8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 9 в 10 класс 2017 вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2017
ЕГЭ 2026: Как подготовиться без паники и стресса?
7 сентября в 19:00
Спикер: Матвей Грицаев
Печать
youit.school ©

Лицей 239

2017 год

Вариант 1

  1. Вычислите:
    1. \(\bigl(36\cdot5^2 - 27\cdot5^2\bigr)\;\big/\;\bigl(\tfrac{57^3 + 33^3}{90} - 57\cdot33\bigr)\).
    2. \(\dfrac{\sqrt7 - 4\sqrt3}{\sqrt2 - \sqrt3}\;\big/\;\sqrt{2 + \sqrt3}\).


  2. Упростите: \[ \Bigl(\frac{\sqrt{x^3} + \sqrt{y^3}}{\,x - \sqrt{x}\sqrt{y} + y} + 2xy\Bigr)\;\big/\; \Bigl((\sqrt{x})^{-1} - (\sqrt{y})^{-1}\Bigr)\;( \sqrt{x} + \sqrt{y} ). \]

  3. Решите уравнения:
    1. \(\displaystyle \frac{5}{x^2 + 2x + 4} = \frac{1}{x-2} - \frac{4x + 4}{x^3 - 8}.\)
    2. \(\sqrt{7 - x} = x - 1.\)
    3. \(\lvert 4x - 7\rvert = \lvert 2x + 3\rvert.\)


  4. Решите неравенства:
    1. \(\displaystyle \frac{(2x^2 - 7x + 6)(x^2 + 3x - 10)}{(x+1)(5 + 4x - x^2)} \le 0.\)
    2. \(\lvert x - 2\rvert\,2 + x - \lvert 3 - x\rvert.\)


  5. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 см и 20 см. Найдите высоту, опущенную на гипотенузу, и радиус вписанной окружности этого треугольника.

  6. В треугольнике \(ABC\) \(AB = 3\) см, \(BC = 5\) см, \(AC = \sqrt{14}\) см. Найдите:
    1. длину медианы \(CM\),
    2. площадь треугольника \(ABC\).


  7. Постройте график функции \[ y = \frac{(x^2 + 2x - 8)(x + 2)}{\lvert x + 2\rvert}. \] При каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) пересекает график функции в трёх точках?
  8. В январе товар стоил 30000 руб. В марте цену на товар подняли на $4\%$, а в июле снизили на $4\%$. Сколько стоил товар в июле?
  9. Расстояние между пристанями $A$ и $B$ равно $18\,км$. Из $A$ в $B$ по течению реки отправился плот, а через 30 мин за ним вышла моторная лодка, которая, прибыв в пункт $B$, тотчас повернула обратно и возвратилась в пункт $A$. К этому времени плот прошёл 9 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 50 м/мин.
  10. Сумма первых десяти членов арифметической прогрессии равна 30; четвёртый, седьмой и пятый члены этой прогрессии в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию. Найдите разность арифметической прогрессии, если известно, что все её члены различны.
  11. Найдите наименьшее значение выражения \[ 23 \;-\; \frac{16}{x^2 - 2x + 5}. \]
  12. Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 3 см и 4 см, а средняя линия равна $2{,}5$ см.
  13. Найдите наименьшее трёхзначное число, сумма цифр которого равна 22.
  14. Сколько нулей стоит в конце числа $100!$ (произведение натуральных чис от 1 до 100)?
  15. В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из вершины $B$, в отношении $5:4$, считая от точки $B$. Найдите радиус описанной окружности треугольника $ABC$, если $BC = 12$ см.

Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



    1. \(\left(36 \cdot 5^2 - 27 \cdot 5^2\right) \div \left(\frac{57^3 + 33^3}{90} - 57 \cdot 33\right)\) Решение:
      Упростим числитель: \[ 5^2(36 - 27) = 25 \cdot 9 = 225. \] Знаменатель разложим по формуле суммы кубов: \[ \frac{(57 + 33)(57^2 - 57 \cdot 33 + 33^2)}{90} - 57 \cdot 33 = 57^2 - 2 \cdot 57 \cdot 33 + 33^2 = (57 - 33)^2 = 24^2 = 576. \] Итог: \[ \frac{225}{576} = \frac{25}{64}. \] Ответ: \(\frac{25}{64}\).
    2. \(\frac{\sqrt{7} - 4\sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} \div \sqrt{2 + \sqrt{3}}\) Решение:
      Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\): \[ \frac{(\sqrt{7} - 4\sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{14} + \sqrt{21} - 4\sqrt{6} - 12}{-1} = -\sqrt{14} - \sqrt{21} + 4\sqrt{6} + 12. \] Заметим, что \(\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\). Тогда: \[ (-\sqrt{14} - \sqrt{21} + 4\sqrt{6} + 12) \cdot \frac{2}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = 2. \] Ответ: \(2\).
  2. Упростить выражение: \[ \left(\frac{\sqrt{x^3} + \sqrt{y^3}}{x - \sqrt{xy} + y} + 2xy\right) \div \left(\left(\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{y}}\right)(\sqrt{x} + \sqrt{y})\right). \] Решение:
    Числитель дроби преобразуется: \[ \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(x - \sqrt{xy} + y)}{x - \sqrt{xy} + y} = \sqrt{x} + \sqrt{y}. \] Тогда исходное выражение: \[ \left(\sqrt{x} + \sqrt{y} + 2xy\right) \div \left(\frac{y - x}{\sqrt{xy}}\right) = \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y} + 2xy)\sqrt{xy}}{y - x}. \] Упрощением получим: \[ -\sqrt{xy}(\sqrt{x} + \sqrt{y}). \] Ответ: \(-\sqrt{xy}(\sqrt{x} + \sqrt{y})\).
    1. \(\frac{5}{x^2 + 2x + 4} = \frac{1}{x - 2} - \frac{4x + 4}{x^3 - 8}\) Решение:
      Приведём к общему знаменателю \((x - 2)(x^2 + 2x + 4)\): \[ 5(x - 2) = x^2 + 2x + 4 - (4x + 4) \implies 5x - 10 = x^2 - 2x \implies x = 5. \] Ответ: \(x = 5\).
    2. \(\sqrt{7 - x} = x - 1\) Решение:
      Возведём в квадрат: \[ 7 - x = (x - 1)^2 \implies x^2 - x - 6 = 0 \implies x = 3. \] Проверка подтверждает решение. Ответ: \(x = 3\).
    3. \(|4x - 7| = |2x + 3|\) Решение:
      Рассмотрим два случая: \[ 4x - 7 = 2x + 3 \implies 2x = 10 \implies x = 5, \] \[ 4x - 7 = -2x - 3 \implies 6x = 4 \implies x = \frac{2}{3}. \] Ответ: \(x = 5\) и \(x = \frac{2}{3}\).
    1. \(\frac{(2x^2 - 7x + 6)(x^2 + 3x - 10)}{(x + 1)(5 + 4x - x^2)} \le 0\) Решение:
      Разложим на множители: \[ \frac{(2x - 3)(x - 2)^2(x + 5)}{-(x + 1)^2(x - 5)} \le 0. \] Метод интервалов даёт решения: \[ x \in [-5, -1) \cup [\tfrac{3}{2}, 2] \cup (5, \infty). \] Ответ: \(x \in [-5, -1) \cup [\tfrac{3}{2}, 2] \cup (5, \infty)\).
    2. \(|x - 2| \cdot 2 + x - |3 - x| \le 0\) Решение:
      Рассмотрим случаи:
      • \(x \ge 3\): \(2(x - 2) + x - (x - 3) = 2x - 4 + 3 = 2x - 1 \le 0 \implies x \le \tfrac{1}{2}\) (не подходит).
      • \(2 \le x < 3\): \(2(x - 2) + x - (3 - x) = 4x - 7 \le 0 \implies x \le \tfrac{7}{4}\) (диапазон \(2 \le x \le \tfrac{7}{4}\)).
      • \(x < 2\): \(2(2 - x) + x - (3 - x) = 1 - x \le 0 \implies x \ge 1\) (диапазон \(1 \le x < 2\)).
      Ответ: \(x \in [1, \tfrac{7}{4}]\).
  5. Катеты прямоугольного треугольника 15 см и 20 см. Решение:
    Гипотенуза: \(\sqrt{15^2 + 20^2} = 25\) см. Высота: \(\frac{15 \cdot 20}{25} = 12\) см. Радиус вписанной окружности: \(\frac{15 + 20 - 25}{2} = 5\) см. Ответ: 12 см и 5 см.
  6. Медиана и площадь треугольника \(ABC\). Решение:
    Медиана \(CM\): \[ CM = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 3^2 + 2 \cdot 5^2 - (\sqrt{14})^2} = 4 \text{ см}. \] Площадь по формуле Герона: \[ S = \sqrt{11 \cdot 8 \cdot 6 \cdot (-3)} = \sqrt{1584} = 6\sqrt{11} \text{ см}^2. \] Ответ: 4 см и \(6\sqrt{11}\) см².
  7. График функции \(y = \frac{(x^2 + 2x - 8)(x + 2)}{|x + 2|}\). Решение:
    Упростим при \(x \neq -2\): \[ y = (x^2 + 2x - 8) \cdot \text{sign}(x + 2) = (x + 4)(x - 2) \cdot \text{sign}(x + 2). \] Пересечение с \(y = m\) в трёх точках при \(-9 < m < 16\). Ответ: \(m \in (-9, 16)\).
  8. Цена товара после изменений. Решение:
    После повышения: \(30000 \cdot 1.04 = 31200\) руб. После снижения: \(31200 \cdot 0.96 = 29952\) руб. Ответ: 29952 руб.
  9. Скорость лодки. Решение:
    Время плота: \(\frac{9}{0.05} = 180\) мин = 3 ч. Скорость лодки \(v\): \[ \frac{18}{v + 0.05} + \frac{18}{v - 0.05} = 2.5 \implies v = 7.5 \text{ км/ч}. \] Ответ: 7.5 км/ч.
  10. Разность арифметической прогрессии. Решение:
    \(S_{10} = 30 \implies 2a_1 + 9d = 6\). Условие геометрической прогрессии: \[ (a_4, a_7, a_5) \implies (a_7)^2 = a_4 \cdot a_5 \implies d = 3. \] Ответ: \(d = 3\).
  11. Наименьшее значение выражения. Решение:
    Минимум знаменателя \(x^2 - 2x + 5 = (x - 1)^2 + 4 \ge 4\). Максимум дроби: \(\frac{16}{4} = 4\). Ответ: \(23 - 4 = 19\).
  12. Площадь трапеции. Решение:
    Средняя линия \(m = 2.5\) см, высота \(h\): \[ S = m \cdot h = 2.5h. \] Диагонали \(d_1 = 3\), \(d_2 = 4\), угол \(\theta\) между ними: \[ S = \frac{d_1 d_2 \sin\theta}{2} \implies \sin\theta = \frac{5h}{6}. \] Решая, получим \(h = 2.4\) см, \(S = 6\) см². Ответ: \(6\) см².
  13. Наименьшее трёхзначное число с суммой цифр 22. Решение:
    Наибольшая цифра в старшем разряде. Число: \(499\). Ответ: \(499\).
  14. Нули в конце \(100!\). Решение:
    Количество пятёрок: \(\left\lfloor \frac{100}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{100}{25} \right\rfloor = 20 + 4 = 24\). Ответ: 24 нуля.
  15. Радиус описанной окружности. Решение:
    Отношение длин отрезков \(5:4\), \(BC = 12\) см. Анализ через теорему стюарта: \[ R = \frac{BC}{2 \sin A} = 13 \text{ см}. \] Ответ: \(13\) см.
Материалы школы Юайти