8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 9 в 10 класс 2015 вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 2015
Печать
youit.school ©

Лицей 239

2015 год

Вариант 2

  1. Упростите: \[ \biggl(\frac{x\sqrt{x} + 1}{x - \sqrt{x} - 2} + \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}\biggr) :\bigl(\tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{\sqrt{x} - 2}\bigr). \]
  2. Вычислить: \[ \frac{2{,}5^3 - 4{,}4^3}{1{,}9} + 2{,}5^2 + 4{,}4^2. \]
  3. Решить уравнения:
    1. \((3x + 2)(x + 1) = 2(x + 1)^2.\)
    2. \(\displaystyle \frac{4}{x^2 + 3x + 9} = \frac{1}{x - 3} - \frac{6x + 9}{x^3 - 27}. \)
  4. Решить неравенства:
    1. \(\displaystyle \frac{3}{\sqrt{x - 4} + 2} > \frac{2}{\sqrt{x - 4} + 3}. \)
    2. \(\displaystyle \frac{x^2 - 3x + 2}{2x + 3} \;\ge\; \frac{x^2 - 3x + 2}{x + 5}. \)
  5. Найдите наибольшее значение функции \[ y = 6 + \sqrt{3 - x^2 - 2x}. \]
    1. Постройте график функции \[ y = \frac{2(x - 1)}{3x - 2 - x^2}. \]
    2. Укажите число решений уравнения \(y = a\) в зависимости от \(a\).
  7. Маша и Настя могут вымыть окно за 20 мин. Настя и Лена — за 15мин, а Маша и Лена — за 12 мин. За какое время девочки вымоют окно, работая втроём?
  8. Мальчик сбежал вниз по движущемуся эскалатору и насчитал 30 ступенек. Затем он пробежал вверх по тому же эскалатору с той же скоростью относительно эскалатора и насчитал 70 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы, спустившись по неподвижному эскалатору?
  9. Гипотенуза \(BC\) прямоугольного треугольника \(ABC\) равна 24 см. Найдите длину биссектрисы, проведённой из вершины \(B\), если \(AB = 3\) см.
  10. Точки \(A(3;2)\), \(B(4;7)\) и \(D(16;7)\) являются тремя вершинами трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\). Известно, что около трапеции можно описать окружность. Найдите площадь трапеции.
  11. В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса \(R\). Найдите стороны трапеции, если её большее основание равно \(4R\).
  12. Найдите сумму всех двузначных чисел, делящихся на 7.
  13. Докажите, что прямая \(4x + 6y - 7 = 0\) не проходит через точки, обе координаты которых — целые числа.
  14. Из трёхзначного числа вычли сумму его цифр. Может ли разность быть равной 180?
  15. Операция \(\ast\) каждому двум числам \(x,y\) ставит в соответствие число \(x\ast y\). При этом для всех чисел \(x,y,z\) выполнено: \[ x\ast x = 0,\quad (x+y)\ast z = x + (y\ast z). \] Найдите \(8\ast 12\).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростите: \[ \biggl(\frac{x\sqrt{x} + 1}{x - \sqrt{x} - 2} + \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}\biggr) :\bigl(\tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{\sqrt{x} - 2}\bigr). \] Решение: Введем замену $t = \sqrt{x}$, тогда $x = t^2$, $x\sqrt{x} = t^3$. Преобразуем выражение: \[ \frac{t^3 + 1}{t^2 - t - 2} + \frac{3t}{t - 2} = \frac{(t + 1)(t^2 - t + 1)}{(t - 2)(t + 1)} + \frac{3t}{t - 2} = \frac{t^2 - t + 1}{t - 2} + \frac{3t}{t - 2} = \frac{t^2 + 2t + 1}{t - 2}. \] Упростим делитель: \[ \frac{1}{3} + \frac{1}{t - 2} = \frac{t - 2 + 3}{3(t - 2)} = \frac{t + 1}{3(t - 2)}. \] Окончательно: \[ \frac{t^2 + 2t + 1}{t - 2} : \frac{t + 1}{3(t - 2)} = 3(t + 1). \] Ответ: $3(\sqrt{x} + 1)$.

  2. Вычислить: \[ \frac{2{,}5^3 - 4{,}4^3}{1{,}9} + 2{,}5^2 + 4{,}4^2. \] Решение: Используем формулу разности кубов: \[ \frac{(2,5 - 4,4)(2,5^2 + 2,5 \cdot 4,4 + 4,4^2)}{1,9} + 6,25 + 19,36 = -1,9 \cdot \frac{6,25 + 11 + 19,36}{1,9} + 25,61 = -(36,61) + 25,61 = -11. \] Ответ: $-11$.

  3. Решить уравнения:
    1. $(3x + 2)(x + 1) = 2(x + 1)^2.$ Решение: Переносим все в левую часть: \[ (3x + 2)(x + 1) - 2(x + 1)^2 = (x + 1)(3x + 2 - 2x - 2) = (x + 1)(x) = 0. \] Корни: $x = -1$ и $x = 0$. Ответ: $-1; 0$.

    2. $\displaystyle \frac{4}{x^2 + 3x + 9} = \frac{1}{x - 3} - \frac{6x + 9}{x^3 - 27}. $ Решение: Умножим обе части на общий знаменатель $(x - 3)(x^2 + 3x + 9)$: \[ 4(x - 3) = (x^2 + 3x + 9) - (6x + 9). \] Упростим: \[ 4x - 12 = x^2 - 3x \Rightarrow x^2 - 7x + 12 = 0 \Rightarrow x = 3; 4. \] Проверка: $x = 3$ не входит в ОДЗ. Ответ: $4$.


  4. Решить неравенства:
    1. $\displaystyle \frac{3}{\sqrt{x - 4} + 2} > \frac{2}{\sqrt{x - 4} + 3}. $ Решение: Введем замену $t = \sqrt{x - 4}$, $t \ge 0$: \[ \frac{3}{t + 2} > \frac{2}{t + 3} \Rightarrow 3(t + 3) > 2(t + 2) \Rightarrow t + 5 > 0. \] Решения при всех $t \ge 0$, значит $x \ge 4$. Ответ: $x \ge 4$.

    2. $\displaystyle \frac{x^2 - 3x + 2}{2x + 3} \ge \frac{x^2 - 3x + 2}{x + 5}. $ Решение: Переносим все в левую часть: \[ \frac{(x - 1)(x - 2)(x + 5 - 2x - 3)}{(2x + 3)(x + 5)} \ge 0 \Rightarrow \frac{(x - 1)(x - 2)(-x + 2)}{(2x + 3)(x + 5)} \ge 0. \] Метод интервалов: Ответ: $x \in [-5; -\frac{3}{2}) \cup [1; 2] \cup [2; \infty)$.



  5. Найдите наибольшее значение функции \[ y = 6 + \sqrt{3 - x^2 - 2x}. \] Решение: Максимум подкоренного выражения: \[ 3 - (x + 1)^2 + 1 = 4 - (x + 1)^2. \] Максимум при $x = -1$: $\sqrt{4} = 2$. Ответ: $8$.

    1. График функции \[ y = \frac{2(x - 1)}{3x - 2 - x^2} = \frac{2(x - 1)}{-(x^2 - 3x + 2)} = \frac{-2(x - 1)}{(x - 1)(x - 2)} = \frac{-2}{x - 2} \ (x \ne 1). \] Гипербола с выколотой точкой при $x = 1$.

    2. Число решений: При $a = 0$ — одно решение. При $a \ne 0$ пересечение гиперболы $y = -2/(x-2)$ с горизонтальной прямой: одно решение для любого $a \ne 0$.



  7. Время работы втроём: Составляем систему уравнений для производительностей: \[ \frac{1}{M} + \frac{1}{H} = \frac{1}{20}, \quad \frac{1}{H} + \frac{1}{Л} = \frac{1}{15}, \quad \frac{1}{M} + \frac{1}{Л} = \frac{1}{12}. \] Суммируем уравнения: $\frac{2}{M} + \frac{2}{H} + \frac{2}{Л} = \frac{1}{20} + \frac{1}{15} + \frac{1}{12} = \frac{1}{4}$. Общая производительность: $\frac{1}{8}$. Время: 8 мин. Ответ: 8 минут.

  8. Число ступенек неподвижного эскалатора: Пусть $N$ — число ступенек, $v$ — скорость эскалатора, $u$ — скорость мальчика. При движении вниз: $N = (u + v)t_1 = 30$, вверх: $N = (u - v)t_2 = 70$. Решая систему, получаем $N = 210/5 = 42$ при $v = 0$. Ответ: 42.

  9. Длина биссектрисы: Используем формулу биссектрисы в прямоугольном треугольнике: \[ BD = \frac{2AB \cdot BC \cos(45^\circ)}{AB + BC} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 24 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{27} = \frac{72\sqrt{2}}{27} = \frac{8\sqrt{2}}{3}. \] Ответ: $\frac{8\sqrt{2}}{3}$ см.

  10. Площадь трапеции: Так как трапеция описанная, $AB + CD = AD + BC$. Координаты точек: $AD$ — горизонтальное основание. Находим $C(13;7)$. Площадь: $\frac{(16 - 3 + 13 - 4) \cdot 5}{2} = 75$. Ответ: 75.

  11. Стороны трапеции: Получаем систему: $a + b = 4R$, $R = \frac{a + b}{2}$. Большая боковая сторона: $4R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2R\sqrt{2}$. Ответ: $2R$, $2R\sqrt{2}$, $4R$, $2R\sqrt{2}$.

  12. Сумма двузначных чисел: Первое число 14, последнее 98. Количество чисел: $\frac{98 - 14}{7} + 1 = 13$. Сумма: $\frac{14 + 98}{2} \cdot 13 = 728$. Ответ: 728.

  13. Доказательство: Предположим $4x + 6y = 7$. Левая часть делится на 2, правая — нет. Противоречие.
  14. Разность числа и суммы цифр: Пусть число $100a + 10b + c - (a + b + c) = 99a + 9b = 180 \Rightarrow 11a + b = 20$. Решения: $a=1$, $b=9$ (число 190). Ответ: Да.

  15. Операция $\ast$: Из свойств: $8 \ast 12 = 8 + (0 \ast 4) = 8 + (-4) = 4$. Ответ: 4.
Материалы школы Юайти