Школа №2086 из 7 в 8 класс 2024 год

Школа № 2086

2024 год

23.06.2024

Вариант 2504.1

Продолжительность работы — 105 минут

1. Функция задана формулой: \[ y = \frac{1}{3}x - 6. \] Какая точка графика этой функции имеет абсциссу, в шесть раз большую ординаты?
   
   
2. Упростите выражение: \[ \frac{(3a^2)^3 \cdot (2a)^5}{24 \cdot (6a^5)^2} \quad \text{и найдите его значение при } a = -0{,}06. \]
   
   
3. Найдите значение выражения: \[ \left( \left(4{,}625 - \frac{13}{18} \cdot \frac{9}{26} \right) : 2 \cdot \frac{1}{4} + \frac{2}{1{,}25 \cdot 6} \cdot \frac{3}{4} \right) : \left( \frac{53}{68} - \frac{7}{27} \right) \]
   
   
4. В равнобедренном треугольнике \( ABC \) проведена биссектриса \( AK \). Оказалось, что треугольник \( AKC \) также равнобедренный. Найдите углы треугольника.
   
   
5. По случаю праздника был организован парад. Парадная колонна растянулась на 288 м. Факельщики ехали в начале процессии, а замыкали её музыканты. Вскоре после начала марша самый юный из факельщиков вспомнил, что забыл взять факел, который остался у его друга-трубача, ехавшего в последнем ряду. Тогда факельщик побежал к своему другу и вернулся через 3 мин. С какой скоростью двигалась парадная колонна, если предположить, что факельщик бежал туда и обратно со скоростью 18 км/ч?
   
   
6. В треугольнике \( ABC \) высоты \( AA_1 \) и \( CC_1 \) равны, \( AC_1 = BA_1 \). Найдите угол \( B \).
   
   
7. Сколькими способами можно раскрасить квадрат, состоящий из четырёх одинаковых клеток различного цвета, если имеется 6 красок?

Решения задач

1. Функция задана формулой \( y = \frac{1}{3}x - 6 \). Какая точка графика этой функции имеет абсциссу, в шесть раз большую ординаты?
   Решение: По условию \( x = 6y \). Подставим в уравнение функции:
   \( y = \frac{1}{3}(6y) - 6 \)
   \( y = 2y - 6 \)
   \( -y = -6 \quad \Rightarrow \quad y = 6 \)
   Тогда \( x = 6 \cdot 6 = 36 \).
   Ответ: \((36; 6)\).
2. Упростите выражение: \[ \frac{(3a^2)^3 \cdot (2a)^5}{24 \cdot (6a^5)^2} \quad \text{и найдите его значение при } a = -0{,}06. \]
   Решение: Упростим числитель и знаменатель:
   Числитель: \( (3a^2)^3 \cdot (2a)^5 = 27a^6 \cdot 32a^5 = 864a^{11} \)
   Знаменатель: \( 24 \cdot (6a^5)^2 = 24 \cdot 36a^{10} = 864a^{10} \)
   Упрощенное выражение: \( \frac{864a^{11}}{864a^{10}} = a \)
   При \( a = -0{,}06 \): \( -0{,}06 \)
   Ответ: \(-0{,}06\).
3. Найдите значение выражения: \[ \left( \left(4{,}625 - \frac{13}{18} \cdot \frac{9}{26} \right) : 2 \cdot \frac{1}{4} + \frac{2}{1{,}25 \cdot 6} \cdot \frac{3}{4} \right) : \left( \frac{53}{68} - \frac{7}{27} \right) \]
   Решение: Вычислим по шагам:
   1. \( \frac{13}{18} \cdot \frac{9}{26} = \frac{1}{4} \)
   2. \( 4{,}625 - 0{,}25 = 4{,}375 \)
   3. \( 4{,}375 : 2 \cdot \frac{1}{4} = 0{,}546875 \)
   4. \( \frac{2}{1{,}25 \cdot 6} \cdot \frac{3}{4} = \frac{2}{7{,}5} \cdot 0{,}75 = 0{,}2 \)
   5. \( 0{,}546875 + 0{,}2 = 0{,}746875 \)
   6. \( \frac{53}{68} - \frac{7}{27} = \frac{1431 - 476}{1836} = \frac{955}{1836} \)
   7. \( 0{,}746875 : \frac{955}{1836} = \frac{239}{320} \cdot \frac{1836}{955} = \frac{239 \cdot 1836}{320 \cdot 955} = 1{,}44 \)
   Ответ: \(1{,}44\).
4. В равнобедренном треугольнике \( ABC \) проведена биссектриса \( AK \). Оказалось, что треугольник \( AKC \) также равнобедренный. Найдите углы треугольника.
   Решение: Пусть \( AB = BC \), тогда \( \angle BAC = \angle BCA = \alpha \), \( \angle ABC = 180^\circ - 2\alpha \).
   Биссектриса \( AK \) делит \( \angle BAC \) пополам: \( \angle KAC = \frac{\alpha}{2} \).
   В треугольнике \( AKC \): если \( AK = KC \), то \( \angle KAC = \angle KCA = \frac{\alpha}{2} \), что возможно только при \( \alpha = 60^\circ \).
   Тогда углы треугольника \( ABC \): \( 60^\circ, 60^\circ, 60^\circ \).
   Ответ: все углы по \(60^\circ\).
5. Парадная колонна длиной 288 м движется со скоростью \( v \) м/с. Факельщик бежит к концу колонны и обратно со скоростью 18 км/ч = 5 м/с. Время движения: 3 мин = 180 с.
   Решение: Время движения к концу колонны: \( \frac{288}{5 + v} \), обратно: \( \frac{288}{5 - v} \).
   Уравнение: \( \frac{288}{5 + v} + \frac{288}{5 - v} = 180 \)
   \( 288 \cdot \frac{10}{25 - v^2} = 180 \quad \Rightarrow \quad 25 - v^2 = 16 \quad \Rightarrow \quad v = 3 \) м/с = 10,8 км/ч.
   Ответ: 10,8 км/ч.
6. В треугольнике \( ABC \) высоты \( AA_1 \) и \( CC_1 \) равны, \( AC_1 = BA_1 \). Найдите угол \( B \).
   Решение: Из равенства высот \( AA_1 = CC_1 \) следует \( AB = BC \). Треугольник равнобедренный с \( \angle B = 60^\circ \).
   Ответ: \(60^\circ\).
7. Сколькими способами можно раскрасить квадрат, состоящий из четырёх одинаковых клеток различного цвета, если имеется 6 красок?
   Решение: Количество перестановок 4 различных цветов из 6: \( P(6,4) = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360 \).
   Ответ: 360 способов.