8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 9 в 10 класс 2013 вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 2013
Печать
youit.school ©

Лицей 239

2013 год

Вариант 2

  1. Вычислите без использования микрокалькулятора: \[ \frac{\bigl(\tfrac{3}{5} + 0{,}425 - 0{,}005\bigr)\colon 0{,}1} {30{,}5 + \tfrac{1}{6} + 3\tfrac{1}{3}} \;+\; \frac{6\tfrac{3}{4} + 5\tfrac{1}{2}}{26 \colon 3\tfrac{5}{7}} \;-\; 0{,}05. \]

  2. Упростите выражение: \[ \biggl(\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1}} + \frac{x - 1}{\sqrt{x^2 - 1} - x + 1}\biggr) \;\cdot\; \bigl(x^2 - 1\bigr)^{-\tfrac{1}{2}}. \]

  3. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе: \[ \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3} - \sqrt{6} - \sqrt{24} - \sqrt{48} + \sqrt{108}}. \]

  4. Решите уравнения:
    1. \(2\sqrt{x - 3} + \sqrt{x + 1} = 2.\)
    2. \(\bigl\lvert 16 - 9x\bigr\rvert - \bigl\lvert 9x - 5\bigr\rvert = 11.\)
    3. \(\displaystyle \frac{4(x^2 + 1)}{x^2 - 10x + 1} - \frac{5x}{x^2 + 1} + \frac{7}{2} = 0. \)


  5. Решите неравенство: \[ \frac{(-1 + x^2)\,(1 - x)^2\,(x + 1)^3}{x^8 - x^6 + x^4} \;\le\; 0. \]

  6. Дана функция \(f(x)=|x^2+2x|\).
    1. Постройте график функции \(y=f(x)\).
    2. Сколько решений имеет уравнение \(f(x)=a\) в зависимости от \(a\)?


  7. Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону \[ h(t)=1{,}4 + 9t - 5t^2, \] где \(h\) — высота в метрах, \(t\) — время в секундах после броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 3 м?

  8. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города \(A\) в город \(B\), расстояние между которыми равно 98 км. На следующий день он отправился обратно в \(A\) со скоростью на 7 км/ч больше прежней; по пути сделал остановку на 3 ч. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из \(A\) в \(B\). Найдите его скорость на обратном пути в км/ч.

  9. Выясните, при каких значениях \(a\) корни уравнения \[ x^2 + (a - 5)x + a^2 - a = 0 \] таковы, что число \(2\) лежит между ними.

  10. Изобразите на координатной плоскости множество точек \((x,y)\), удовлетворящее условию \[ \frac{(y - 2x + 1)\,(y + 2x - 1)}{y^2 - x^2} = 0. \]

  11. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна её меньшему основанию, угол при основании равен \(60^\circ\), большее основание равно \(12\). Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

  12. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен \(150^\circ\). Боковая сторона треугольника равна \(20\). Найдите площадь этого треугольника.

  13. Прямая \(a\) проходит через точки \((-6,0)\) и \((0,4)\). Прямая \(b\) проходит через точку \((0,-6)\) и параллельна прямой \(a\). Найдите абсциссу точки пересечения прямой \(b\) с осью \(Ox\).

  14. Найдите ординату центра окружности, описанной около треугольника с вершинами \((8,0)\), \((0,6)\), \((8,6)\).

  15. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ\), \(\sin A = \tfrac{24}{25}\). Найдите \(\sin B\).

  16. Найдите площадь треугольника, медианы которого равны \(12\), \(15\) и \(21\).

  17. Две окружности радиуса \(r\) касаются друг друга. Кроме того, каждая из них касается изнутри третьей окружности радиуса \(R\) в точках \(A\) и \(B\) соответственно. Найдите \(R\), если \(AB = 11\) и \(r = 5\).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: \[ \frac{\left(\frac{3}{5} + 0{,}425 - 0{,}005\right):0{,}1}{30{,}5 + \frac{1}{6} + 3\frac{1}{3}} + \frac{6\frac{3}{4} + 5\frac{1}{2}}{26:3\frac{5}{7}} - 0{,}05 \] Решение:
    1. Вычислим числитель первой дроби: \[ \frac{3}{5} = 0{,}6; \quad 0{,}6 + 0{,}425 = 1{,}025; \quad 1{,}025 - 0{,}005 = 1{,}02; \quad 1{,}02:0{,}1 = 10{,}2 \]
    2. Знаменатель первой дроби: \[ 30{,}5 = \frac{61}{2}; \quad 3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}; \quad \frac{61}{2} + \frac{1}{6} + \frac{10}{3} = \frac{183 + 1 + 20}{6} = \frac{204}{6} = 34 \]
    3. Первая дробь: \[ \frac{10{,}2}{34} = 0{,}3 \]
    4. Числитель второй дроби: \[ 6\frac{3}{4} + 5\frac{1}{2} = \frac{27}{4} + \frac{11}{2} = \frac{27 + 22}{4} = \frac{49}{4} = 12{,}25 \]
    5. Знаменатель второй дроби: \[ 3\frac{5}{7} = \frac{26}{7}; \quad 26:\frac{26}{7} = 7; \quad \frac{49}{4}:7 = \frac{7}{4} = 1{,}75 \]
    6. Итоговое выражение: \[ 0{,}3 + 1{,}75 - 0{,}05 = 2{,}0 \]
    Ответ: \(2\)

  2. Упростите выражение: \[ \left(\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1}} + \frac{x - 1}{\sqrt{x^2 - 1} - x + 1}\right) \cdot \left(x^2 - 1\right)^{-\frac{1}{2}} \] Решение:
    1. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на \(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1}\): \[ \frac{\sqrt{x - 1}(\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1})}{2} = \frac{\sqrt{x^2 - 1} - (x - 1)}{2} \]
    2. Преобразуем вторую дробь, домножив на \(\sqrt{x^2 - 1} + x - 1\): \[ \frac{(x - 1)(\sqrt{x^2 - 1} + x - 1)}{x^2 - 1 - (x - 1)^2} = \frac{(x - 1)(\sqrt{x^2 - 1} + x - 1)}{2x - 2} \]
    3. Сумма дробей после сокращений: \[ \frac{\sqrt{x^2 - 1} - x + 1 + \sqrt{x^2 - 1} + x - 1}{2\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{\sqrt{x^2 - 1}} = 1 \]
    Ответ: \(1\)

  3. Упростите знаменатель: \[ \sqrt{3} - \sqrt{6} - \sqrt{24} - \sqrt{48} + \sqrt{108} = \sqrt{3}(1 - \sqrt{2} - 2\sqrt{2} - 4 + 6) = \sqrt{3}(3 - 3\sqrt{2}) \] Домножаем числитель и знаменатель на \(3 + 3\sqrt{2}\): \[ \frac{\sqrt{6}(3 + 3\sqrt{2})}{-9 \cdot 3} = \frac{\sqrt{6}(1 + \sqrt{2})}{-9} = -\frac{\sqrt{2} + 2}{3} \] Ответ: \(-\frac{\sqrt{2} + 2}{3}\)

  4. Решите уравнения:
    1. \(2\sqrt{x - 3} + \sqrt{x + 1} = 2\)
      Решение: Пусть \(t = \sqrt{x + 1}\), тогда \(x = t^2 - 1\). Уравнение: \[ 2\sqrt{t^2 - 4} + t = 2 \quad \Rightarrow \quad t = 2, \quad x = 3 \] Проверка: \(2\sqrt{0} + \sqrt{4} = 2\) — верно. Ответ: \(3\)

    2. \(|16 - 9x| - |9x - 5| = 11\)
      Решение: Рассмотрим три случая:
      • \(x < \frac{5}{9}\): \(16 - 9x + 9x - 5 = 11 \Rightarrow 11 = 11\) — верно для \(x < \frac{5}{9}\)
      • \(\frac{5}{9} \le x \le \frac{16}{9}\): \(16 - 9x - (5 - 9x) = 11 \Rightarrow 11 = 11\) — верно для \(\frac{5}{9} \le x \le \frac{16}{9}\)
      • \(x > \frac{16}{9}\): \(9x - 16 - (9x - 5) = 11 \Rightarrow -11 = 11\) — неверно
      Ответ: \(x \in (-\infty, \frac{16}{9}]\)

    3. \(\frac{4(x^2 + 1)}{x^2 - 10x + 1} - \frac{5x}{x^2 + 1} + \frac{7}{2} = 0\)
      Решение: Замена \(t = \frac{x^2 + 1}{x}\): \[ \frac{4t}{t - 10} - \frac{5x}{t} + \frac{7}{2} = 0 \] Решая квадратное уравнение, получаем \(x = 3 \pm 2\sqrt{2}\) Ответ: \(3 \pm 2\sqrt{2}\)


  5. Решите неравенство: \[ \frac{(x^2 - 1)(1 - x)^2(x + 1)^3}{x^4(x^2 + 1)} \le 0 \] Решение: Учитывая кратности корней и знаки: \[ x \in (-\infty, -1] \cup \{1\} \] Ответ: \(x \in (-\infty, -1] \cup \{1\}\)

  6. График \(y = |x^2 + 2x|\) строится отражением части параболы ниже оси OX. Уравнение \(f(x) = a\) имеет:
    • Нет решений при \(a < 0\)
    • Два решения при \(0 \le a < 1\)
    • Три решения при \(a = 1\)
    • Четыре решения при \(a > 1\)
    Ответ:
    • При \(a < 0\) — 0 решений
    • При \(0 \le a < 1\) — 2 решения
    • При \(a = 1\) — 3 решения
    • При \(a > 1\) — 4 решения


  7. Мяч на высоте ≥ 3 м: \[ 1{,}4 + 9t - 5t^2 \ge 3 \quad \Rightarrow \quad 5t^2 - 9t + 1{,}6 \le 0 \] Корни: \(t = 0{,}2\) и \(t = 1{,}6\). Интервал: \(0{,}2 \le t \le 1{,}6\). Ответ: \(1{,}4\) сек.

  8. Пусть скорость велосипедиста в гору \(v\), тогда: \[ \frac{98}{v} = \frac{98}{v + 7} + 3 \quad \Rightarrow \quad v = 7 \quad \Rightarrow \quad v + 7 = 14 \] Ответ: \(14\) км/ч

  9. Корни уравнения \(x^2 + (a - 5)x + a^2 - a = 0\): Условие \(f(2) < 0\): \[ 4 + 2(a - 5) + a^2 - a < 0 \quad \Rightarrow \quad a^2 + a - 6 < 0 \quad \Rightarrow \quad a \in (-3, 2) \] Ответ: \(-3 < a < 2\)

  10. Точки пересечения: \[ \frac{(y - 2x + 1)(y + 2x - 1)}{y^2 - x^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 2x -1, \quad y = -2x +1, \quad x \ne \pm y \] Ответ: Прямые \(y = 2x -1\) и \(y = -2x +1\) без точек пересечения с гиперболами.

  11. Радиус описанной окружности трапеции: Большее основание \(12\), углы \(60^\circ\). Боковая сторона равна меньшему основанию \(AD = AB = CD\). По теореме косинусов: \[ R = \frac{AD}{2\sin 60^\circ} = \frac{12}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \] Ответ: \(4\sqrt{3}\)

  12. Площадь треугольника с углом \(150^\circ\): \[ S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 20 \cdot \sin 150^\circ = 100 \cdot \frac{1}{2} = 50 \] Ответ: \(50\)

  13. Прямая \(a\): \(y = \frac{2}{3}x + 4\). Параллельная прямая \(b\): \(y = \frac{2}{3}x - 6\). Пересечение с Ox: \(y = 0\): \[ 0 = \frac{2}{3}x -6 \quad \Rightarrow \quad x = 9 \] Ответ: \(9\)

  14. Центр окружности — середина гипотенузы с вершинами \((8,0)\) и \((0,6)\). Центр \((4,3)\). Ордината: \(3\).

  15. \(\sin B = \cos A = \sqrt{1 - \left(\frac{24}{25}\right)^2} = \frac{7}{25}\)

  16. Площадь треугольника по медианам \(12, 15, 21\): \[ S = \frac{4}{3}\sqrt{s(s - m_a)(s - m_b)(s - m_c)} = \frac{4}{3}\sqrt{24 \cdot 9 \cdot 6 \cdot 3} = 72 \] Ответ: \(72\)

  17. Из геометрических соотношений: \[ R = \frac{AB}{2} + r = \frac{11}{2} + 5 = 10{,}5 \] Ответ: \(10{,}5\)
Материалы школы Юайти