8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 9 в 10 класс 2011 вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2011
Печать
youit.school ©

Лицей 239

2011 год

Вариант 1

  1. Вычислите: \[ (-1{,}5)^{-3} - \Bigl(-\tfrac{2}{5}\Bigr)^{-4}\cdot\Bigl(\tfrac{2}{5}\Bigr)^{3} -\Bigl(-\tfrac{4}{9}\Bigr)^{0} + 16^{\,3/4}\cdot0{,}5. \]
  2. Упростите выражение: \[ \Bigl(\frac{a^2 + 4}{a^3 + 2\sqrt{2}} - \frac{1}{a + \sqrt{2}}\Bigr) :\Bigl(\frac{a^2}{\sqrt{2}} - a + \sqrt{2}\Bigr)^{-1}. \]
  3. Внесите под корень и упростите: \[ \bigl(2 - \sqrt{5}\bigr)\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}. \]
  4. Решите уравнения:
    1. \(\sqrt{2x - 1} = x - 2.\)
    2. \(\lvert 3 - x\rvert + \lvert 2x - 5\rvert = 6.\)
    3. \(\displaystyle \Bigl(\frac{x^2 - 3x + 2}{x}\Bigr)^{2} - x = \frac{2 - x}{x}. \)
  5. Решите неравенство: \[ \frac{(x^2 - 4x + 4)\,(9 - x^2)}{x^2 + 8x + 16} \;\le\; 0. \]
  6. Пусть \[ f(x) = \frac{x - 1 + \lvert x - 1\rvert}{x^2 - 1}. \]
    1. Постройте график функции \(y = f(x)\).
    2. Найдите область определения и множество значений функции.
    3. Сколько решений имеет уравнение \(f(x) = a\) в зависимости от \(a\)?


  7. Найдите все значения параметра \(a\), при которых число \(2\) заключено между корнями уравнения \[ x^2 + (a - 5)x + a^2 - a = 0. \]

  8. Изобразите на координатной плоскости множество точек \((x,y)\), удовлетворяющее уравнению \[ \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2 - 9} = 0. \]

  9. Найдите сумму первых шести членов арифметической прогрессии, шестой член которой равен \(\tfrac{3}{4}\), а десятый — \(\tfrac{7}{4}\).

  10. Два печника, работая вместе, могут сложить печь за 12 ч. Если сначала первый печник будет работать 2 ч, а затем второй — 3 ч, то они выполнят только 20% всей работы. За сколько часов один первый печник может сложить печь?
  11. Дано: \(\sin\alpha = -0.28\), \(\pi < \alpha < \tfrac{3\pi}{2}\). Найдите \(\sin2\alpha\).
  12. В треугольнике \(ABC\) \(\cos C = \tfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(AC = BC = 2\sqrt{2}\). Найдите высоту \(AH\) этого треугольника.
  13. Найдите длину медианы \(BM\) треугольника \(ABC\), если \(A(1,4)\), \(B(0,0)\), \(C(4,1)\).
  14. Острый угол прямоугольного треугольника равен \(24^\circ\). Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла.
  15. В параллелограмме \(ABCD\) высота, опущенная на сторону \(AB\), равна 20, \(AD = 25\). Найдите \(\sin B\).
  16. Радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, равен 5 см, а высота, опущенная к основанию, равна 8 см. Найдите площадь треугольника.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: \[ (-1{,}5)^{-3} - \Bigl(-\tfrac{2}{5}\Bigr)^{-4}\cdot\Bigl(\tfrac{2}{5}\Bigr)^{3} -\Bigl(-\tfrac{4}{9}\Bigr)^{0} + 16^{\,3/4}\cdot0{,}5 \] Решение:
    \( (-1.5)^{-3} = \left(-\frac{3}{2}\right)^{-3} = -\frac{8}{27} \)
    \( \left(-\frac{2}{5}\right)^{-4} \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^3 = \left(\frac{25}{4}\right)^2 \cdot \frac{8}{125} = \frac{5}{2} \)
    \( \left(-\frac{4}{9}\right)^0 = 1 \)
    \( 16^{3/4} \cdot 0.5 = 8 \cdot 0.5 = 4 \)
    Суммируем: \(-\frac{8}{27} - \frac{5}{2} - 1 + 4 = -\frac{8}{27} - \frac{27}{54} + 3 = \frac{-16 - 27 + 162}{54} = \frac{119}{54} = 2\frac{11}{54}\)
    Ответ: \(2\frac{11}{54}\).
  2. Упростите выражение: \[ \Bigl(\frac{a^2 + 4}{a^3 + 2\sqrt{2}} - \frac{1}{a + \sqrt{2}}\Bigr) :\Bigl(\frac{a^2}{\sqrt{2}} - a + \sqrt{2}\Bigr)^{-1} \] Решение:
    Разложим знаменатель первой дроби: \(a^3 + 2\sqrt{2} = (a + \sqrt{2})(a^2 - a\sqrt{2} + 2)\). После приведения к общему знаменателю и сокращений получим:
    \(\frac{a - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{a^2 - a\sqrt{2} + 2} = \frac{a - \sqrt{2}}{a^2 - a\sqrt{2} + 2}\)
    Ответ: \(\frac{a - \sqrt{2}}{a^2 - a\sqrt{2} + 2}\).

  3. Внесите под корень и упростите: \[ \bigl(2 - \sqrt{5}\bigr)\sqrt{9 + 4\sqrt{5}} \] Решение:
    \(9 + 4\sqrt{5} = (\sqrt{5} + 2)^2\), тогда выражение принимает вид:
    \((2 - \sqrt{5})(\sqrt{5} + 2) = 4 - 5 = -1\)
    Ответ: \(-1\).

  4. Решите уравнения:
    1. \(\sqrt{2x - 1} = x - 2\)
      Решение:
      Возведем в квадрат: \(2x - 1 = x^2 - 4x + 4\), тогда \(x^2 - 6x + 5 = 0\). Корни: \(x = 1\) и \(x = 5\). Проверка: \(x=5\) удовлетворяет, \(x=1\) — нет.
      Ответ: \(5\).

    2. \(\lvert 3 - x\rvert + \lvert 2x - 5\rvert = 6\)
      Решение:
      Рассмотрим случаи по критическим точкам \(x = 3\) и \(x = 2.5\):
      1. \(x < 2.5\): \(3 - x + 5 - 2x = 6 \Rightarrow x = \frac{2}{3}\)
      2. \(2.5 \le x < 3\): \(3 - x + 2x - 5 = 6 \Rightarrow x = 8\) (не подходит)
      3. \(x \ge 3\): \(x - 3 + 2x - 5 = 6 \Rightarrow x = \frac{14}{3}\)
      Ответ: \(\frac{2}{3}\) и \(\frac{14}{3}\).

    3. \(\displaystyle \Bigl(\frac{x^2 - 3x + 2}{x}\Bigr)^{2} - x \frac{2 - x}{x} = 0\)
      Решение:
      После упрощения уравнение приводится к \((x - 1)(x - 2)(x^2 - 3x + 4) = 0\). Корни: \(x = 1\), \(x = 2\).
      Ответ: \(1\) и \(2\).


  5. Решите неравенство: \[ \frac{(x^2 - 4x + 4)(9 - x^2)}{x^2 + 8x + 16} \le 0 \] Решение:
    Разложим на множители: \(\frac{(x-2)^2(3 - x)(3 + x)}{(x + 4)^2} \le 0\). Критические точки: \(x = -4\), \(-3\), \(2\), \(3\). Метод интервалов даёт решение: \(x \in [-3, 2] \cup (2, 3]\).
    Ответ: \([-3, 3]\), исключая \(x = -4\).

  6. График функции \(f(x) = \frac{x - 1 + \lvert x - 1\rvert}{x^2 - 1}\):
    Решение:
    Упрощаем при \(x \ge 1\): \(f(x) = \frac{2(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{2}{x + 1}\). При \(x 0\) при \(x > 1\), \(y = 0\) при \(x 0\), ни одного — при \(a \le 0\).

  7. Найдите все значения параметра \(a\), при которых число \(2\) заключено между корнями уравнения \(x^2 + (a - 5)x + a^2 - a = 0\).
    Решение:
    Условие \(f(2) < 0\): \(4 + 2(a - 5) + a^2 - a < 0 \Rightarrow a^2 + a - 6 < 0\). Решая неравенство: \(a \in (-3, 2)\).
    Ответ: \((-3, 2)\).

  8. Множество точек \((x,y)\): \(\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2 - 9} = 0\).
    Решение:
    Числитель равен нулю: \(x^2 = y^2\), знаменатель ≠ 0: \(x^2 + y^2 \ne 9\). Получаем прямые \(y = x\) и \(y = -x\) исключая окружность \(x^2 + y^2 = 9\).

  9. Сумма первых шести членов арифметической прогрессии:
    Решение:
    Из условий \(a_6 = \frac{3}{4}\) и \(a_{10} = \frac{7}{4}\) находим разность \(d = 1\). Первый член \(a_1 = a_6 - 5d = -\frac{17}{4}\). Сумма \(S_6 = \frac{6}{2}(2a_1 + 5d) = 3(-\frac{17}{2} + 5) = -\frac{21}{2}\).

  10. Задача о печниках:
    Решение:
    Пусть производительности печников \(x\) и \(y\). Система: \(12(x + y) = 1\), \(2x + 3y = 0.2\). Решая, находим \(x = \frac{1}{30}\). Время работы первого: \(30\) часов.
    Ответ: \(30\) часов.

  11. Найдите \(\sin2\alpha\) при \(\sin\alpha = -0.28\), \(\pi < \alpha < \tfrac{3\pi}{2}\).
    Решение:
    \(\cos\alpha = -\sqrt{1 - 0.0784} = -\sqrt{0.9216} = -0.96\). \(\sin2\alpha = 2 \cdot (-0.28) \cdot (-0.96) = 0.5376\).
    Ответ: \(0.5376\).

  12. Высота \(AH\) треугольника:
    Решение:
    Треугольник равнобедренный, \(\cos C = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow C = 45^\circ\). По теореме косинусов: \(AB = 4\). Площадь \(S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot AH = 4\). Отсюда \(AH = 2\).
    Ответ: \(2\).

  13. Медиана \(BM\) треугольника \(ABC\):
    Решение:
    Координаты \(M\) — середина \(AC\): \((\frac{5}{2}, \frac{5}{2})\). Длина \(BM = \sqrt{(\frac{5}{2})^2 + (\frac{5}{2})^2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}\).
    Ответ: \(\frac{5\sqrt{2}}{2}\).

  14. Угол между высотой и медианой:
    Решение:
    В прямоугольном треугольнике с углом \(24^\circ\) медиана равна половине гипотенузы, высота \(h = \frac{ab}{c}\). Угол между ними: \(90^\circ - 24^\circ - 45^\circ = 21^\circ\).
    Ответ: \(21^\circ\).

  15. \(\sin B\) в параллелограмме:
    Решение:
    Высота \(h = 20\), \(AD = 25\). \(\sin B = \frac{h}{AD} = \frac{20}{25} = 0.8\).
    Ответ: \(0.8\).

  16. Площадь треугольника:
    Решение:
    Радиус описанной окружности \(R = 5\), высота \(h = 8\). Основание \(a = 2\sqrt{R^2 - (h/2)^2} = 6\). Площадь \(S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\).
    Ответ: \(24\).
Материалы школы Юайти