. \[ \frac{(3x^2 - 5x + 2)\,(x^2 + 3x - 4)} {(x + 2)\,(8 + 2x - x^2)} \;\le\; 0. \]
    2. \[ \lvert 2x + 3\rvert\;\lvert x\rvert \;-\; 4x \;-\; 1 \;\ge\; 0. \]
  5. В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 30 см и 50 см. Найдите:
    1. высоту, опущенную на гипотенузу;
    2. радиус вписанной в треугольник окружности.
  6. В треугольнике \(ABC\) даны \(AB = 4\) см, \(BC = \sqrt{13}\) см, \(AC = 3\) см. Найдите:
    1. длину медианы \(CM\);
    2. площадь треугольника \(ABC\).
  7. Постройте график функции \[ y = \frac{(x^2 - 4x + 3)(x - 1)}{\lvert x - 1\rvert}. \] При каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) пересекает этот график в трёх точках?
  8. В феврале товар стоил 20,000 рублей. В мае цену подняли на $6\%$, а в августе снизили на $6\%$. Сколько стоил товар в августе?
  9. Расстояние между пристанями \(A\) и \(B\) равно 14 км. Из \(A\) в \(B\) по течению реки отправился плот, а через 44 мин за ним — моторная лодка, которая, прибыв в пункт \(B\), тотчас повернула обратно и возвратилась в пункт \(A\). К этому времени плот прошёл 7 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 50 м/мин.
  10. Сумма первых тринадцати членов арифметической прогрессии равна 130; четвёртый, десятый и седьмой члены этой прогрессии, в указанном порядке, образуют геометрическую прогрессию. Найдите разность арифметической прогрессии, если известно, что все её члены различны.
  11. Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 6 см и 8 см, а средняя линия равна 5 см.
  12. Найдите наибольшее значение выражения \[ 5 + \frac{16}{x^2 + 2x + 5}. \]
  13. Найдите наименьшее трёхзначное число, сумма цифр которого равна 23.
  14. Сколько нулей стоит в конце десятичной записи числа \(101!\)?
  15. Радиус окружности, описанной около треугольника \(ABC\), равен 13 см, \(BC = 24\) см. Найдите, в каком отношении, считая от вершины \(B\), биссектриса угла \(A\) делит высоту, опущенную из этой вершины.

Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



    1. Вычислите: \[ \biggl(\frac{97^3 - 53^3}{44} + 97 \cdot 53\biggr) \mathbin{:} \bigl(152.5^2 - 27.5^2\bigr) \]

      Решение: Используем формулу разности кубов: \[ 97^3 - 53^3 = (97 - 53)(97^2 + 97 \cdot 53 + 53^2) = 44 \cdot (97^2 + 97 \cdot 53 + 53^2) \] Упростим числитель: \[ \frac{44 \cdot (97^2 + 97 \cdot 53 + 53^2)}{44} + 97 \cdot 53 = 97^2 + 2 \cdot 97 \cdot 53 + 53^2 = (97 + 53)^2 = 150^2 = 22500 \] Знаменатель: \[ 152.5^2 - 27.5^2 = (152.5 - 27.5)(152.5 + 27.5) = 125 \cdot 180 = 22500 \] Ответ: \[ \frac{22500}{22500} = \boxed{1} \]

    2. Вычислите: \[ \frac{\sqrt{7} + 4\sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}} \]

      Решение: Рационализируем знаменатель: \[ \frac{(\sqrt{7} + 4\sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{7} + 4\sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})}{-1} \] Умножаем на \( \sqrt{2 - \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{2}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} \): \[ -(\sqrt{7} + 4\sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} = -(\sqrt{14} - \sqrt{21} + 4\sqrt{6} - 12) \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} \] Подстановка и упрощение: \[ \sqrt{2 - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \boxed{1} \]



  2. Упростите выражение: \[ \biggl( \frac{\sqrt{a^3} - \sqrt{b^3}}{a + \sqrt{ab} + b} + \frac{2ab(\sqrt{a}^{-1} + \sqrt{b}^{-1})}{a - b} \biggr)(\sqrt{a} - \sqrt{b}) \]

    Решение: Разложим числитель первой дроби: \[ \sqrt{a^3} - \sqrt{b^3} = (\sqrt{a} - \sqrt{b})(a + \sqrt{ab} + b) \] Упрощаем первую дробь: \[ \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(a + \sqrt{ab} + b)}{a + \sqrt{ab} + b} = \sqrt{a} - \sqrt{b} \] Вторая дробь: \[ \frac{2ab}{\sqrt{a}\sqrt{b}(a - b)} = \frac{2ab}{\sqrt{ab}(a - b)} = \frac{2\sqrt{ab}}{a - b} \] Суммируем: \[ (\sqrt{a} - \sqrt{b} + \frac{2\sqrt{ab}}{a - b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = (\sqrt{a} - \sqrt{b}) (1 + \frac{2\sqrt{ab}}{a - b}) \] Ответ: \(\boxed{\sqrt{a} - \sqrt{b}}\)

  3. Решите уравнения:
    1. \[ \frac{4}{x^2 + 3x + 9} = \frac{1}{x - 3} - \frac{6x + 9}{x^3 - 27} \]

      Решение: Приводим к общему знаменателю \(x^3 - 27\): \[ 4(x - 3) = x^2 + 3x + 9 - (6x + 9) \Rightarrow 4x - 12 = x^2 - 3x \Rightarrow x^2 - 7x + 12 = 0 \] Корни: \(x = 4\) (т.к. \(x \neq 3\)). Ответ: \(\boxed{4}\)

    2. \[ \sqrt{5x + 1} = x - 1 \]

      Решение: Возводим в квадрат: \[ 5x + 1 = x^2 - 2x + 1 \Rightarrow x^2 - 7x = 0 \Rightarrow x(x - 7) = 0 \] Проверка: \(x = 7\) — подходит. Ответ: \(\boxed{7}\)

    3. \[ \lvert 3x + 2\rvert = \lvert 7x - 4\rvert \]

      Решение: Раскрываем модули: \[ 3x + 2 = \pm(7x - 4) \] \[ 3x + 2 = 7x - 4 \Rightarrow 4x = 6 \Rightarrow x = 1.5 \] \[ 3x + 2 = -7x + 4 \Rightarrow 10x = 2 \Rightarrow x = 0.2 \] Ответ: \(\boxed{1.5}\) и \(\boxed{0.2}\)



  4. Решите неравенства:
    1. \[ \frac{(3x^2 - 5x + 2)(x^2 + 3x - 4)}{(x + 2)(8 + 2x - x^2)} \le 0 \]

      Решение: Разложим множители: Числитель: \((x - 1)(3x - 2)(x + 4)(x - 1)\), знаменатель: \(- (x + 2)(x - 4)(x + 2)\) Точки: \(x = -4, -2, \frac{2}{3}, 1, 4\). Метод интервалов: Ответ: \(\boxed{[-4, -2) \cup [\frac{2}{3}, 1] \cup (4, +\infty)}\)

    2. \[ \lvert 2x + 3\rvert \lvert x\rvert - 4x - 1 \ge 0 \]

      Решение: Рассматриваем случаи \(x \ge 0\) и \(x < 0\): Для \(x \ge 0\): \[ (2x + 3)x - 4x - 1 \ge 0 \Rightarrow 2x^2 - x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \in (-\infty, -\frac{1}{2}] \cup [1, +\infty) \] Учитывая \(x \ge 0\): \(x \ge 1\)

      Для \(x < 0\): \[ -(2x + 3)x - 4x - 1 \ge 0 \Rightarrow -2x^2 - 3x - 4x - 1 \ge 0 \Rightarrow -2x^2 - 7x - 1 \ge 0 \] Корни: \(x = \frac{-7 \pm \sqrt{41}}{-4}\). Интервал: между корнями. При \(x < 0\), ответ: \(x \le \frac{-7 - \sqrt{41}}{-4}\), не входит. Ответ: \(\boxed{[1, +\infty)}\)



  5. В прямоугольном треугольнике:
    1. Высота на гипотенузу: \[ h = \frac{30 \cdot 40}{50} = \boxed{24} \text{ см} \]
    2. Радиус вписанной окружности: \[ r = \frac{30 + 40 - 50}{2} = \boxed{10} \text{ см} \]


  6. В треугольнике \(ABC\):
    1. Медиана \(CM\): \[ CM = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 4^2 + 2 \cdot 3^2 - (\sqrt{13})^2} = \frac{1}{2}\sqrt{32 + 18 - 13} = \boxed{\sqrt{7}} \text{ см} \]
    2. Площадь по формуле Герона: \[ p = \frac{4 + 3 + \sqrt{13}}{2}, \quad S = \sqrt{p(p - 4)(p - 3)(p - \sqrt{13})} = \boxed{3\sqrt{3}} \text{ см}^2 \]


  7. График функции: \[ y = \begin{cases} (x - 1)(x - 3), & x > 1 \\ - (x - 1)(x - 3), & x < 1 \end{cases} \] Ответ: \(\boxed{m \in (-1, 1)}\)

  8. Цена товара в августе: \[ 20000 \cdot 1.06 \cdot 0.94 = \boxed{19928} \text{ руб.} \]

  9. Скорость лодки: Составляем уравнение времени, получаем \(x = \boxed{17}\) км/ч.

  10. Разность арифметической прогрессии: Ответ: \(\boxed{-10}\)

  11. Площадь трапеции: Ответ: \(\boxed{24}\) см\(^2\)

  12. Наибольшее значение: Ответ: \(\boxed{9}\)

  13. Наименьшее трёхзначное число: Ответ: \(\boxed{599}\)

  14. Количество нулей: Ответ: \(\boxed{24}\)

Материалы школы Юайти