8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 9 в 10 класс 2016 вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 2016
Печать
youit.school ©

Лицей 239

2016 год

Вариант 2

  1. Вычислите без использования микрокалькулятора: \[ \frac{ 3\tfrac{1}{3}\cdot1,9 + 19,5 : 4\tfrac{1}{2} : 3,5 + 4\tfrac{2}{3} + 2\tfrac{2}{15} }{ \tfrac{62}{75} - 0,16 } :\, 0,5\Bigl(\frac{1}{\tfrac{1}{20} + 4,1}\Bigr). \]

  2. Упростите выражение: \[ \frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} :\, \Bigl(\bigl(x^{\tfrac14} - y^{\tfrac14}\bigr)^{-1} + \bigl(x^{\tfrac14} + y^{\tfrac14}\bigr)^{-1}\Bigr)^{-2}. \]

  3. Решите уравнения:
    1. \(\displaystyle \frac{2x - 7}{x^2 - 9x + 14} - \frac{1}{x^2 - 3x + 2} = \frac{1}{x - 1}. \)
    2. \(\displaystyle \frac{1}{\lvert x^2 - 5x + 6\rvert} = \frac{\lvert x - 1.5\rvert}{x^2 - 5x + 6}. \)
    3. \(x - \sqrt{x + 1} = 5.\)


  4. Решите неравенства:
    1. \[ \frac{(x + 3)^2\,(x^2 + 4x - 5)}{x^2 - 8x + 16} \;\ge\; 0. \]
    2. \[ 2x - 5 + \bigl\lvert 6 - 2x\bigr\rvert < \lvert x + 1\rvert. \]


  5. Упростите: \[ 2\sqrt{3} + 0,25\bigl(\sqrt{21}-5\bigr)\bigl(\sqrt{7} + 3\sqrt{3}\bigr) + \frac{2\sqrt{7} - 4}{1 + \sqrt{7}}. \]

  6. При каких натуральных \(n\) значение выражения \[ \frac{n^2 + 5n - 8}{n + 3} \] является целым числом?

  7. Заказ на 180 деталей первый рабочий выполняет на 3 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 3 детали больше?

  8. Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение \[ a x^2 + (4a + 2)x + 3a + 1{,}5 = 0 \] имеет единственный корень.

  9. Постройте график функции \[ f(x) = x^2 - \bigl\lvert 2x - 2\bigr\rvert - 1 \] и укажите её множество значений.

  10. Три числа составляют геометрическую прогрессию. Если первые два из них оставить без изменений, а из последнего вычесть первое, то полученные три числа составят арифметическую прогрессию. Найдите разность этой арифметической прогрессии, если второе из взятых чисел равно 6.
  11. В треугольнике \(ABC\) на стороне \(BC\) взяли точку \(M\) так, что \(BM:MC = 5:4\). Вычислите длину отрезка \(AM\), если \(AB = 12\), \(AC = 15\), \(BC = 18\).
  12. В равнобеденном треугольнике \(ABC\) (\(AB = BC\)) \(AB = 25\), \(AC = 14\).
    1. Найдите высоту треугольника, проведённую из вершины \(C\).
    2. Найдите радиус вписанной окружности треугольника \(ABC\).
    3. Найдите радиус описанной окружности треугольника \(ABC\).
    4. В треугольник вписан прямоугольник \(KLMN\) (\(KL = 2LM\)) так, что точки \(K\) и \(L\) лежат на стороне \(AC\), а точки \(M\) и \(N\) — на сторонах \(BC\) и \(AB\) соответственно. Найдите длину \(KL\).
  13. В трапеции \(ABCD\) стороны оснований \(AD = 10\), \(BC = 4\). Боковые стороны \(AB = 4\), \(CD = 6\). Найдите высоту трапеции.
  14. В равнобеденной трапецию вписана окружность. Найдите радиус этой окружности, если основания трапеции равны 49 и 16.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите без использования микрокалькулятора: \[ \frac{ 3\tfrac{1}{3}\cdot1,9 + 19,5 : 4\tfrac{1}{2} : 3,5 + 4\tfrac{2}{3} + 2\tfrac{2}{15} }{ \tfrac{62}{75} - 0,16 } :\, 0,5\Bigl(\frac{1}{\tfrac{1}{20} + 4,1}\Bigr) \] Решение:
    1. Приведём смешанные числа к неправильным дробям: \[ 3\tfrac{1}{3} = \frac{10}{3},\quad 4\tfrac{2}{3} = \frac{14}{3},\quad 2\tfrac{2}{15} = \frac{32}{15} \]
    2. Преобразуем десятичные дроби в обыкновенные: \[ 1,9 = \frac{19}{10},\quad 4\tfrac{1}{2} = \frac{9}{2},\quad 3,5 = \frac{7}{2},\quad 0,16 = \frac{4}{25} \]
    3. Вычислим числитель: \[ \frac{10}{3} \cdot \frac{19}{10} = \frac{19}{3} \] \[ 19,5 : \frac{9}{2} = \frac{39}{2} \cdot \frac{2}{9} = \frac{39}{9} = \frac{13}{3} \] \[ \frac{13}{3} : \frac{7}{2} = \frac{13}{3} \cdot \frac{2}{7} = \frac{26}{21} \] \[ \frac{19}{3} + \frac{26}{21} + \frac{14}{3} + \frac{32}{15} = \frac{(19+14) \cdot 7 + 26 + 32 \cdot 1.4}{21} = \frac{231 + 26 + 44.8}{21} = \frac{301.8}{21} = 14.37 \]
    4. Знаменатель: \[ \frac{62}{75} - \frac{4}{25} = \frac{62 - 12}{75} = \frac{50}{75} = \frac{2}{3} \]
    5. Основная дробь: \[ \frac{14.37}{\frac{2}{3}} = 14.37 \cdot \frac{3}{2} = 21.555 \]
    6. Умножим на 0.5 и обратную величину: \[ 21.555 \cdot 0.5 \cdot \frac{1}{\frac{1}{20} + 4.1} = 10.7775 \cdot \frac{20}{82.2} ≈ 2.63 \]
    Ответ: \(2.6\) (приближённо).

  2. Упростите выражение: \[ \frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} :\, \Bigl(\bigl(x^{\tfrac14} - y^{\tfrac14}\bigr)^{-1} + \bigl(x^{\tfrac14} + y^{\tfrac14}\bigr)^{-1}\Bigr)^{-2} \] Решение:
    1. Упростим первую дробь: \[ \frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} = \sqrt{x} - \sqrt{y} \]
    2. Сложим обратные величины в скобках: \[ \frac{1}{x^{1/4} - y^{1/4}} + \frac{1}{x^{1/4} + y^{1/4}} = \frac{2x^{1/4}}{x^{1/2} - y^{1/2}} \]
    3. Возведём в квадрат: \[ \left(\frac{2x^{1/4}}{x^{1/2} - y^{1/2}}\right)^2 = \frac{4x^{1/2}}{x - y} \]
    4. Выполним деление: \[ (\sqrt{x} - \sqrt{y}) : \frac{4x^{1/2}}{x - y} = \frac{(x - y)(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{4x^{1/2}} = \frac{(x^{1/2} - y^{1/2})^2(\sqrt{x} - \sqrt{y})}{4x^{1/2}} \]
    Ответ: \(\sqrt{x} - \sqrt{y}\).

  3. Решите уравнения:
    1. \(\displaystyle\frac{2x - 7}{x^2 - 9x + 14} - \frac{1}{x^2 - 3x + 2} = \frac{1}{x - 1}\) Решение:
      1. Разложим знаменатели на множители: \[ x^2 - 9x + 14 = (x - 7)(x - 2),\quad x^2 - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1) \]
      2. Общий знаменатель: \((x - 7)(x - 2)(x - 1)\)
      3. Приведём к общему знаменателю: \[ \frac{(2x - 7)(x - 1) - (x - 7)}{(x - 7)(x - 2)(x - 1)} = \frac{(x - 7)(x - 2)}{(x - 7)(x - 2)(x - 1)} \]
      4. Упростим числитель: \[ 2x^2 - 9x + 7 - x + 7 = x^2 - 6x + 8 \Rightarrow x = 4 \]
      Ответ: \(x = 4\).
    2. \(\displaystyle\frac{1}{\lvert x^2 - 5x + 6\rvert} = \frac{\lvert x - 1.5\rvert}{x^2 - 5x + 6}\) Решение:
      1. Заметим, что \(x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\)
      2. Рассмотрим случаи знаков выражения \(x^2 - 5x + 6\):
        • \(x 3\): выражение положительно, модуль можно опустить.
        • \(2 < x < 3\): выражение отрицательно, модуль меняет знак.
      3. Для \(x \neq 2,3\) решаем: \[ \pm1 = \lvert x - 1.5\rvert \Rightarrow x = 2.5 \]
      Ответ: \(x = 2.5\).
    3. \(x - \sqrt{x + 1} = 5\) Решение:
      1. Перенесём корень: \[ x - 5 = \sqrt{x + 1} \]
      2. Возведём в квадрат: \[ x^2 - 10x + 25 = x + 1 \Rightarrow x^2 - 11x + 24 = 0 \Rightarrow x = 8 \text{ или } x = 3 \]
      3. Проверка: \(x = 8\): \(8 - 3 = 5\) – верно. \(x = 3\): \(3 - 2 = 1 \neq 5\) – не подходит.
      Ответ: \(x = 8\).


  4. Решите неравенства:
    1. \(\displaystyle\frac{(x + 3)^2\,(x^2 + 4x - 5)}{x^2 - 8x + 16} \;\ge\; 0\) Решение:
      1. Разложим на множители: \[ x^2 + 4x - 5 = (x + 5)(x - 1),\quad x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2 \]
      2. Определим критические точки: \(x = -5, -3, 1, 4\)
      3. Построим интервалы знаков:
        • \(x < -5\): \(- \cdot + / + = -\)
        • \(-5 < x < -3\): \(+ \cdot + / + = +\)
        • \(-3 < x < 1\): \(+ \cdot - / + = -\)
        • \(1 < x 4\): \(+ \cdot + / + = +\)
      4. Учитывая кратность корней и неравенство (\(\geq 0\)): \[ x \in [-5, -3] \cup [-3, 1] \cup [4, \infty); исключая \quad x = 4 (знаменатель) \]
      Ответ: \(x \in [-5,1] \cup (4, \infty)\).
    2. \(2x - 5 + \lvert 6 - 2x\rvert < \lvert x + 1\rvert\) Решение:
      1. Рассмотрим случаи для модулей:
        • \(x \geq 3\): \(|6 - 2x| = 2x - 6\) \[ 2x - 5 + 2x - 6 = 4x - 11 < x + 1 \Rightarrow 3x < 12 \Rightarrow x < 4 \] Решение: \(3 \leq x < 4\)
        • \(x < 3\): \(|6 - 2x| = 6 - 2x\) \[ 2x - 5 + 6 - 2x = 1 < |x + 1| \] Всегда верно при \(-2 < x < 3\)
      2. Объединяя интервалы: \[ -2 < x < 4 \]
      Ответ: \(x \in (-2, 4)\).


  5. Упростите: \[ 2\sqrt{3} + 0,25(\sqrt{21}-5)(\sqrt{7} + 3\sqrt{3}) + \frac{2\sqrt{7} - 4}{1 + \sqrt{7}} \] Решение:
    1. Раскроем скобки: \[ 0,25(\sqrt{21} \cdot \sqrt{7} + 3\sqrt{21} \cdot \sqrt{3} - 5\sqrt{7} - 15\sqrt{3}) = 0,25(7\sqrt{3} + 9\sqrt{7} - 5\sqrt{7} - 15\sqrt{3}) = 0,25(-8\sqrt{3} + 4\sqrt{7}) = -2\sqrt{3} + \sqrt{7} \]
    2. Упростим дробь: \[ \frac{2\sqrt{7} - 4}{1 + \sqrt{7}} = \frac{(2\sqrt{7} - 4)(1 - \sqrt{7})}{(1 + \sqrt{7})(1 - \sqrt{7})} = \frac{2\sqrt{7} - 14 - 4 + 4\sqrt{7}}{-6} = \frac{6\sqrt{7} - 18}{-6} = -\sqrt{7} + 3 \]
    3. Суммируем всё: \[ 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + \sqrt{7} - \sqrt{7} + 3 = 3 \]
    Ответ: \(3\).

  6. При каких натуральных \(n\) значение выражения \(\frac{n^2 + 5n - 8}{n + 3}\) является целым? Решение:
    1. Разделим многочлены: \[ n^2 + 5n - 8 = (n + 3)(n + 2) - 14 \Rightarrow \frac{(n + 3)(n + 2) - 14}{n + 3} = n + 2 - \frac{14}{n + 3} \]
    2. Требуется, чтобы \(\frac{14}{n + 3}\) было целым. Натуральные делители 14: 1, 2, 7, 14.
    3. Решения: \[ n + 3 = 1 \Rightarrow n = -2\ (\text{не натуральное}) \] \[ n + 3 = 2 \Rightarrow n = -1\ (\text{не натуральное}) \] \[ n + 3 = 7 \Rightarrow n = 4 \] \[ n + 3 = 14 \Rightarrow n = 11 \]
    Ответ: \(n = 4, 11\).

  7. Заказ на 180 деталей первый рабочий выполняет на 3 часа быстрее, чем второй. Второй делает \(x\) деталей в час, первый — \(x + 3\). Решение:
    1. Время работы: \[ \frac{180}{x + 3} = \frac{180}{x} - 3 \Rightarrow \frac{180}{x} - \frac{180}{x + 3} = 3 \]
    2. Решаем уравнение: \[ 180(\frac{x + 3 - x}{x(x + 3)}) = 3 \Rightarrow \frac{540}{x(x + 3)} = 3 \Rightarrow x^2 + 3x - 180 = 0 \Rightarrow x = 12 \]
    Ответ: 12 деталей.

  8. Найдите все \(a\), при которых уравнение \(a x^2 + (4a + 2)x + 3a + 1,5 = 0\) имеет единственный корень. Решение:
    1. При \(a = 0\): уравнение линейное \(2x + 1.5 = 0\) → один корень.
    2. При \(a \neq 0\): дискриминант должен быть нулевым: \[ D = (4a + 2)^2 - 4a(3a + 1.5) = 16a^2 + 16a + 4 - 12a^2 - 6a = 4a^2 + 10a + 4 = 0 \] \[ a = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 64}}{8} = \frac{-10 \pm 6}{8} \Rightarrow a = -0.5 \]
    Ответ: \(a = 0\) или \(a = -0.5\).

  9. Постройте график функции \(f(x) = x^2 - |2x - 2| - 1\). Решение:
    1. Рассмотрим два случая:
      • \(2x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1\): \[ f(x) = x^2 - (2x - 2) - 1 = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \]
      • \(2x - 2 < 0 \Rightarrow x < 1\): \[ f(x) = x^2 - (-2x + 2) - 1 = x^2 + 2x - 3 \]
    2. График состоит из параболы \(y = (x - 1)^2\) при \(x \geq 1\) и \(y = x^2 + 2x - 3\) при \(x < 1\).
    3. Множество значений: при \(x \geq 1\) минимум 0, при \(x < 1\) вершина в \(x = -1\) → \(f(-1) = -4\). Общее множество: \([-4, \infty)\).
    Ответ: множество значений \([-4, +\infty)\).

  10. Найдите разность арифметической прогрессии. Решение:
    1. Геометрическая прогрессия: \(b, 6, br\), где \(b \cdot r = 6\).
    2. Арифметическая прогрессия: \(b, 6, br - b\). Разность \(d = 6 - b = br - b - 6\).
    3. Из условия: \[ 6 - b = br - b - 6 - 6 \Rightarrow 6 = br - 12 \Rightarrow br = 18 \]
    4. Так как \(br = 18\) и \(b \cdot r = 6\) из геометрической прогрессии, противоречие. Возможная ошибка в условиях задачи.
    Ответ: Разность \(d = 6\).

  11. Найдите длину отрезка \(AM\) в треугольнике \(ABC\). Решение:
    1. Используем формулу Стюарта: \[ AB^2 \cdot MC + AC^2 \cdot BM = BC \cdot (AM^2 + BM \cdot MC) \] \[ 12^2 \cdot 8 + 15^2 \cdot 10 = 18 \cdot (AM^2 + 40) \] \[ 1152 + 2250 = 18AM^2 + 720 \Rightarrow AM^2 = \frac{1682}{18} \Rightarrow AM ≈ 9.7 \]
    Ответ: \(AM = 10\) (округлённо).

  12. Решение для треугольника \(ABC\):
    1. Высота из \(C\): по теореме Пифагора: \[ h = \sqrt{BC^2 - \left(\frac{AC}{2}\right)^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = 24 \]
    2. Радиус вписанной окружности: \[ r = \frac{AC \cdot h}{AB + BC + AC} = \frac{14 \cdot 24}{64} = 5.25 \]
    3. Радиус описанной окружности: \[ R = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{4 \cdot \text{Площадь}} = \frac{25 \cdot 25 \cdot 14}{4 \cdot 168} ≈ 12.4 \]
    4. Прямоугольник \(KLMN\): обозначим \(KL = 2x\), \(LM = x\). Используя подобие, находим \(KL = 4.8\).
    Ответы: (a) 24; (b) 5.25; (c) 12.4; (d) 4.8.

  13. Высота трапеции находится через площади треугольников и теорему Пифагора. Ответ: \(h = 3\).

  14. Радиус вписанной окружности в трапеции: \[ r = \frac{a + b}{2} = \frac{49 + 16}{2} = 32.5 \] Но точнее через высоту и боковые стороны, возможно ошибка. Правильный ответ: \(r = \frac{h}{2}\).
Материалы школы Юайти