8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 9 в 10 класс 2012 вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 2012
Печать
youit.school ©

Лицей 239

2012 год

Вариант 2

  1. Вычислите: \[ (-1)^{18} + 32^{\,4/5} + 8\cdot27^{\,1/3} - \frac{1}{27}\cdot\bigl(3^{\tfrac{1}{4}}\cdot3^{\,1/3}\bigr)^{12} -\Bigl(-\tfrac{1}{6}\Bigr)^{-3}. \]
  2. Упростите выражение: \[ \biggl(\frac{a^{3/2} + 1}{a-1} - \frac{a}{\sqrt{a+1}} - \frac{1}{\sqrt{a-1}}\biggr) :\Bigl(\frac{1}{1 + a^{-1/2}}\Bigr)^{-1}. \]
  3. Вычислите: \[ (\sqrt{5} - \sqrt{6})\,\sqrt{11 + 2\sqrt{30}}. \]
  4. Решите уравнения:
    1. \(\sqrt{x+2} = x\).
    2. \(\lvert2 - x\rvert + \lvert2x - 3\rvert = 1\).
    3. \(\displaystyle\frac{4}{x+1} + \frac{3x}{x-2} = -1.\)
  5. Решите неравенство: \[ \frac{(x^2 + 14x + 49)\,(16 - x^2)}{x^2 - 6x + 9} \;\ge\; 0. \]
  6. Пусть \[ f(x) = \frac{x + 1 - \lvert x + 1\rvert}{x^2 - 1}. \]
    1. Постройте график функции \(y = f(x)\).
    2. Найдите область определения и множество значений \(f\).
    3. Сколько решений имеет уравнение \(f(x) = a\) в зависимости от \(a\)?
  7. Найдите все значения параметра \(a\), при которых число \(1\) заключено между корнями уравнения \[ x^2 + (a - 7)x + a^2 - 6a = 0. \]
  8. Изобразите на координатной плоскости множество точек \((x,y)\), удовлетворяющее уравнению \[ \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2 - 16} = 0. \]
  9. Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, второй член которой равен \(-5\), а разность между шестым и четвёртым членами равна \(6\).
  10. Две бригады, работая вместе, могут закончить уборку урожая за \(8\) дней. Если сначала первая бригада будет работать \(3\) дня, а затем вторая — \(12\) дней, то они выполнят \(75\%\) всей работы. За сколько дней одна только вторая бригада может закончить уборку?
  11. Дано: \(\cos\alpha = -\tfrac{5}{13}\), \(\tfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi\). Найдите \(\sin2\alpha\).
  12. В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с основанием \(AC\) боковая сторона \(AB=8\), а \(\cos A = \tfrac{\sqrt{7}}{4}\). Найдите высоту треугольника \(ABC\), опущенную на основание \(AC\).
  13. Найдите длину медианы \(BM\) треугольника \(ABC\), если \(A(3,2)\), \(B(2,3)\), \(C(0,0)\).
  14. Острый угол прямоугольного треугольника равен \(53^\circ\). Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла.
  15. В параллелограмме \(ABCD\) высота, опущенная на сторону \(AB\), равна \(14\), \(AD=28\). Найдите \(\sin B\).
  16. Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, равен \(10\), а основание треугольника равно \(12\). Найдите площадь этого треугольника.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: \[ (-1)^{18} + 32^{\,4/5} + 8\cdot27^{\,1/3} - \frac{1}{27}\cdot\bigl(3^{\tfrac{1}{4}}\cdot3^{\,1/3}\bigr)^{12} -\Bigl(-\tfrac{1}{6}\Bigr)^{-3} \] Решение: \[ 1 + (2^5)^{4/5} + 8\cdot3 - \frac{1}{27}(3^{1/4+1/3})^{12} - (-6)^3 = \] \[ 1 + 16 + 24 - \frac{1}{27}(3^{7/12}\cdot12) + 216 = 41 + 216 = 257 \] Ответ: 257.

  2. Упростите выражение: \[ \biggl(\frac{a^{3/2} + 1}{a-1} - \frac{a}{\sqrt{a+1}} - \frac{1}{\sqrt{a-1}}\biggr):\Bigl(\frac{1}{1 + a^{-1/2}}\Bigr)^{-1} \] Решение: \[ \frac{(\sqrt{a})^3 + 1}{a-1} - \frac{a}{\sqrt{a}+1} - \frac{1}{\sqrt{a}-1} = \frac{(\sqrt{a}+1)(a - \sqrt{a} +1)}{(a-1)} - \frac{a}{\sqrt{a}+1} - \frac{1}{\sqrt{a}-1} = 1 \] Ответ: 1.

  3. Вычислите: \[ (\sqrt{5} - \sqrt{6})\,\sqrt{11 + 2\sqrt{30}} = (\sqrt{5}-\sqrt{6})\sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{6})^2} = -1 \] Ответ: -1.

  4. Решите уравнения:
    1. \(\sqrt{x+2} = x\). Решение: \(x^2 - x - 2 = 0\), корни 2 и -1. Проверка: x=2 — верно. Ответ: 2.
    2. \(|2 - x| + |2x - 3| = 1\). Решение: Критические точки 2 и 1.5. Интервалы: - \(x < 1.5\): \(2 - x + 3 - 2x = 5 - 3x = 1\) → x=4/3. - \(1.5 \le x < 2\): \(2 - x + 2x -3 = x-1 =1\) → x=2. - \(x \ge 2\): \(x - 2 + 2x -3 =3x -5=1\) → x=2. Ответ: 4/3; 2.
    3. \(\frac{4}{x+1} + \frac{3x}{x-2} = -1\). Решение: Умножим на (x+1)(x-2): \(4(x-2) +3x(x+1) = -(x+1)(x-2)\). Корни x=1 и x=2. Проверка: x=1. Ответ: 1.
  5. Неравенство: \[ \frac{(x+7)^2(4-x)(4+x)}{(x-3)^2} \ge 0. \quad \text{Ответ: } x \in [-7; -4] \cup [3;4]. \]
  6. Функция \(f(x)\):
    1. График: \(f(x) = 0\) при \(x \ge -1\), \(f(x) = \frac{-2}{x^2-1}\) при \(x < -1\).
    2. Область определения: \(x \ne \pm1\). Множество значений: \((-\infty;0)\).
    3. При \(a < 0\) — два решения, при \(a \ge 0\) — нет решений.
  7. Параметр \(a\): Условие \(f(1) < 0 \Rightarrow a^2 -4a -5 < 0 \Rightarrow a \in (-1;5)\).
  8. Множество точек: \(x^2 = y^2\) и \(x^2 + y^2 \ne16\). Ответ: Прямые y=x и y=-x без точек пересечения с окружностью r=4.
  9. Арифметическая прогрессия: \(a_2 = -5 = a_1 + d\), \(a_6 -a_4 = 2d =6 \Rightarrow d=3\), \(a_1 = -8\). Сумма \(S_{10} = \frac{2(-8)+9\cdot3}{2}\cdot10 = 95\).
  10. Работа бригад: Система: \(8(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=1\), \(3\cdot\frac{1}{x}+12\cdot\frac{1}{y}=0.75\). Решение: \(y=24\) дней.
  11. \(\sin2α = 2(-\frac{5}{13})\cdot(-\frac{12}{13}) = \frac{120}{169}\).
  12. Высота треугольника: \(h = AB \cdot \sin A = 8 \cdot \sqrt{1 - \frac{7}{16}} = 8 \cdot \frac{3}{4} = 6\).
  13. Медиана BM: Координаты M(1.5,1). Длина BM = \(\sqrt{(2-1.5)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{4.25}\).
  14. Угол 37°, т.к. медиана к гипотенузе равна её половине, угол между ними 90° -53°=37°.
  15. \(\sin B = \frac{14}{28} = 0.5\).
  16. Площадь треугольника: Центр окружности вне треугольника. Высота h=16, площадь 96.
Материалы школы Юайти