8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 9 в 10 класс 2010 вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2010
Печать
youit.school ©

Лицей 239

2010 год

Вариант 1

  1. Вычислите: \[ 0.815\cdot\Bigl(-\tfrac{2}{3}\Bigr) -\tfrac{1}{6}\cdot(-4.385) +0.815\cdot\tfrac{1}{6} -(-4.385)\cdot\Bigl(-\tfrac{2}{3}\Bigr). \]

  2. Упростите выражение при \(0 < x < 9\): \[ \frac{x - 9}{x + 3\sqrt{x} + 9} \;\cdot\; \Bigl(\frac{x^{0.5} + 3}{x^{1.5} - 27}\Bigr)^{-1} {}^{0.5} \;+\;x^{0.5}. \]

  3. Упростите: \[ \frac{\sqrt{21 + 8\sqrt{5}}}{4 + \sqrt{5}} \;\cdot\; \sqrt{9 - 4\sqrt{5}}. \]

  4. Решите уравнения:
    1. \(\sqrt{7 - x} = x - 1.\)
    2. \(\lvert x + 3\rvert - \lvert x - 5\rvert + \lvert2x - 5\rvert = 6.\)
    3. \(\displaystyle \frac{6}{(x+1)(x+2)} + \frac{8}{(x-1)(x+4)} = 1. \)


  5. Решите неравенство: \[ \frac{x^2 + 9x + 20} {(2x - x^2 - 1)\,(3x^2 + x + 2)} \;\le\; 0. \]

  6. Пусть \[ f(x) = \frac{x - 2 + \lvert 2x - 1\rvert}{x^2 - 1}. \]
    1. Постройте график функции \(y = f(x)\).
    2. Найдите область определения и множество значений функции.
    3. Сколько решений имеет уравнение \(f(x) = a\) в зависимости от \(a\)?


  7. Найдите все значения параметра \(a\), при которых число \(1\) заключено между корнями уравнения \[ (a^2 - 1)x^2 + (2a + 1)x - 3 = 0. \]

  8. Изобразите на координатной плоскости множество точек \((x,y)\), удовлетворяющее уравнению \[ \frac{x^2 + y^2 - 9}{x^2 - y^2} = 0. \]

  9. Найдите сумму первых восьми членов геометрической прогрессии, второй член которой равен \(6\), а четвёртый — \(24\).

  10. Из \(A\) в \(B\) одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на \(13\) км/ч, а вторую половину пути — со скоростью \(78\) км/ч, в результате чего прибыл в \(B\) одновременно с первым. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше \(48\) км/ч.

  11. Дано: \(\sin\alpha = 0.28\), \(\tfrac{\pi}{2} < \alpha < \pi\). Найдите \(\sin2\alpha\).
  12. Прямая, параллельная стороне \(AC\) треугольника \(ABC\), пересекает стороны \(AB\) и \(BC\) в точках \(K\) и \(M\) соответственно. Найдите \(KM\), если \(BK:KA = 2:5\), \(AC = 21\) см.
  13. Найдите длину медианы \(BM\) треугольника \(ABC\), если \(A(2,5)\), \(B(0,0)\), \(C(4,3)\).
  14. Сторона параллелограмма равна 12 см, а расстояние от точки пересечения диагоналей до этой стороны равно 4 см. Найдите площадь параллелограмма.
  15. Биссектрисы углов \(A\) и \(B\) при боковой стороне \(AB\) трапеции \(ABCD\) пересекаются в точке \(F\). Найдите \(AB\), если \(AF = 24\) см, \(BF = 10\) см.
  16. Радиус окружности, описанной около равнобедённого треугольника, равен 5 см, а высота, проведённая к основанию, равна 8 см. Найдите площадь этого треугольника.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: \[ 0.815\cdot\left(-\frac{2}{3}\right) - \frac{1}{6}\cdot(-4.385) + 0.815\cdot\frac{1}{6} - (-4.385)\cdot\left(-\frac{2}{3}\right) \]
    Решение: Группируем слагаемые: \[ = 0.815\left(-\frac{2}{3} + \frac{1}{6}\right) -4.385\left(-\frac{1}{6} + \frac{2}{3}\right) \] Вычисляем скобки: \[ -\frac{2}{3} + \frac{1}{6} = -\frac{1}{2}, \quad -\frac{1}{6} + \frac{2}{3} = \frac{1}{2} \] Подставляем: \[ = 0.815 \cdot (-\frac{1}{2}) -4.385 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{0.815 +4.385}{2} = -\frac{5.2}{2} = -2.6 \] Ответ: \(-2.6\).

  2. Упростите выражение: \[ \frac{x - 9}{x + 3\sqrt{x} + 9} \cdot \left(\frac{\sqrt{x} + 3}{x^{1.5} - 27}\right)^{-1} + \sqrt{x} \]
    Решение: Упрощаем первую дробь: \[ \frac{x - 9}{(x^{0.5} + 3)^2} \cdot \frac{x^{1.5} - 27}{\sqrt{x} + 3} = \frac{(\sqrt{x} -3)(x^{1.5} -27)}{(\sqrt{x}+3)(x^{0.5}+3)^2} \] Заметим, что \(x^{1.5} -27 = (\sqrt{x})^3 -3^3 = (\sqrt{x}-3)(x +3\sqrt{x}+9)\), тогда: \[ \frac{(\sqrt{x} -3)(\sqrt{x}-3)(x +3\sqrt{x}+9)}{(\sqrt{x}+3)(x +3\sqrt{x}+9)} = \frac{(\sqrt{x}-3)^2}{\sqrt{x} +3} \] Окончательно: \[ \frac{(\sqrt{x}-3)^2}{\sqrt{x} +3} + \sqrt{x} = \sqrt{x}-3 + \sqrt{x} = 2\sqrt{x} -3 \] Ответ: \(2\sqrt{x} -3\).

  3. Упростите: \[ \frac{\sqrt{21 + 8\sqrt{5}}}{4 + \sqrt{5}} \cdot \sqrt{9 - 4\sqrt{5}} \]
    Решение: Находим значения подкоренных выражений: \[ \sqrt{21 +8\sqrt{5}} = 4 + \sqrt{5}, \quad \sqrt{9 -4\sqrt{5}} = \sqrt{5} -2 \] Подставляем и упрощаем: \[ \frac{4 + \sqrt{5}}{4 + \sqrt{5}} \cdot (\sqrt{5} -2) = \sqrt{5} -2 \] Ответ: \(\sqrt{5} -2\).

  4. Решите уравнения:
    1. \(\sqrt{7 - x} = x - 1\)
      Решение: Возводим в квадрат: \[ 7 -x = x^2 -2x +1 \Rightarrow x^2 -x -6 =0 \Rightarrow x=3 \ (\text{подходит}), \ x=-2 \ (\text{не подходит}) \] Ответ: \(3\).

    2. \(\lvert x +3 \rvert - \lvert x -5 \rvert + \lvert2x -5 \rvert =6\)
      Решение: Рассматриваем случаи:
      • \(x < -3\): \(-x-3 +5 -x +5 -2x =6 \Rightarrow x=-4.5\)
      • \(-3 \le x <2.5\): \(x+3 +5 -x +5 -2x =6 \Rightarrow x=3.5 \rightarrow\) не входит в интервал
      • \(2.5 \le x <5\): \(x+3 +5 -x +2x-5 =6 \Rightarrow x=1.5 \rightarrow\) не входит
      • \(x \ge5\): \(x+3 +x-5 +2x-5=6 \Rightarrow x=4.5 \rightarrow\) не подходит
      Ответ: \(-4.5\).

    3. \(\frac{6}{(x+1)(x+2)} + \frac{8}{(x-1)(x+4)} =1\)
      Решение: Замена \(y =x^2 +3x\): \[ \frac{6}{y +2} + \frac{8}{y-4} =1 \Rightarrow y^2 -14y =0 \Rightarrow y=0,16 \] Возвращаемся к \(x\): \[ x^2 +3x=0 \Rightarrow x=0, -3;\quad x^2 +3x=16 \Rightarrow x=\frac{-3 \pm \sqrt{73}}{2} \] Ответ: \(0, -3, \frac{-3 \pm \sqrt{73}}{2}\).


  5. Решите неравенство: \[ \frac{x^2 +9x +20}{(2x -x^2 -1)(3x^2 +x +2)} \le0 \]
    Решение: Факторизуем: \[ \frac{(x+4)(x+5)}{-(x-1)^2(3x^2 +x +2)} \le0 \] Знаменатель всегда отрицателен (\(3x^2+x+2 >0\)), числитель \(\ge0\) при \(x \le -5\) или \(x \ge-4\). Учитывая ограничение \(x \ne1\): Ответ: \(x \in (-\infty, -5] \cup [-4, \infty)\).

  6. Функция \(f(x)\):
    1. График строится анализом двух случаев: \(x \ge0.5\) и \(x <0.5\).
    2. Область определения: \(x \ne \pm1\). Множество значений: \((-\infty,0] \cup (\frac{1}{2}, +\infty)\).
    3. Уравнение \(f(x)=a\) имеет:
      • 2 решения при \(a >0\),
      • 1 решение при \(a=0\),
      • нет решений при \(a <0\).


  7. Найдите значения \(a\): \[ (a^2 -1)x^2 + (2a +1)x -3=0 \quad \text{при} \quad f(1) =a^2 +2a -3 <0 \Rightarrow a \in (-3,1) \] Ответ: \(a \in (-3,1)\).

  8. Множество точек: Уравнение: \[ x^2 +y^2 -9=0 \quad \text{и} \quad x^2 -y^2 \ne0 \Rightarrow \text{окружность радиуса 3 без пересечений с гиперболами}. \] Ответ: Окружность \(x^2 +y^2=9\).

  9. Сумма прогрессии: \[ b_2=6, \ b_4=24 \Rightarrow q^2=4 \Rightarrow q=2, \ b_1=3. \quad S_8=\frac{3(2^8 -1)}{2-1} = 765. \] Ответ: \(765\).

  10. Скорость автомобиля: Уравнение времени: \[ \frac{1}{v} = \frac{1}{2(v-13)} + \frac{1}{156} \Rightarrow v=52 \, \text{км/ч}. \] Ответ: \(52\).

  11. \(\sin2\alpha\): \[ \alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi), \cos\alpha = -\sqrt{1 -0.28^2} \approx -0.96, \sin2\alpha=2 \cdot0.28 \cdot(-0.96) \approx -0.5376. \] Ответ: \(-0.5376\).

  12. Длина \(KM\): \[ \frac{BK}{AB}=\frac{2}{7}, \quad KM=AC \cdot\frac{2}{7}=21 \cdot\frac{2}{7}=6 \, \text{см}. \] Ответ: \(6\).

  13. Медиана \(BM\): Координаты \(M\) — середина \(AC\): \((3,4)\). Длина \(BM=\sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2}=5\). Ответ: \(5\).

  14. Площадь параллелограмма: Расстояние от центра до стороны 4 см \(\Rightarrow\) высота \(8\) см. Площадь \(12 \cdot8 =96\). Ответ: \(96\).

  15. Длина \(AB\): Из треугольника \(AFB\) с биссектрисами: \[ AB=AF +BF=24 +10=34 \, \text{см}. \] Ответ: \(34\).

  16. Площадь треугольника: Высота 8 см, радиус описанной окружности 5 см: основание \(12\) см. Площадь \(\frac{12 \cdot8}{2}=48\). Ответ: \(48\).
Материалы школы Юайти