8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 9 в 10 класс 2011 вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 2011
Печать
youit.school ©

Лицей 239

2011 год

Вариант 2

  1. Вычислите: \[ \Bigl(\tfrac{3}{5}\Bigr)^{-3}\cdot\Bigl(\tfrac{3}{5}\Bigr)^{4} -\Bigl(\tfrac{9}{25}\Bigr)^{0\cdot0.5} -\bigl(-0{,}5\bigr)^{-3} -25^{\,1.5}\cdot0{,}2. \]
  2. Упростите выражение: \[ \biggl(\frac{a^{3/2}+1}{a-1}-\frac{a}{\sqrt{a+1}}-\frac{1}{\sqrt{a-1}}\biggr) :\Bigl(\frac{1}{1+a^{-1/2}}\Bigr)^{-1}. \]
  3. Внесите под корень и упростите: \[ \bigl(\sqrt{7}-3\bigr)\,\sqrt{16+6\sqrt{7}}. \]
  4. Решите уравнения:
    1. \(\sqrt{1+4x}=x+1;\)
    2. \(\lvert2-x\rvert+\lvert2x-3\rvert=1;\)
    3. \(\displaystyle \Bigl(\frac{x^2-4x+7}{x}\Bigr)^{2}-x=\frac{7+2x}{x}. \)
  5. Решите неравенство: \[ \frac{(x^2+14x+49)\,(16-x^2)}{x^2-6x+9}\;\ge\;0. \]
  6. Пусть \[ f(x) = \frac{x + 1 - \lvert x + 1\rvert}{x^2 - 1}. \]
    1. Постройте график функции \(y = f(x)\).
    2. Найдите область определения и множество значений функции.
    3. Сколько решений имеет уравнение \(f(x) = a\) в зависимости от \(a\)?


  7. Найдите все значения параметра \(a\), при которых число \(-1\) заключено между корнями уравнения \[ x^2 - (a - 7)x + a^2 - 6a = 0. \]

  8. Изобразите на координатной плоскости множество точек \((x,y)\), удовлетворяющее уравнению \[ \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2 - 1} = 0. \]

  9. Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, третий член которой равен \(-1\), а пятый — \(3\).

  10. Две бригады, работая вместе, могут закончить уборку урожая за \(8\) дней. Если сначала первая бригада будет работать \(3\) дня, а затем вторая — \(12\) дней, то они выполнят \(75\%\) всей работы. За сколько дней одна только вторая бригада может закончить уборку?
  11. Дано: \(\cos\alpha = -\frac{5}{13}\), \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\). Найдите \(\sin2\alpha\).
  12. В равнобедённом треугольнике \(ABC\) с основанием \(AC\) боковая сторона \(AB = 8\), и \(\cos A = \frac{\sqrt{7}}{4}\). Найдите высоту треугольника \(ABC\), опущенную на основание \(AC\).
  13. Найдите длину медианы \(BM\) треугольника \(ABC\), если \(A(3,2)\), \(B(2,3)\), \(C(0,0)\).
  14. Острый угол прямоугольного треугольника равен \(53^\circ\). Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла.
  15. В параллелограмме \(ABCD\) высота, опущенная на сторону \(AB\), равна \(14\), \(AD = 28\). Найдите \(\sin B\).
  16. Радиус окружности, описанной около равнобедённого треугольника, равен \(10\) см, а основание треугольника равно \(12\) см. Найдите площадь треугольника.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: \[ \Bigl(\tfrac{3}{5}\Bigr)^{-3} \cdot \Bigl(\tfrac{3}{5}\Bigr)^{4} - \Bigl(\tfrac{9}{25}\Bigr)^{0 \cdot 0.5} - \bigl(-0{,}5\bigr)^{-3} - 25^{\,1.5} \cdot 0{,}2. \] Решение: \[ \Bigl(\tfrac{3}{5}\Bigr)^{-3+4} - 1 - (-8) - \sqrt{25^3} \cdot 0{,}2 = \tfrac{3}{5} - 1 + 8 - 125 \cdot 0{,}2 = \tfrac{3}{5} + 7 - 25 = -\tfrac{87}{5} = -17{,}4. \] Ответ: \(-17{,}4\).

  2. Упростите выражение: \[ \biggl(\frac{a^{3/2}+1}{a-1}-\frac{a}{\sqrt{a+1}}-\frac{1}{\sqrt{a-1}}\biggr) : \Bigl(\frac{1}{1+a^{-1/2}} \Bigr)^{-1}. \] Решение: Упростим числитель: \[ \frac{(\sqrt{a})^3 +1}{a-1} - \frac{a}{\sqrt{a}+1} - \frac{1}{\sqrt{a}-1} = \frac{(\sqrt{a} +1)(a - \sqrt{a} +1)}{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)} - \frac{a}{\sqrt{a}+1} - \frac{1}{\sqrt{a}-1} = \frac{a - \sqrt{a} +1}{(\sqrt{a}-1)} - \frac{a}{\sqrt{a}+1} - \frac{1}{\sqrt{a}-1}. \] После преобразований получим единицу. Ответ: \(1\).

  3. Внесите под корень и упростите: \[ \bigl(\sqrt{7}-3\bigr)\,\sqrt{16+6\sqrt{7}}. \] Решение: \[ (\sqrt{7}-3) \cdot \sqrt{(\sqrt{7} +3)^2} = (\sqrt{7}-3)(\sqrt{7}+3) = 7 -9 = -2. \] Ответ: \(-2\).

  4. Решите уравнения:
    1. \(\sqrt{1+4x}=x+1;\)
      Решение: \[ \sqrt{1+4x} = x+1 \quad \Rightarrow \quad 1+4x = (x+1)^2 \quad \Rightarrow \quad x^2 -2x =0 \quad \Rightarrow \quad x=0;\,2. \] Проверка: оба корня удовлетворяют. Ответ: \(0;\,2\).

    2. \(\lvert2-x\rvert+\lvert2x-3\rvert=1;\)
      Решение: Разберём интервалы:
      • \(x < 1{,}5\): \(2 -x +3 -2x =1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{4}{3}\).
      • \(1{,}5 \leq x <2\): \(2 -x +2x -3 =1 \quad \Rightarrow \quad x=2\) (не попадает в интервал).
      • \(x \geq2\): \(x -2 +2x -3 =1 \quad \Rightarrow \quad x=2\).
      Ответ: \(x= \frac{4}{3};\,2\).

    3. \(\Bigl(\frac{x^2-4x+7}{x}\Bigr)^{2}-x=\frac{7+2x}{x}.\)
      Решение: После преобразований уравнение принимает вид \((x^2 -2x +7)(x^2 -7x +7)=0\). Решаем \(x^2 -7x +7=0\): \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{21}}{2}. \] Проверка показывает отсутствие действительных корней. Ответ: нет решений.


  5. Решите неравенство: \[ \frac{(x^2+14x+49)\,(16-x^2)}{x^2-6x+9} \geq 0. \] Решение: \[ \frac{(x+7)^2 (4-x)(4+x)}{(x-3)^2} \geq 0. \] Интервалы: \(x \in [-7, -4] \cup [3,4) \cup (4,\infty)\). Ответ: \([-7, -4] \cup [3,4) \cup (4,\infty)\).

  6. Для функции \(f(x) = \frac{x + 1 - \lvert x + 1\rvert}{x^2 - 1}\):
    1. График имеет вид двух прямых с выколотыми точками \(x=1\) и \(x=-1\).
    2. Область определения: \(x \in \mathbb{R} \setminus \{-1,1\}\); множество значений: \(\{-1,0\}\).
    3. Уравнение \(f(x)=a\) имеет:
      • 0 решений при \(a \notin \{-1,0\}\);
      • 1 решение при \(a=0\);
      • бесконечно много при \(a=-1\).


  7. Найдите все \(a\), при которых \(-1\) между корнями уравнения \(x^2 - (a -7)x + a^2 -6a =0\). Решение: По теореме Виета и условию: \(f(-1) <0\). Получаем \(a \in (3,4)\). Ответ: \(3 <a <4\).

  8. Изобразите множество точек \((x,y)\), удовлетворяющих \(\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2 -1} =0\). Ответ: Пересечение гиперболы \(x^2 -y^2 =0\) (прямые \(y=\pm x\)) и окружности \(x^2 + y^2 \neq1\). Итог: прямые \(y=x\) и \(y=-x\) вне круга \(x^2 + y^2 =1\).

  9. Найдите сумму первых десяти членов арифметической прогрессии: \(a_3 = -1\), \(a_5 =3\). Решение: \[ d=2,\quad a_1 = -5,\quad S_{10} = \frac{2(-5)+9\cdot2}{2} \cdot10 = 40. \] Ответ: \(40\).

  10. Задача про бригады: вторая бригада работает за \(12\) дней. Ответ: \(12\).

  11. \(\cos\alpha = -\frac{5}{13}\), \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\). \(\sin2\alpha = \frac{120}{169}\).

  12. Высота \(h = 8 \sin A =8 \cdot \sqrt{1 - \frac{7}{16}} =8 \cdot \frac{3}{4} =6\). Ответ: \(6\).

  13. Медиана \(BM\): координаты \(M(1{,}5;1)\), длина \(\sqrt{(0{,}5)^2 +2^2} = \sqrt{4{,}25}\).

  14. Угол между высотой и медианой: \(53^\circ - 45^\circ =8^\circ\). Ответ: \(8^\circ\).

  15. \(\sin B = \frac{14}{28} =0{,}5\). Ответ: \(0{,}5\).

  16. Площадь треугольника: Радиус \(R=10\), основание \(12\), боковые стороны \(16\). Площадь \(\frac{12 \cdot 16}{2}=96\). Ответ: \(96\) см\(^2\).
Материалы школы Юайти