8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №2086 из 7 в 8 класс 2024 год

Сложность:
Дата экзамена: 06.2024
Глобальные планы Юайти на учебный год
Дата вебинара: 17.08.2025 19:00
Спикер: Матвей Грицаев
Печать
youit.school ©

Школа № 2086


2024 год


23.06.2024


Вариант 2023.2




Продолжительность работы — 105 минут


  1. Упростите выражение: \[ \frac{3b - 2a - ab + 7a}{b^2 - 14b + 49} \] и найдите его значение при \( a = 1003, \ b = -18 \).

  2. Функция задана формулой: \[ y = \frac{1}{6}x - 5 \] Какая точка графика этой функции имеет абсциссу, равную ординате?

  3. Найдите значение выражения: \[ \frac{(4.37 - 3.12) \cdot 0.8}{0.2 \cdot (47.8 - 45.55) \cdot 0.225} - \frac{(1.238 + 2.762) \cdot 0.1}{(36.987 - 34.487) \cdot 3.125} \]

  4. Одна из сторон равнобедренного треугольника на 9 см короче другой, а его периметр равен 57 см. Найдите стороны треугольника.

  5. В равностороннем треугольнике \( ABC \) найдите угол между биссектрисами углов \( \angle BAC \) и \( \angle BCA \).

  6. Женя и Петя отправились одновременно из города A в город B, один на автомобиле, другой — на велосипеде. По прошествии некоторого времени оказалось, что если бы Женя проехал вдвое больше, то ему осталось бы проехать вдвое меньше, чем сейчас, и что если бы Петя проехал втрое меньше, то ему осталось бы проехать вдвое больше, чем сейчас. Как зовут велосипедиста, если он ехал с меньшей скоростью, чем автомобилист?

  7. Сколькими способами можно разместить в одном ряду двух мальчиков и четырёх девочек так, чтобы девочки сидели рядом?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростите выражение: \[ \frac{3b - 2a - ab + 7a}{b^2 - 14b + 49} \] и найдите его значение при \( a = 1003, \ b = -18 \).
    Решение: Упростим числитель и знаменатель:
    Числитель: \(3b - 2a - ab + 7a = 3b + 5a - ab = a(5 - b) + 3b\)
    Знаменатель: \(b^2 - 14b + 49 = (b - 7)^2\)
    Подставим \(a = 1003\) и \(b = -18\):
    Числитель: \(1003(5 - (-18)) + 3(-18) = 1003 \cdot 23 - 54 = 23069 - 54 = 23015\)
    Знаменатель: \((-18 - 7)^2 = (-25)^2 = 625\)
    Значение выражения: \(\frac{23015}{625} = 36,824\)
    Ответ: 36,824.

  2. Функция задана формулой: \[ y = \frac{1}{6}x - 5 \] Какая точка графика этой функции имеет абсциссу, равную ординате?
    Решение: По условию \(x = y\). Подставим в уравнение:
    \(x = \frac{1}{6}x - 5\)
    Умножим обе части на 6: \(6x = x - 30\)
    \(5x = -30 \Rightarrow x = -6\)
    Тогда \(y = -6\)
    Ответ: \((-6; -6)\).

  3. Найдите значение выражения: \[ \frac{(4.37 - 3.12) \cdot 0.8}{0.2 \cdot (47.8 - 45.55) \cdot 0.225} - \frac{(1.238 + 2.762) \cdot 0.1}{(36.987 - 34.487) \cdot 3.125} \]
    Решение: Вычислим отдельно каждую часть:
    Первая дробь:
    Числитель: \((1,25) \cdot 0,8 = 1\)
    Знаменатель: \(0,2 \cdot 2,25 \cdot 0,225 = 0,2 \cdot 0,50625 = 0,10125\)
    Первая дробь: \(\frac{1}{0,10125} \approx 9,8765\)
    Вторая дробь:
    Числитель: \(4 \cdot 0,1 = 0,4\)
    Знаменатель: \(2,5 \cdot 3,125 = 7,8125\)
    Вторая дробь: \(\frac{0,4}{7,8125} \approx 0,0512\)
    Результат: \(9,8765 - 0,0512 \approx 9,8253\)
    Ответ: 9,8253.

  4. Одна из сторон равнобедренного треугольника на 9 см короче другой, а его периметр равен 57 см. Найдите стороны треугольника.
    Решение: Рассмотрим два случая:
    1) Боковая сторона на 9 см короче основания:
    Пусть основание \(x\), тогда боковые стороны \(x - 9\).
    Периметр: \(x + 2(x - 9) = 57 \Rightarrow 3x - 18 = 57 \Rightarrow x = 25\)
    Стороны: 25 см, 16 см, 16 см — не подходит, так как 16 + 16 > 25.
    2) Основание на 9 см короче боковой стороны:
    Пусть боковая сторона \(x\), тогда основание \(x - 9\).
    Периметр: \(2x + (x - 9) = 57 \Rightarrow 3x - 9 = 57 \Rightarrow x = 22\)
    Стороны: 22 см, 22 см, 13 см — удовлетворяет условию.
    Ответ: 22 см, 22 см, 13 см.

  5. В равностороннем треугольнике \( ABC \) найдите угол между биссектрисами углов \( \angle BAC \) и \( \angle BCA \).
    Решение: В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Биссектрисы делят углы пополам:
    \(\angle BAC = 30°\), \(\angle BCA = 30°\)
    Угол между биссектрисами: \(180° - 30° - 30° = 120°\)
    Ответ: 120°.

  6. Женя и Петя отправились одновременно из города A в город B, один на автомобиле, другой — на велосипеде. По прошествии некоторого времени оказалось, что если бы Женя проехал вдвое больше, то ему осталось бы проехать вдвое меньше, чем сейчас, и что если бы Петя проехал втрое меньше, то ему осталось бы проехать вдвое больше, чем сейчас. Как зовут велосипедиста, если он ехал с меньшей скоростью, чем автомобилист?
    Решение: Пусть \(S\) — расстояние между городами, \(v_1\) — скорость автомобиля, \(v_2\) — скорость велосипеда.
    Для Жени: \(\frac{2d}{v_1} = \frac{S - d}{2}\) → \(4d = v_1(S - d)\)
    Для Пети: \(\frac{d/3}{v_2} = 2(S - d)\) → \(d = 6v_2(S - d)\)
    Сравнивая скорости, \(v_1 > v_2\), значит Женя — автомобилист, Петя — велосипедист.
    Ответ: Петя.

  7. Сколькими способами можно разместить в одном ряду двух мальчиков и четырёх девочек так, чтобы девочки сидели рядом?
    Решение: Рассмотрим девочек как единый блок. Тогда имеем 3 объекта: блок девочек и двух мальчиков.
    Количество перестановок: \(3! = 6\)
    Внутри блока девочки могут переставляться: \(4! = 24\)
    Общее количество способов: \(6 \cdot 24 = 144\)
    Ответ: 144.
Материалы школы Юайти