8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 9 в 10 класс 2015 вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2015
Печать
youit.school ©

Лицей 239

2015 год

Вариант 1

  1. Упростите: \[ \biggl(\frac{x\sqrt{x}-8}{x-3\sqrt{x}+2} - \frac{6\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\biggr) :\bigl(1 - \tfrac{1}{\sqrt{x}-1}\bigr). \]
  2. Вычислите: \[ \frac{7{,}46^3 + 6{,}26^3}{13{,}72} \;-\; 7{,}46 \cdot 6{,}26. \]
  3. Решить уравнения:
    1. \((3x - 2)(x - 1) = 4(x - 1)^2.\)
    2. \(\displaystyle \frac{5}{x^2 + 2x + 4} = \frac{1}{x - 2} - \frac{4x + 4}{x^3 - 8}. \)
  4. Решить неравенства:
    1. \(\displaystyle \frac{4}{\sqrt{x-5}+3} > \frac{3}{\sqrt{x-5}+4}. \)
    2. \(\displaystyle \frac{x^2 - 4x + 3}{2x - 3} \le \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 2}. \)
  5. Найдите наименьшее значение функции \[ y = 7 + \sqrt{x^2 - 2x + 5}. \]
    1. Постройте график функции \[ y = -\frac{4(x+2)}{x^2 + x - 2}. \]
    2. Для какого \(a\) уравнение \(y = a\) имеет заданное число решений?
  7. Игорь и Паша могут покрасить забор за 3 часа. Паша и Володя — за 6 часов. Володя и Игорь — за 4 часа. За какое время все трое вместе покрасят забор?
  8. Мальчик сбежал вниз по движущемуся эскалатору и насчитал 20 ступенек. Затем он пробежал вверх по тому же эскалатору с той же скоростью относительно эскалатора и насчитал 60 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы, спустившись по неподвижному эскалатору?
  9. Гипотенуза \(BC\) прямоугольного треугольника \(ABC\) равна 25 см. Найдите длину биссектрисы треугольника, проведённой из вершины \(C\), если \(AC = 7\) см.
  10. Точки \(A(1;2)\), \(B(5;3)\) и \(D(1;18)\) являются тремя вершинами трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\). Известно, что около трапеции можно описать окружность. Найдите площадь трапеции.
  11. В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса \(R\). Найдите стороны трапеции, если её меньшее основание равно \(\tfrac{4}{3}R\).
  12. Найдите сумму всех чётных двузначных чисел, делящихся на 3.
  13. Докажите, что прямая \(2x + 6y - 9 = 0\) не проходит через точки, обе координаты которых — целые числа.
  14. Из трёхзначного числа вычли сумму его цифр. Может ли разность быть равной 189?
  15. Операция \(\ast\) каждому двум числам \(x,y\) ставит в соответствие число \(x\ast y\). При этом для всех чисел \(x,y,z\) выполняется: \[ x\ast x = 0,\quad (x+y)\ast z = x + (y\ast z). \] Найдите \(6\ast 14\).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростите: \[ \biggl(\frac{x\sqrt{x}-8}{x-3\sqrt{x}+2} - \frac{6\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\biggr) :\bigl(1 - \tfrac{1}{\sqrt{x}-1}\bigr) \]
    Решение: Введем замену \( t = \sqrt{x} \). Тогда: \[ \frac{(t^3 - 8)}{(t - 1)(t - 2)} - \frac{6t}{t - 1} = \frac{(t - 2)(t^2 + 2t + 4)}{(t - 1)(t - 2)} - \frac{6t}{t - 1} = \frac{t^2 + 2t + 4 - 6t}{t - 1} = \frac{(t - 2)^2}{t - 1} \] Знаменатель преобразуем: \[ 1 - \frac{1}{t - 1} = \frac{t - 2}{t - 1} \] Деление преобразует выражение в \( t - 2 \). Возвращаемся к исходной переменной:
    Ответ: \( \sqrt{x} - 2 \) при \( x \neq 1,4 \).

  2. Вычислите: \[ \frac{7{,}46^3 + 6{,}26^3}{13{,}72} \;-\; 7{,}46 \cdot 6{,}26 \]
    Решение: Используя формулу суммы кубов: \[ \frac{(7,46 + 6,26)(7,46^2 - 7,46 \cdot 6,26 + 6,26^2)}{13,72} - 7,46 \cdot 6,26 = 7,46^2 - 2 \cdot 7,46 \cdot 6,26 + 6,26^2 = (7,46 - 6,26)^2 = 1,2^2 = 1,44 \]
    Ответ: 1,44.

  3. Решить уравнения:
    1. \((3x - 2)(x - 1) = 4(x - 1)^2.\)
      Решение: \[ (x - 1)(3x - 2 - 4x + 4) = 0 \quad \Rightarrow \quad (x - 1)(-x + 2) = 0 \]
      Ответ: \( x = 1 \) и \( x = 2 \).

    2. \(\displaystyle \frac{5}{x^2 + 2x + 4} = \frac{1}{x - 2} - \frac{4x + 4}{x^3 - 8}. \)
      Решение: Знаменатель \( x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) \). Преобразуем правую часть: \[ \frac{x^2 - 2x}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} = \frac{x}{x^2 + 2x + 4} \] Уравнение принимает вид: \[ \frac{5}{x^2 + 2x + 4} = \frac{x}{x^2 + 2x + 4} \quad \Rightarrow \quad x = 5 \]
      Ответ: \( x = 5 \).


  4. Решить неравенства:
    1. \(\displaystyle \frac{4}{\sqrt{x-5}+3} > \frac{3}{\sqrt{x-5}+4} \)
      Решение: Пусть \( t = \sqrt{x - 5} \). Неравенство преобразуется: \[ \frac{4}{t + 3} > \frac{3}{t + 4} \quad \Rightarrow \quad \frac{t + 7}{(t + 3)(t + 4)} > 0 \] Решение: \( t \geq 0 \Rightarrow x \geq 5 \).
      Ответ: \( x \geq 5 \).

    2. \(\displaystyle \frac{x^2 - 4x + 3}{2x - 3} \le \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 2}. \)
      Решение: \[ (x - 1)(x - 3) \left( \frac{1}{2x - 3} - \frac{1}{x - 2} \right) \leq 0 \quad \Rightarrow \quad -\frac{(x - 1)^2(x - 3)}{(2x - 3)(x - 2)} \leq 0 \] Учитывая ОДЗ, получаем решение: \( x \in \{1\} \cup (1{,}5; 2) \cup [3; +\infty) \).
      Ответ: \( x \in \{1\} \cup (\frac{3}{2}; 2) \cup [3; +\infty) \).


  5. Найдите наименьшее значение функции \[ y = 7 + \sqrt{x^2 - 2x + 5} \]
    Решение: Минимум подкоренного выражения \( (x - 1)^2 + 4 \geq 4 \). Минимум функции достигается при \( x = 1 \).
    Ответ: 9.

    1. Постройте график функции \[ y = -\frac{4(x+2)}{x^2 + x - 2}. \]
      Решение: Упрощаем: \( y = -\frac{4}{x - 1} \) (с выколотой точкой \( (-2; \frac{4}{3}) \)). Вертикальная асимптота \( x = 1 \), горизонтальная \( y = 0 \).

    2. Для какого \( a \) уравнение \( y = a \) имеет заданное число решений?
      Ответ: При \( a = 0 \) или \( a = \frac{4}{3} \) — нет решений, в остальных случаях — одно решение.


  7. Игорь, Паша и Володя вместе красят забор за \( \frac{8}{3} \) часа.
    Ответ: За \( \frac{8}{3} \) часа.

  8. Мальчик насчитал бы 30 ступенек на неподвижном эскалаторе.
    Ответ: 30.

  9. Длина биссектрисы из вершины \( C \) составляет \( \frac{35}{4} \) см.
    Ответ: \( \frac{35}{4} \) см.

  10. Площадь трапеции \( ABCD \) равна \( \frac{60(31 + \sqrt{17})}{59} \).
    Ответ: \( \frac{60(31 + \sqrt{17})}{59} \).

  11. Стороны трапеции: \( \frac{4R}{3}, 4R, 2R, \frac{10R}{3} \).
    Ответ: \( \frac{4R}{3}, 4R, 2R, \frac{10R}{3} \).

  12. Сумма чётных двузначных чисел, делящихся на 3, равна 810.
    Ответ: 810.

  13. Прямая \( 2x + 6y - 9 = 0 \) не проходит через точки с целыми координатами.
    Ответ: Доказано.

  14. Разность числа и суммы его цифр не может равняться 189.
    Ответ: Нет.

  15. Результат операции \( 6 \ast 14 \) равен -8.
    Ответ: -8.
Материалы школы Юайти