Школа №2086 из 7 в 8 класс 2023 год

Школа № 2086

2023 год

30.03.2023

1. Укажите наименьшее число $n$ такое, что произведение всех чисел от 1 до $n$
   1. делится на $81$;
   2. делится на $10\,000\,000$.
   
   
   
2. У Пети есть картонный треугольник и картонный четырёхугольник. Петя положил на стол лист бумаги, сверху на лист бумаги положил обе картонные фигуры и обвёл карандашом получившийся многоугольник. Какой многоугольник получился у Пети? Сделайте рисунок к своему решению.
   
   
3. В корзине лежит 20 фруктов: апельсины, манго, яблоки — среди любых 10 есть манго, а среди любых 15 — апельсин. Сколько там яблок, если хотя бы одно есть?
   
   
4. На каждой грани куба сидит по два дрессированных кузнечика. По команде дрессировщика кузнечики перепрыгивают на соседнюю по стороне грань. После первого прыжка оказалось, что на каждой грани опять сидит по два кузнечика. Обязательно ли какие-то два кузнечика поменялись местами?
   
   
5. Петя провёл 4 горизонтальных прямых и 4 вертикальных и среди образовавшихся прямоугольников отметил четыре «угловых»: $A$, $B$, $C$ и $D$. Периметры прямоугольников $A$, $D$, $C$ равны 11 см, 17 см и 15 см соответственно. Найдите периметр прямоугольника $B$. (Стороны прямоугольников не обязательно целые.)
   
   
6. У 6 школьников одного кружка спросили, сколько лампочек на потолке в кабинете, где проходит кружок. Получили такие ответы:
   • Первый: больше одной,
   • Второй: больше двух,
   • Третий: больше трёх,
   • Четвёртый: больше четырёх,
   • Пятый: меньше четырёх,
   • Шестой: меньше пяти.
   Сколько лампочек в кабинете, если ровно половина школьников сказала правду?

Решения задач

1. 1. Наименьшее число \( n \), такое что \( n! \) делится на \( 81 = 3^4 \). Для этого в разложении \( n! \) должно быть не менее 4 множителей 3. Подсчитываем количество троек в факториале: \[ \left\lfloor \frac{9}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{9}{9} \right\rfloor = 3 + 1 = 4 \] Ответ: \( n = 9 \).
      
      
   2. Наименьшее \( n \), такое что \( n! \) делится на \( 10\,000\,000 = 10^7 = 2^7 \cdot 5^7 \). Количество множителей 5 в \( n! \): \[ \left\lfloor \frac{35}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{35}{25} \right\rfloor = 7 + 1 = 8 \] Ответ: \( n = 35 \).
   
   
   
2. При пересечении треугольника и четырёхугольника может получиться шестиугольник. Например, если треугольник пересекает две стороны четырёхугольника, образуя шесть вершин.
   Ответ: Шестиугольник. Рисунок: \includegraphics[scale=0.4]{hexagon.png}
   
   
3. Пусть \( m \) — количество манго, \( a \) — апельсинов, \( y \) — яблок. Условия:
   • \( m \leq 10 \) (иначе можно выбрать 10 фруктов без манго),
   • \( a \leq 5 \) (иначе можно выбрать 15 фруктов без апельсина),
   • \( m + a + y = 20 \),
   • \( y \geq 1 \).
   Максимальные \( m = 10 \), \( a = 5 \), тогда \( y = 20 - 10 - 5 = 5 \).
   Ответ: 5 яблок.
   
   
4. Не обязательно. Кузнечики могут перепрыгнуть на противоположные грани, сохранив количество на каждой грани. Например, все кузнечики с верхней грани прыгают на нижнюю, и наоборот.
   Ответ: Нет, не обязательно.
   
   
5. Пусть расстояния между горизонтальными линиями: \( a, b, c, d \), вертикальными: \( w, x, y, z \). Периметры угловых прямоугольников: \[ \begin{cases} 2(w + a) = 11 \\ 2(z + d) = 17 \\ 2(z + a) = 15 \\ \end{cases} \] Решая систему: \[ w + a = 5.5, \quad z + d = 8.5, \quad z + a = 7.5 \] Вычитая уравнения: \( d - a = 1 \). Тогда периметр \( B = 2(z + d) = 2(8.5) = 17 \). Но требуется найти периметр прямоугольника \( B \), который соответствует другим сторонам. Уточнение: периметр \( B = 2(w + d) \). Из \( w = 5.5 - a \), \( d = a + 1 \): \[ w + d = 5.5 - a + a + 1 = 6.5 \quad \Rightarrow \quad P_B = 2 \cdot 6.5 = 13 \] Ответ: 13 см.
   
   
6. Пусть \( k \) — количество лампочек. Условие: ровно 3 правдивых ответа. Анализируем возможные \( k \):
   • \( k = 2 \): Правда — 1-й, 5-й, 6-й (3 правды).
   • \( k = 3 \): Правда — 1-й, 2-й, 5-й, 6-й (4 правды).
   • \( k = 4 \): Правда — 1-й, 2-й, 3-й, 6-й (4 правды).
   • \( k = 5 \): Правда — 1-й, 2-й, 3-й, 4-й, 6-й (5 правд).
   Условию удовлетворяет \( k = 2 \).
   Ответ: 2 лампочки.