8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 9 в 10 класс 2012 вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2012
Печать
youit.school ©

Лицей 239

2012 год

Вариант 1

  1. Вычислите: \[ (-1)^{21} - 8^{\,1/4} + \bigl(2^{\,2/3}\cdot2^{\,1/2}\bigr)^{6} - 16^{\,5/4} +\Bigl(-\tfrac{1}{4}\Bigr)^{-3}. \]

  2. Упростите выражение: \[ \biggl(\frac{a^2 + 4}{a^3 + 2\sqrt{2}} - \frac{1}{a + \sqrt{2}}\biggr) :\Bigl(\frac{a^2}{\sqrt{2}} - a + \sqrt{2}\Bigr)^{-1}. \]

  3. Вычислите: \[ (\sqrt{2} - \sqrt{3})\,\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}. \]

  4. Решите уравнения:
    1. \(\sqrt{x - 1} = x - 3;\)
    2. \(\lvert 3 - x\rvert + \lvert 2x - 5\rvert = 6;\)
    3. \(\displaystyle\frac{2x}{x - 1} + \frac{3}{x - 2} = 6.\)


  5. Решите неравенство: \[ \frac{(x^2 - 4x + 4)\,(9 - x^2)}{x^2 + 8x + 16} \;\le\; 0. \]

  6. Пусть \[ f(x) = \frac{x - 1 + \lvert x - 1\rvert}{x^2 - 1}. \]
    1. Постройте график функции \(y = f(x)\).
    2. Найдите область определения и множество значений \(f\).
    3. Сколько решений имеет уравнение \(f(x) = a\) в зависимости от \(a\)?
  7. Найдите все значения параметра \(a\), при которых число \(1\) заключено между корнями уравнения \[ x^2 + (a - 5)x + a^2 - a = 0. \]
  8. Изобразите на координатной плоскости множество точек \((x,y)\), удовлетворяющее уравнению \[ \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2 - 4} = 0. \]
  9. Найдите сумму первых шести членов арифметической прогрессии, первый член которой равен \(1{,}2\), а четвёртый — \(1{,}8\).
  10. Два печника, работая вместе, могут сложить печь за 12 ч. Если сначала один (первый) печник будет работать 2 ч, а затем другой — 3 ч, то они выполнят только 20% всей работы. За сколько часов может сложить печь один первый печник?
  11. Дано: \(\sin\alpha = \tfrac{12}{13}\), \(\tfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi\). Найдите \(\cos2\alpha\).
  12. В треугольнике \(ABC\) \(\cos C = \tfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(AC = BC = 2\sqrt{2}\). Найдите высоту \(AH\) этого треугольника.
  13. Найдите длину медианы \(BM\) треугольника \(ABC\), если известны координаты вершин \(A(1;4)\), \(B(0;0)\), \(C(4;1)\).
  14. Острый угол прямоугольного треугольника равен \(24^\circ\). Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла.
  15. В параллелограмме \(ABCD\) высота, опущенная на сторону \(AB\), равна 20, \(AD = 25\). Найдите \(\sin B\).
  16. Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, равен 5 см, а высота, опущенная к основанию, равна 8 см. Найдите площадь треугольника.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: \[ (-1)^{21} - 8^{\,1/4} + \bigl(2^{\,2/3}\cdot2^{\,1/2}\bigr)^{6} - 16^{\,5/4} +\Bigl(-\tfrac{1}{4}\Bigr)^{-3}. \] Решение: $$\begin{aligned} (-1)^{21} &= -1, \\ 8^{1/4} &= 2^{3/4}, \\ \left(2^{2/3} \cdot 2^{1/2}\right)^6 &= 2^{7/6 \cdot 6} = 128, \\ 16^{5/4} &= 32, \\ \left(-\frac{1}{4}\right)^{-3} &= -64. \end{aligned}$$ Подставляя: \[ -1 - 2^{3/4} + 128 - 32 - 64 = 31 - 2^{3/4}. \] Ответ: \(31 - 2^{3/4}\).

  2. Упростите выражение: \[ \biggl(\frac{a^2 + 4}{a^3 + 2\sqrt{2}} - \frac{1}{a + \sqrt{2}}\biggr) :\Bigl(\frac{a^2}{\sqrt{2}} - a + \sqrt{2}\Bigr)^{-1}. \] Решение: Упростим первую часть: \[ \frac{a^2 + 4}{(a + \sqrt{2})(a^2 - a\sqrt{2} + 2)} - \frac{1}{a + \sqrt{2}} = \frac{a^2 + 4 - (a^2 - a\sqrt{2} + 2)}{(a + \sqrt{2})(a^2 - a\sqrt{2} + 2)} = \frac{a\sqrt{2} + 2}{(a + \sqrt{2})(a^2 - a\sqrt{2} + 2)}. \] Умножаем на обратную величину второй части: \[ \frac{a\sqrt{2} + 2}{(a + \sqrt{2})(a^2 - a\sqrt{2} + 2)} \cdot \left(\frac{a^2}{\sqrt{2}} - a + \sqrt{2}\right) = \frac{\sqrt{2}(a + \sqrt{2})}{(a + \sqrt{2})(a^2 - a\sqrt{2} + 2)} \cdot (a^2 - a\sqrt{2} + 2) = \sqrt{2}. \] Ответ: \(\sqrt{2}\).

  3. Вычислите: \[ (\sqrt{2} - \sqrt{3})\,\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}. \] Решение: Заметим, что \(5 + 2\sqrt{6} = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2\). Тогда: \[ (\sqrt{2} - \sqrt{3})\sqrt{(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2} = (\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3}) = -1. \] Ответ: \(-1\).

  4. Решите уравнения:
    1. \(\sqrt{x - 1} = x - 3.\) Решение: Возведем в квадрат: \[ x - 1 = x^2 - 6x + 9 \implies x^2 -7x +10 = 0. \] Корни: \(x = 5\), \(x = 2\). Проверка: \(x = 5\) — подходит, \(x = 2\) — нет. Ответ: \(5\).

    2. \(\lvert 3 - x\rvert + \lvert 2x - 5\rvert = 6.\) Решение: Рассмотрим случаи:
      • \(x < \frac{5}{2}\): \(-3x + 11 =6 \implies x = \frac{5}{3}\).
      • \(\frac{5}{2} \le x <3\): \(x +1 =6 \implies x =5\) — не подходит.
      • \(x \ge3\): \(3x -8 =6 \implies x = \frac{14}{3}\).
      Ответ: \(\frac{5}{3}\), \(\frac{14}{3}\).

    3. \(\frac{2x}{x - 1} + \frac{3}{x - 2} = 6.\) Решение: Приводим к общему знаменателю: \[ 2x(x-2) +3(x-1) =6(x-1)(x-2) \implies 6x^2 -25x +21=0. \] Корни: \(x = 3\), \(x = \frac{7}{6}\). Проверка: оба подходят. Ответ: \(3\), \(\frac{7}{6}\).


  5. Решите неравенство: \[ \frac{(x^2 - 4x + 4)\,(9 - x^2)}{x^2 + 8x + 16} \;\le\; 0. \] Решение: Упростим: \[ \frac{(x-2)^2(3-x)(3+x)}{(x+4)^2} \le 0. \] Метод интервалов: \(x \in [-4; -3] \cup \{2\} \cup (3; +\infty)\). Ответ: \([-4; -3] \cup \{2\} \cup (3; +\infty)\).

  6. Функция \(f(x) = \frac{x - 1 + \lvert x - 1\rvert}{x^2 - 1}\).
    1. График: При \(x >1\): \(f(x) = \frac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2}{x+1}\). При \(x <1\): \(f(x)=0\). Вертикальная асимптота \(x = -1\).
    2. Область определения: \(x \ne 1, -1\). Множество значений: \(f(x) \ge 0\).
    3. Уравнение \(f(x)=a\) имеет: 1 решение при \(a > \frac{2}{x+1}\) (x >1), 0 решений при \(a <0\), бесконечно много при \(a =0\) (x <1).


  7. Найдите \(a\) такие, что корни уравнения \(x^2 + (a -5)x +a^2 -a=0\) заключают 1 между собой. Решение: \(f(1) <0\): \(1 + a -5 +a^2 -a <0 \implies a^2 -4 <0 \implies a \in (-2;2)\). Ответ: \((-2;2)\).

  8. Множество точек: Уравнение \(\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2 -4} =0 \implies x^2 = y^2\) при \(x^2 + y^2 \ne4\). Ответ: Прямые \(y =x\) и \(y=-x\) без точек окружности \(x^2 + y^2 =4\).

  9. Арифметическая прогрессия: \(a_1 =1,2\), \(a_4 =1,8\). Разность \(d = \frac{1,8 -1,2}{3} =0,2\). Сумма: \(S_6 = \frac{6}{2}(2 \cdot1,2 +5 \cdot0,2) =3 \cdot3,4 =10,2\). Ответ:10,2.

  10. Первый печник: Пусть первый работает за \(x\) часов. Тогда: \(\frac{2}{x} + \frac{3}{\frac{12x}{x-12}} =0,2\). Решение: \(x =30\). Ответ:30 часов.

  11. \(\cos2\alpha\) при \(\sin\alpha=\frac{12}{13}\): \(\cos2\alpha =1 -2\sin^2\alpha =1 -2 \cdot \frac{144}{169} =-\frac{119}{169}\). Ответ:\(-\frac{119}{169}\).

  12. Высота \(AH\): Треугольник равнобедренный, \(\cos C =\frac{\sqrt{2}}{2} \implies \angle C =45^\circ\). Высота: \(AH =AC \cdot \sin45^\circ=2\sqrt{2} \cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=2\). Ответ:2.

  13. Медиана \(BM\): Координаты \(M\) — середина \(AC\): \(M(2,5;2,5)\). Длина \(BM = \sqrt{2,5^2 +2,5^2} =\frac{5\sqrt{2}}{2}\). Ответ:\(\frac{5\sqrt{2}}{2}\).

  14. Угол между медианой и высотой: Ответ: \(24^\circ\).

  15. \(\sin B\) в параллелограмме: Высота \(h=20\), \(AD=25\). \(\sin B =\frac{h}{AD} =\frac{20}{25}=0,8\). Ответ:0,8.

  16. Площадь треугольника: Основание \(a =2\sqrt{25 -16}=6\). Площадь: \(\frac{1}{2} \cdot6 \cdot8=24\). Ответ:24 см².
Материалы школы Юайти