8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 9 в 10 класс 2013 вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2013
Печать
youit.school ©

Лицей 239

2013 год

Вариант 1

  1. Вычислите: \[ \frac{\bigl(5^{\frac{4}{45}} - 4^{\frac{1}{6}}\bigr)\colon 5^{\frac{8}{15}}} {\bigl(4^{\frac{2}{3}} + 0{,}75\bigr)\colon 3^{\frac{9}{13}}} \;\cdot\; 34^{\frac{2}{7}} \;+\; \frac{0{,}3 \colon 0{,}01}{70} \;+\; \frac{2}{7}. \]

  2. Упростите выражение: \[ \Bigl(\frac{\sqrt{a} - 2}{a + 2\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a} + 2}{a - 2\sqrt{a}}\Bigr) \;\cdot\; \frac{a^{\tfrac{3}{2}}}{a + 4} \;-\; \frac{8}{a - 4}. \]

  3. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе: \[ \frac{10}{\sqrt{5} - \sqrt{10} + \sqrt{20} + \sqrt{40} - \sqrt{80}}. \]

  4. Решите уравнения:
    1. \(\sqrt{2x + 5} - \sqrt{2x} = 1.\)
    2. \(\bigl\lvert 12 - 7x\bigr\rvert - \bigl\lvert 7x - 11\bigr\rvert = 1.\)
    3. \(\displaystyle \frac{x^2 + 4}{x} + \frac{x}{x^2 + 3x + 4} + \frac{11}{2} = 0. \)


  5. Решите неравенство: \[ \frac{(1 - x^2)\,(x - 1)^2\,(x + 1)^3}{x^6 + x^4 + x^2} \;\le\; 0. \]

  6. Дана функция \(f(x)=|x^2-2x|\).
    1. Постройте график функции \(y=f(x)\).
    2. Сколько решений имеет уравнение \(f(x)=a\) в зависимости от \(a\)?


  7. Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону \[ h(t)=1,6 + 13t - 5t^2, \] где \(h\) — высота в метрах, \(t\) — время в секундах после броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 4 м?

  8. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города \(A\) в город \(B\), расстояние между которыми 70 км. На следующий день он отправился обратно в \(A\) со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из \(A\) в \(B\). Найдите скорость велосипедиста на пути из \(B\) в \(A\). Ответ дайте в км/ч.

  9. Выясните, при каких значениях \(a\) корни уравнения \[ x^2 - (a - 7)x + a^2 - 6a + 4 = 0 \] таковы, что число \(-1\) лежит между ними.

  10. Изобразите на плоскости множество точек \((x,y)\), удовлетворящее условию \[ \frac{yx - x^2 - y + 1}{x - 1} = 0. \]

  11. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.

  12. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен \(30^\circ\). Боковая сторона треугольника равна 10. Найдите площадь этого треугольника.

  13. Прямая \(a\) проходит через точки с координатами \((0,4)\) и \((6,0)\). Прямая \(b\) проходит через точку \((0,8)\) и параллельна прямой \(a\). Найдите абсциссу точки пересечения прямой \(b\) с осью \(Ox\).

  14. Найдите абсциссу центра окружности, описанной около треугольника, вершины которого имеют координаты \((8,0)\), \((0,6)\), \((8,6)\).

  15. В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ\), \(\sin A = \frac{7}{25}\). Найдите \(\cos A\).

  16. Найдите площадь треугольника, медианы которого равны 3, 4 и 5.

  17. Две окружности радиуса \(r\) касаются друг друга. Кроме того, каждая из них касается снаружи третьей окружности радиуса \(R\) в точках \(A\) и \(B\) соответственно. Найдите радиус \(r\), если \(AB = 12\) и \(R = 8\).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: \[ \frac{\left(5^{\frac{4}{45}} - 4^{\frac{1}{6}}\right)\colon 5^{\frac{8}{15}}}{\left(4^{\frac{2}{3}} + 0{,}75\right)\colon 3^{\frac{9}{13}}} \cdot 34^{\frac{2}{7}} + \frac{0{,}3 \colon 0{,}01}{70} + \frac{2}{7} \] Решение: Упростим выражения в числителе и знаменателе: \[ \frac{5^{\frac{4}{45}}}{5^{\frac{8}{15}}} = 5^{\frac{4}{45}-\frac{24}{45}} = 5^{-\frac{4}{9}};\quad 4^{\frac{1}{6}} \cdot 5^{-\frac{8}{15}} = 2^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{-\frac{8}{15}} \] Знаменатель: \[ 4^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{4}{3}};\quad \frac{2^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{4}}{3^{\frac{9}{13}}} \approx \frac{2,5198 + 0,75}{2,0801} \approx 1,565 \] Общая дробь: \(\frac{5^{-\frac{4}{9}} - 2^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{-\frac{8}{15}}}{1,565} \approx -0,235\). Умножаем на \(34^{\frac{2}{7}} \approx 3\). Далее: \[ \frac{0,3:0,01}{70} = \frac{30}{70} = \frac{3}{7};\quad \frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5}{7} \] Итого: \(3 \cdot (-0,235) + 0,714 + 0,286 \approx -0,705 + 1 = 0,295\). Ответ: \(0,295\).

  2. Упростите выражение: \[ \left(\frac{\sqrt{a} - 2}{a + 2\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a} + 2}{a - 2\sqrt{a}}\right) \cdot \frac{a^{\tfrac{3}{2}}}{a + 4} - \frac{8}{a - 4} \] Решение: Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}-2) + (\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}+2)}{a(a-4)} \cdot \frac{a\sqrt{a}}{a+4} - \frac{8}{a-4} = \frac{2a - 8}{a(a-4)} \cdot \frac{a\sqrt{a}}{a+4} - \frac{8}{a-4} \] Упростим: \[ \frac{2\sqrt{a}}{a+4} - \frac{8}{a-4} = \frac{2\sqrt{a}(a-4) - 8(a+4)}{(a+4)(a-4)} \] Раскрываем скобки: \[ 2a\sqrt{a} - 8\sqrt{a} - 8a - 32 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 4. \] Ответ: \(0\).

  3. Избавьтесь от иррациональности: \[ \frac{10}{\sqrt{5} - \sqrt{10} + \sqrt{20} + \sqrt{40} - \sqrt{80}} \] Решение: Упростим знаменатель: \[ \sqrt{20} = 2\sqrt{5},\quad \sqrt{40} = 2\sqrt{10},\quad \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \] Знаменатель: \[ \sqrt{5} - \sqrt{10} + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{10} - 4\sqrt{5} = (-\sqrt{5} + \sqrt{10}) \] Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное: \[ \frac{10(-\sqrt{5} - \sqrt{10})}{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{-10\sqrt{5} -10\sqrt{10}}{5} = -2\sqrt{5} -2\sqrt{10} \] Ответ: \(-2\sqrt{5} - 2\sqrt{10}\).

  4. Решите уравнения:
    1. \(\sqrt{2x + 5} - \sqrt{2x} = 1\) Решение: Переносим корень: \(\sqrt{2x+5} = 1 + \sqrt{2x}\). Возводим в квадрат: \[ 2x + 5 = 1 + 2\sqrt{2x} + 2x \quad \Rightarrow \quad 4 = 2\sqrt{2x} \quad \Rightarrow \quad x = 2 \] Проверка: \(\sqrt{9} - \sqrt{4} = 3 - 2 = 1\). Ответ: \(2\).

    2. \(|12 - 7x| - |7x -11| =1\) Решение: Рассмотрим случаи: \[ x < \frac{11}{7}: \quad 12 -7x - (11 -7x) =1 \quad \Rightarrow \quad 1 =1 \quad x \in (-\infty, \frac{11}{7}) \] \[ \frac{11}{7} \le x < \frac{12}{7}: \quad 12 -7x - (7x -11) =1 \quad \Rightarrow \quad -14x +23=1 \quad x = \frac{22}{14} = \frac{11}{7} \] Проверка: \(x \ge \frac{12}{7}\), решений нет. Ответ: \(x \le \frac{11}{7}\).

    3. \(\frac{x^2 + 4}{x} + \frac{x}{x^2 + 3x + 4} + \frac{11}{2} =0\) Решение: Общий знаменатель \(x(x^2 + 3x +4)\): \[ (x^2 +4)(x^2 +3x +4) +x^2 + \frac{11}{2}x(x^2 +3x +4)=0 \] После раскрытия и упрощения: \[ 2x^4 +11x^3 +35x^2 +48x +32=0 \quad \Rightarrow \quad (x+1)(x+4)(2x^2 +3x +8)=0 \] Действительные корни: \(x = -1\), \(x = -4\). Ответ: \(-1\), \(-4\).


  5. Решите неравенство: \[ \frac{(1 - x^2)(x - 1)^2(x +1)^3}{x^6 +x^4 +x^2} \le0 \] Решение: Знаменатель \(x^2(x^4 +x^2 +1) >0\) для \(x \ne0\). Числитель: \[ (1 -x^2)(x -1)^2(x +1)^3 = -(x -1)^3(x+1)^4 \] Метод интервалов: критические точки \(x =1\) (кратность 3), \(x =-1\) (4). Ответ: \(x \in [-1,1]\).

  6. Дана функция \(f(x)=|x^2-2x|\):
    1. График: парабола \(y =x^2 -2x\), отраженная вверх при \(x \in (0,2)\).
    2. Уравнение \(f(x)=a\) имеет:
      • 0 решений при \(a <0\)
      • 2 решения при \(0 \le a <1\)
      • 4 решения при \(1 \le a <2\)
      • 3 решения при \(a=1\)
      • 2 решения при \(a \ge2\)


  7. Высота мяча \(h(t) \ge4\): \[ 1,6 +13t -5t^2 \ge4 \quad \Rightarrow \quad -5t^2 +13t -2,4 \ge0 \] Корни: \(t =0,2\) и \(t=2,4\). Интервал: \(0,2 \le t \le2,4\). Ответ: \(2,2\) сек.

  8. Скорость велосипедиста: Пусть \(v\) км/ч — скорость из \(A\) в \(B\), время \(70/v\). Обратно: \(\frac{70}{v+3} +3 = \frac{70}{v}\). Решение: \[ 70v =70(v+3) -3v(v+3) \quad \Rightarrow \quad v =7 \] Ответ: \(10\) км/ч.

  9. Корни уравнения: \[ f(-1) <0 \quad \Rightarrow \quad 1 + (a -7) +a^2 -6a +4 <0 \quad \Rightarrow \quad a^2 -5a -2 <0 \] Решаем неравенство: \(a \in \left(\frac{5 -\sqrt{33}}{2}, \frac{5 +\sqrt{33}}{2}\right)\).

  10. Уравнение плоскости: \[ \frac{yx -x^2 -y +1}{x -1}=0 \quad \Rightarrow \quad y(x-1) -x^2 +1 =0 \quad \Rightarrow \quad y =x +1 \quad (x \ne1) \] Ответ: прямая \(y=x+1\) без точки \((1,2)\).

  11. Периметр трапеции 22, средняя линия 5: Средняя линия равна \(\frac{a+b}{2} =5\), следовательно \(a+b =10\). Боковые стороны: \(c+d =22 -10 =12\). Для описанной трапеции \(c +d =a +b =10\), противоречие. Ответ: боковая сторона 6.

  12. Площадь равнобедренного треугольника: \[ S =\frac{1}{2}ab \sin C = \frac{1}{2} \cdot10 \cdot10 \cdot \frac{1}{2} =25 \] Ответ: \(25\).

  13. Абсцисса пересечения прямой \(b\) с \(Ox\): Уравнение прямой \(a\): \(\frac{x}{6} + \frac{y}{4} =1\). Прямая \(b\) параллельна, имеет уравнение \(y = -\frac{2}{3}x +8\). При \(y=0\): \(x=12\). Ответ: \(12\).

  14. Центр окружности: середина гипотенузы с концами \((8,0)\) и \((0,6)\). Центр: \((4,3)\). Абсцисса: \(4\).

  15. \(\cos A = \sqrt{1 - \left(\frac{7}{25}\right)^2} = \frac{24}{25}\).

  16. Площадь треугольника по медианам \(3,4,5\): \[ S = \frac{4}{3} \sqrt{ (s -m_a)(s -m_b)(s -m_c) } \quad \text{где} \quad s =6. \quad S=8 \]

  17. Радиус \(r\) окружностей: Треугольник \(O_1O_2O_3\) равносторонний со стороной \(2r\). При \(AB =12\), \(R =8\): \[ R +r = \sqrt{(R -r)^2 +6^2} \quad \Rightarrow \quad r =3 \]
Материалы школы Юайти