Лицей №239 из 9 в 10 класс 2016 вариант 1
Печать
youit.school ©
Лицей 239
2016 год
Вариант 1- Вычислите без использования микрокалькулятора:
\[
\frac{\bigl(\tfrac{3}{5} + 0{,}425 - 0{,}005\bigr)\colon 0{,}1}
{30{,}5 + \tfrac{1}{6} + 3\tfrac{1}{3}}
\;+\;
\frac{6\tfrac{3}{4} + 5\tfrac{1}{2}}{26 \colon 3\tfrac{5}{7}}
\;-\;
0{,}05.
\]
- Упростите выражение:
\[
\biggl(
\bigl(a^{\tfrac12} + b^{\tfrac12}\bigr)^{-1}
\biggr)^{-2}
\;-\;
\biggl(
\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a^2 - b^2}
\biggr)^{-1}
\quad\Biggr|\;\sqrt{ab}.
\]
- Решите уравнения:
- \[ \frac{2x + 7}{x^2 + 5x - 6} \;+\; \frac{3}{x^2 + 9x + 18} \;=\; \frac{1}{x + 3}. \]
- \[ \frac{\lvert 2x - 1\rvert}{8 - x - x^2} \;-\; \frac{4}{\lvert x^2 + x - 8\rvert} = 0. \]
- \[ \sqrt{7 - x} = x - 1. \]
- Решите неравенства:
- \[ \frac{(x - 3)^2\,(x^2 - 3x - 10)}{x^2 + 8x + 16} \;\le\; 0. \]
- \[ 1{,}5x - \lvert x\rvert + \lvert 4 - 2x\rvert \;\ge\; 4. \]
- Упростите:
\[
\frac{1 - \sqrt{10}}{\sqrt{2} + \sqrt{5}}
\;+\;
\frac{7}{2\sqrt{2} + 1}
\;-\;
\bigl(11 - 5\sqrt{5}\bigr)\,(2 + \sqrt{5}).
\]
- При каких натуральных \(n\) значение выражения
\[
\frac{-n^2 + 2n - 31}{n + 3}
\]
является целым числом?
- Заказ на 156 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй.
Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?
- Найдите все значения параметра \(a\), при которых уравнение
\[
a x^2 - (2a + 6)x + 3a + 3 = 0
\]
имеет единственный корень.
- Постройте график функции \[ f(x) = (x+1)\,\lvert x-1\rvert \] и укажите промежутки её возрастания.
- Три числа составляют арифметическую прогрессию. Если первые два оставить без изменений, а к третьему прибавить сумму двух первых, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найдите знаменатель этой геометрической прогрессии.
- В треугольнике \(ABC\) на стороне \(BC\) взяли точку \(M\) так, что \(BM:MC = 4:5\). Вычислите длину отрезка \(AM\), если \(AB = 12\), \(AC = 15\), \(BC = 18\).
- В равнобеденном треугольнике \(ABC\) выполнено \(AB = BC = 13\), \(AC = 10\).
- Найдите высоту треугольника, проведённую из вершины \(C\).
- Найдите радиус вписанной окружности треугольника \(ABC\).
- Найдите радиус описанной окружности треугольника \(ABC\).
- В треугольник вписан прямоугольник \(KLMN\) (\(LM = 2\,KL\)), так что точки \(K\) и \(L\) лежат на стороне \(AC\), а точки \(M\) и \(N\) — на сторонах \(BC\) и \(AB\) соответственно. Найдите длину \(KL\).
- В трапеции \(ABCD\) стороны оснований \(AD = 9\), \(BC = 5\). Боковые стороны \(AB = 4\), \(CD = 5\). Найдите высоту трапеции.
- В равнобеденную трапецию вписана окружность. Найдите радиус этой окружности, если основания трапеции равны \(4\) и \(9\).
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Вычислите без использования микрокалькулятора:
\[
\frac{\bigl(\tfrac{3}{5} + 0{,}425 - 0{,}005\bigr)\colon 0{,}1}{30{,}5 + \tfrac{1}{6} + 3\tfrac{1}{3}} + \frac{6\tfrac{3}{4} + 5\tfrac{1}{2}}{26 \colon 3\tfrac{5}{7}} - 0{,}05.
\]
Решение:
Преобразуем первое слагаемое:
\[
\tfrac{3}{5} + 0{,}425 - 0{,}005 = 0{,}6 + 0{,}425 - 0{,}005 = 1{,}02
\]
\[
1{,}02 : 0{,}1 = 10{,}2
\]
\[
30{,}5 + \tfrac{1}{6} + 3\tfrac{1}{3} = 30{,}5 + 0{,}1667 + 3{,}3333 = 34
\]
\[
\frac{10{,}2}{34} = 0{,}3
\]
Второе слагаемое:
\[
6\tfrac{3}{4} + 5\tfrac{1}{2} = 6{,}75 + 5{,}5 = 12{,}25
\]
\[
26 : 3\tfrac{5}{7} = 26 \cdot \frac{7}{26} = 7
\]
\[
\frac{12{,}25}{7} = 1{,}75
\]
Суммируем и вычитаем 0,05:
\[
0{,}3 + 1{,}75 - 0{,}05 = 2{,}0
\]
Ответ: 2.
- Упростите выражение:
\[
\biggl(\bigl(a^{\tfrac12} + b^{\tfrac12}\bigr)^{-1}\biggr)^{-2} - \biggl(\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a^2 - b^2}\biggr)^{-1} \quad\Biggr|\;\sqrt{ab}.
\]
Решение:
Первое слагаемое:
\[
\bigl(a^{1/2} + b^{1/2}\bigr)^2 = a + 2\sqrt{ab} + b
\]
Второе слагаемое:
\[
\frac{a^2 - b^2}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{(a-b)(a+b)}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = (\sqrt{a} + \sqrt{b})(a + b)
\]
Разность:
\[
a + 2\sqrt{ab} + b - (\sqrt{a} + \sqrt{b})(a + b) = 2\sqrt{ab} - (\sqrt{a}a + \sqrt{a}b + \sqrt{b}a + \sqrt{b}b)
\]
После сокращений:
Ответ: \(\sqrt{ab}\).
- Решите уравнения:
-
\[
\frac{2x + 7}{x^2 + 5x - 6} + \frac{3}{x^2 + 9x + 18} = \frac{1}{x + 3}
\]
Решение:
Знаменатели:
\[
x^2 + 5x - 6 = (x + 6)(x - 1), \quad x^2 + 9x + 18 = (x + 6)(x + 3)
\]
Общий знаменатель: \((x+6)(x-1)(x+3)\). Приводим к общему знаменателю:
\[
(2x+7)(x+3) + 3(x-1) = (x+6)(x-1)
\]
Решая уравнение:
\[
2x^2 + 13x + 21 + 3x - 3 = x^2 + 5x - 6
\]
Ответ: \(x = -6\) (не подходит), \(x = -2\). Итоговый ответ: \(-2\).
-
\[
\frac{\lvert 2x - 1 \rvert}{8 - x - x^2} - \frac{4}{\lvert x^2 + x - 8 \rvert} = 0
\]
Решение:
Знаменатели равны по модулю: \(|x^2 + x - 8| = |-(x^2 + x - 8)|\). Уравнение эквивалентно:
\[
\lvert 2x - 1 \rvert = 4
\]
Ответ: \(x = 2{,}5\), \(x = -1{,}5\).
- \[ \sqrt{7 - x} = x - 1 \] Решение: Возводим в квадрат: \(7 - x = x^2 - 2x + 1\). Корни: \(x = 3\) (подходит), \(x = -2\) (не подходит). Ответ: 3.
-
\[
\frac{2x + 7}{x^2 + 5x - 6} + \frac{3}{x^2 + 9x + 18} = \frac{1}{x + 3}
\]
Решение:
Знаменатели:
\[
x^2 + 5x - 6 = (x + 6)(x - 1), \quad x^2 + 9x + 18 = (x + 6)(x + 3)
\]
Общий знаменатель: \((x+6)(x-1)(x+3)\). Приводим к общему знаменателю:
\[
(2x+7)(x+3) + 3(x-1) = (x+6)(x-1)
\]
Решая уравнение:
\[
2x^2 + 13x + 21 + 3x - 3 = x^2 + 5x - 6
\]
Ответ: \(x = -6\) (не подходит), \(x = -2\). Итоговый ответ: \(-2\).
- Решите неравенства:
-
\[
\frac{(x - 3)^2\,(x^2 - 3x - 10)}{x^2 + 8x + 16} \le 0
\]
Решение:
Знаменатель: \(x \neq -4\). Числитель: \((x-3)^2(x-5)(x+2)\). Метод интервалов:
Ответ: \(x \in [-2; 5]\), исключая \(x = 3\) и \(x = -4\).
- \[ 1{,}5x - \lvert x \rvert + \lvert 4 - 2x \rvert \ge 4 \] Решение: Разбиваем на интервалы: - \(x \ge 2\): \(1{,}5x - x + 2x - 4 \ge 4\) ⇒ \(x \ge 3{,}2\) - \(0 \le x < 2\): \(1{,}5x - x + 4 - 2x \ge 4\) ⇒ Решений нет - \(x < 0\): \(1{,}5x + x + 4 - 2x \ge 4\) ⇒ \(x \ge 0\) (несовместимо) Ответ: \([3{,}2; +\infty)\).
-
\[
\frac{(x - 3)^2\,(x^2 - 3x - 10)}{x^2 + 8x + 16} \le 0
\]
Решение:
Знаменатель: \(x \neq -4\). Числитель: \((x-3)^2(x-5)(x+2)\). Метод интервалов:
Ответ: \(x \in [-2; 5]\), исключая \(x = 3\) и \(x = -4\).
- Упростите:
\[
\frac{1 - \sqrt{10}}{\sqrt{2} + \sqrt{5}} + \frac{7}{2\sqrt{2} + 1} - (11 - 5\sqrt{5})(2 + \sqrt{5})
\]
Решение:
Рационализируем знаменатели:
\[
\frac{(1 - \sqrt{10})(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3} + \frac{7(2\sqrt{2} - 1)}{7} - (22 + 11\sqrt{5} - 10\sqrt{5} - 25)
\]
Упрощая:
Ответ: \(2\sqrt{2} - \sqrt{5} - 2\).
- Найдите натуральные \(n\):
\[
\frac{-n^2 + 2n - 31}{n + 3}
\]
Выделяем целую часть:
\[
-n + 5 - \frac{16}{n + 3}
\]
Условие целочисленности: \(n + 3\) делит 16. Натуральные решения: \(n = 1, 5, 13\).
Ответ: 1, 5, 13.
- Задача на производительность:
Пусть второй рабочий делает \(x\) деталей/час. Тогда первый делает \(x + 1\):
\[
\frac{156}{x} - \frac{156}{x + 1} = 1
\]
Решая уравнение: \(x = 12\). Ответ: 12.
- Уравнение с параметром:
Дискриминант: \(4(3a + 3)^2\). Условие единственности: \(a = 0\) или решение линеаризованного уравнения. Ответ: \(a = 0; 6\).
- График функции \(f(x)\):
При \(x \ge 1\): \((x+1)(x-1) = x^2 - 1\).
При \(x < 1\): \((x+1)(1 - x) = 1 - x^2\).
Промежутки возрастания: \((-\infty; -2)\), \((0; \infty)\).
- Арифметическая прогрессия:
Пусть члены \(a - d, a, a + d\). После преобразований:
Знаменатель геометрической прогрессии: 2.
- Геометрия в треугольнике:
По теореме Стюарта: \(AM^2 = \frac{4 \cdot 15^2 + 5 \cdot 12^2}{9} - \frac{4 \cdot 5 \cdot 18}{81}\). Ответ: \(AM = 14\).
- Равнобедренный треугольник:
- Высота из C: \(\sqrt{13^2 - 5^2} = 12\).
- Радиус вписанной: \(\frac{10 + 13 + 13}{2} = 18\), площадь \(60\), \(r = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}\).
- Радиус описанной: \(\frac{13 \cdot 13 \cdot 10}{4 \cdot 60} = \frac{169}{24}\).
- Прямоугольник \(KLMN\): \(KL = 2\).
- Высота трапеции:
Проведя высоты, получаем прямоугольные треугольники. Ответ: \(h = 3\).
- Радиус вписанной окружности: Полупериметр \(\frac{4 + 9 + 4 + 5}{2} = 11\). Площадь \(\sqrt{11 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 2} = \sqrt{308}\). \(r = \frac{\sqrt{308}}{11}\). Ответ: \(2\sqrt{7}/11\).
Материалы школы Юайти