8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 9 в 10 класс 2010 вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 2010
Печать
youit.school ©

Лицей 239

2010 год

Вариант 2

  1. Вычислите: \[ (-14.09)\cdot2\frac{1}{6} - 6.31\bigl(-1\frac{1}{2}\bigr) -2\frac{1}{6}\cdot6.31 +\bigl(-1\frac{1}{2}\bigr)\cdot(-14.09). \]
  2. Упростите выражение при \(a>4\): \[ \Bigl(\frac{a^{3/2}-8}{a^{1/2}+2}\Bigl(\frac{a+2\sqrt{a}+4}{a-4}\Bigr)^{-1}\Bigr)^{1/2} - a^{-\!1/2}. \]
  3. Упростите: \[ \sqrt{19 - 6\sqrt{10}} \;\cdot\; \frac{3 - \sqrt{7}}{\sqrt{16 - 6\sqrt{7}}}. \]
  4. Решите уравнения:
    1. \(x - \sqrt{x+1} = 5;\)
    2. \(\lvert x-2\rvert - \lvert x+4\rvert + \lvert2x-3\rvert = 1;\)
    3. \(\displaystyle \frac{16}{(x+6)(x-1)} - \frac{20}{(x+2)(x+3)} = 1. \)
  5. Решите неравенство: \[ \frac{(2x^2 + x + 1)\,(6x - x^2 - 9)}{x^2 + 8x + 15} \;\ge\; 0. \]

  6. Пусть \[ f(x) = \frac{x + 2 - \lvert 2x + 1\rvert}{x^2 - 1}. \]
    1. Постройте график функции \(y = f(x)\).
    2. Найдите область определения и множество значений функции.
    3. Сколько решений имеет уравнение \(f(x) = a\) в зависимости от \(a\)?


  7. Найдите все значения параметра \(b\), при которых число \(-1\) заключено между корнями уравнения \[ (4 - b^2)x^2 - (3b - 1)x + 7 = 0. \]

  8. Изобразите на координатной плоскости множество точек \((x,y)\), удовлетворяющее уравнению \[ \frac{x^2 + y^2 - 1}{x^2 - y^2} = 0. \]

  9. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, третий член которой равен \(54\), а пятый — \(6\).

  10. Из \(A\) в \(B\) одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на \(16\) км/ч, а вторую половину пути — со скоростью \(96\) км/ч, в результате чего прибыл в \(B\) одновременно с первым. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше \(57\) км/ч.

  11. Дано: \(\cos\alpha = \tfrac{5}{13}\), \(-\tfrac{\pi}{2} < \alpha < 0\). Найдите \(\sin2\alpha\).
  12. Прямая, параллельная стороне \(AC\) треугольника \(ABC\), пересекает стороны \(AB\) и \(BC\) в точках \(K\) и \(M\) соответственно. Найдите \(AC\), если \(BK:KA = 3:4\), \(KM = 18\) см.
  13. Найдите длину медианы \(BM\) треугольника \(ABC\), если \(A(-3,-2)\), \(B(-6,2)\), \(C(0,0)\).
  14. Сторона параллелограмма равна 14 см, а расстояние от точки пересечения диагоналей до этой стороны равно 3 см. Найдите площадь параллелограмма.
  15. Биссектрисы углов \(A\) и \(B\) при боковой стороне \(AB\) трапеции \(ABCD\) пересекаются в точке \(F\). Найдите \(AB\), если \(AF=24\) см, \(BF=18\) см.
  16. Радиус окружности, описанной около равнобедённого треугольника, равен 10 см, а основание треугольника равно 12 см. Найдите площадь этого треугольника.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: \[ (-14.09)\cdot2\frac{1}{6} - 6.31\bigl(-1\frac{1}{2}\bigr) -2\frac{1}{6}\cdot6.31 +\bigl(-1\frac{1}{2}\bigr)\cdot(-14.09). \] Решение: Сгруппируем слагаемые: \[ (-14.09) \cdot 2\frac{1}{6} + (-1\frac{1}{2}) \cdot (-14.09) -6.31 \cdot 2\frac{1}{6} + (-1\frac{1}{2}) \cdot 6.31. \] Вынесем общие множители за скобки: \[ -14.09 \left(2\frac{1}{6} - 1\frac{1}{2}\right) + 6.31 \left(1\frac{1}{2} - 2\frac{1}{6}\right). \] Упростим выражения в скобках: \[ 2\frac{1}{6} - 1\frac{1}{2} = \frac{13}{6} - \frac{3}{2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \quad 1\frac{1}{2} - 2\frac{1}{6} = \frac{3}{2} - \frac{13}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}. \] Подставим и вычислим: \[ -14.09 \cdot \frac{1}{3} - 6.31 \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}(-14.09 - 12.62) = \frac{-26.71}{3} = -8.903... \approx -8.9. \] Ответ округляется: $-8.9$.

    Ответ: $-8.9$.

  2. Упростите выражение при \(a>4\): \[ \Bigl(\frac{a^{3/2}-8}{a^{1/2}+2}\Bigl(\frac{a+2\sqrt{a}+4}{a-4}\Bigr)^{-1}\Bigr)^{1/2} - a^{-\!1/2}. \] Решение: Упростим числитель первой дроби: \[ a^{3/2} - 8 = (\sqrt{a})^3 - 2^3 = (\sqrt{a} - 2)(a + 2\sqrt{a} + 4). \] Подставим и сократим: \[ \frac{(\sqrt{a} - 2)(a + 2\sqrt{a} + 4)}{\sqrt{a} + 2} \cdot \frac{a - 4}{a + 2\sqrt{a} + 4} = \frac{(\sqrt{a} - 2)(a - 4)}{\sqrt{a} + 2}. \] Преобразуем знаменатель: \[ a - 4 = (\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} + 2). \] Сократим: \[ (\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} - 2) = (\sqrt{a} - 2)^2. \] Извлечем квадратный корень: \[ \sqrt{(\sqrt{a} - 2)^2} = \sqrt{a} - 2. \] Вычтем последний член: \[ \sqrt{a} - 2 - \frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{a - 2\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a}}. \] Ответ: \(\frac{a - 2\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a}}\).

  3. Упростите: \[ \sqrt{19 - 6\sqrt{10}} \;\cdot\; \frac{3 - \sqrt{7}}{\sqrt{16 - 6\sqrt{7}}}. \] Решение: Представим корни в виде выражений с квадратами: \[ \sqrt{19 - 6\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{10} - 3)^2} = \sqrt{10} - 3, \] \[ \sqrt{16 - 6\sqrt{7}} = \sqrt{(3 - \sqrt{7})^2} = 3 - \sqrt{7}. \] Подставим и упростим: \[ (\sqrt{10} - 3) \cdot \frac{3 - \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}} = \sqrt{10} - 3. \] Ответ: \(\sqrt{10} - 3\).

  4. Решите уравнения:
    1. \(x - \sqrt{x+1} = 5;\) Решение: Замена \(t = \sqrt{x + 1}\): \[ t^2 - 1 - t = 5 \Rightarrow t^2 - t - 6 = 0 \Rightarrow t = 3. \] Обратная подстановка: \(x = 3^2 - 1 = 8.\) Ответ: \(x = 8.\)

    2. \(\lvert x-2\rvert - \lvert x+4\rvert + \lvert2x-3\rvert = 1;\) Решение: Рассмотрим случаи на интервалах \(x < -4\), \(-4 \le x < 1.5\), \(1.5 \le x < 2\), \(x \ge 2\). После подстановок и вычислений решения: \(x = 0\) и \(x = 5.\) Ответ: \(0, 5.\)

    3. \(\displaystyle\frac{16}{(x+6)(x-1)} - \frac{20}{(x+2)(x+3)} = 1.\) Решение: Обозначим \(y = x^2 + 5x\), преобразуем уравнение к виду: \[ \frac{16}{y - 6} - \frac{20}{y + 6} = 1 \Rightarrow y^2 + 4y - 252 = 0. \] Корни \(y = 14\) и \(y = -18\) дают решения \(x = 2\) и \(x = -7.\) Ответ: \(2, -7.\)


  5. Решите неравенство: \[ \frac{(2x^2 + x + 1)\,(6x - x^2 - 9)}{x^2 + 8x + 15} \;\ge\; 0. \] Решение: Упростим знаки множителей: - \(2x^2 + x + 1 > 0\) всегда, - \(6x - x^2 - 9 = -(x - 3)^2 \le 0\), - Знаменатель \((x+3)(x+5)\) имеет корни при \(x = -5\) и \(x = -3\). Решение неравенства: интервалы где знак отрицательный и ноль: Ответ: \(x \in (-5, -3) \cup \{3\}\).

  6. Пусть \[ f(x) = \frac{x + 2 - \lvert 2x + 1\rvert}{x^2 - 1}. \]
    1. График функции состоит из гипербол. В областях \(x \ge -0.5\) \(f(x) = -\frac{1}{x + 1}\), при \(x < -0.5\) \(f(x) = \frac{3}{x - 1}\).
    2. Область определения \(x \neq \pm1\). Множество значений \((-\infty, 0)\).
    3. Уравнение \(f(x) = a\) имеет одно решение для \(a < 0\) (кроме \(a = -0.5\)), иначе решений нет.


  7. Найдите все значения параметра \(b\), при которых число \(-1\) заключено между корнями уравнения: \[ (4 - b^2)x^2 - (3b - 1)x + 7 = 0. \] Решение: Требуется \(f(-1) \cdot a < 0\), где \(a = 4 - b^2\). Вычисляем \(f(-1) = -b^2 + 3b + 10 < 0\). Корни уравнения \(b^2 - 3b - 10 = 0\), интервал \(b \in (-\infty, -2) \cup (5, \infty)\). Ответ: \(b 5\).

  8. Изобразите на координатной плоскости множество точек \((x,y)\), удовлетворяющее уравнению: \[ \frac{x^2 + y^2 - 1}{x^2 - y^2} = 0. \] Решение: Уравнение равносильно окружности \(x^2 + y^2 = 1\) с исключением точек, где \(y = \pm x\). Ответ: Окружность радиусом 1 без точек пересечения с прямыми \(y = x\) и \(y = -x\).

  9. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, третий член которой равен \(54\), а пятый — \(6\). Решение: Из соотношений \(b_3 = 54 = b_1 q^2\) и \(b_5 = 6 = b_1 q^4\) находим \(q = \pm \frac{1}{3}\), \(b_1 = 486\). Сумма: Для \(q = \frac{1}{3}\): \(S_6 = 486 \cdot \frac{1 - (\frac{1}{3})^6}{1 - \frac{1}{3}} = 728\). Для \(q = -\frac{1}{3}\): \(S_6 = 486 \cdot \frac{1 - (\frac{1}{3})^6}{1 + \frac{1}{3}} = 364\). Ответ: \(728\) или \(364\).

  10. Скорость первого автомобиля найдём через уравнение времени. Пусть \(v\) — скорость первого автомобиля, тогда время пути равно \(\frac{19.7}{v}\). Второй автомобиль проехал половину пути со скоростью \(v - 16\), вторую половину — \(96\) км/ч. Уравнение: \[ \frac{9.85}{v - 16} + \frac{9.85}{96} = \frac{19.7}{v}. \] Решение даёт \(v = 80\) км/ч. Ответ: \(80\) км/ч.

  11. \(\cos\alpha = \tfrac{5}{13}\), \(-\tfrac{\pi}{2} < \alpha < 0\). Найдите \(\sin2\alpha\). Решение: \(\sin\alpha = -\sqrt{1 - \tfrac{25}{169}} = -\tfrac{12}{13}\), \(\sin2\alpha = 2 \cdot \tfrac{5}{13} \cdot (-\tfrac{12}{13}) = -\tfrac{120}{169}\). Ответ: \(-\tfrac{120}{169}\).

  12. Найдите AC через подобие треугольников: \(KM = 18\) см, отношение \(BK:KA = 3:4\). Ответ: \(AC = 42\) см.

  13. Медиана BM треугольника ABC вычисляется через координаты: \[ BM = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = 5\]. Ответ: \(5\).

  14. Площадь параллелограмма через сторону и расстояние: \[ S = 14 \cdot 6 = 84 см^{2}.\] Ответ: \(84\) см².

  15. По теореме биссектрис \(AB = \sqrt{24^2 + 18^2} = 30\) см. Ответ: \(30\) см.

  16. Площадь треугольника через радиус и основание: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \sqrt{4 \cdot 10^2 - 12} = 48 см^{2}.\] Ответ: \(48\) см².
Материалы школы Юайти