Школа №2086 из 5 в 6 класс 2023 год

Школа № 2086

2023 год

16.04.2023

1. Имеются три числа. Известно, что произведение первого числа на второе кончается на ноль, а произведение первого числа на третье и произведение второго числа на третье кончаются не на ноль. Может ли сумма всех трёх чисел кончаться на 3?
   
   
2. Аня умножила номер своей квартиры не то на 6, не то на 7. Боря прибавил к результату Ани не то 6, не то 7. Ваня отнял от результата Бори не то 6, не то 7. В итоге получилось 2023. Какой номер у Аниной квартиры? Укажите все возможные варианты.
   
   
3. Пять гномов нашли три одинаковых самоцвета. Древний дракон назвал им стоимость одного камня. Три гнома взяли себе по самоцвету, а также отдали по 800 монет, которые двое оставшихся поровну поделили между собой. Сколько же стоит один самоцвет?
   
   
4. Дорога от дома до школы занимает у Пети 20 минут. Однажды по дороге в школу он вспомнил, что забыл ручку. Теперь если он продолжит путь с той же скоростью, то придет в школу за 3 минуты до звонка. А если Петя вернется домой за ручкой, то, идя с той же скоростью, опоздает к началу урока на 7 минут. Какую часть пути Петя прошел до того как вспомнил о ручке?
   
   
5. На двух экранах каждую секунду одновременно меняются числа. На первом экране 1, 5, 9, 13, $\dots$ На втором экране 1, 6, 11, 16, $\dots$ Первая единица на экранах появилась одновременно. Какие числа будут написаны на экранах, когда сумма числа на первом экране и числа на втором экране станет равна 2000?
   
   
6. На столе белой стороной вверх лежали 100 карточек, у каждой из которых одна сторона белая, а другая чёрная. Костя перевернул 50 карточек, затем Таня перевернула 60 карточек, а после этого Юля — 70 карточек. В результате все 100 карточек оказались лежащими чёрной стороной вверх. Сколько карточек было перевернуто трижды?

Решения задач

1. Имеются три числа. Известно, что произведение первого числа на второе кончается на ноль, а произведение первого числа на третье и произведение второго числа на третье кончаются не на ноль. Может ли сумма всех трёх чисел кончаться на 3?
   Решение: Пусть первое число кратно 5, второе — чётное. Третье число должно быть нечётным и не кратным 5. Сумма чисел: чётное + нечётное + кратно 5. Остаток суммы по модулю 10: $5 + \text{чётное} + \text{нечётное} \equiv 5 + 1 \equiv 6 \mod 10$. Невозможно получить остаток 3.
   Ответ: Нет.
2. Аня умножила номер своей квартиры не то на 6, не то на 7. Боря прибавил к результату Ани не то 6, не то 7. Ваня отнял от результата Бори не то 6, не то 7. В итоге получилось 2023. Какой номер у Аниной квартиры? Укажите все возможные варианты.
   Решение: Рассмотрим все комбинации:
   • $6x + 7 - 6 = 6x + 1 = 2023 \Rightarrow x = 337$
   • $7x + 6 - 6 = 7x = 2023 \Rightarrow x = 289$
   • $7x + 7 - 7 = 7x = 2023 \Rightarrow x = 289$
   
   Ответ: 289 и 337.
3. Пять гномов нашли три одинаковых самоцвета. Древний дракон назвал им стоимость одного камня. Три гнома взяли себе по самоцвету, а также отдали по 800 монет, которые двое оставшихся поровну поделили между собой. Сколько же стоит один самоцвет?
   Решение: Три гнома отдали $3 \cdot 800 = 2400$ монет. Двое поделили поровну: $2400 : 2 = 1200$ монет. Стоимость трёх самоцветов равна сумме переданных монет: $3S = 2400 \Rightarrow S = 800$.
   Ответ: 800.
4. Дорога от дома до школы занимает у Пети 20 минут. Однажды по дороге в школу он вспомнил, что забыл ручку. Теперь если он продолжит путь с той же скоростью, то придет в школу за 3 минуты до звонка. А если Петя вернется домой за ручкой, то, идя с той же скоростью, опоздает к началу урока на 7 минут. Какую часть пути Петя прошел до того как вспомнил о ручке?
   Решение: Пусть время до звонка $T = 23$ мин. Время возвращения: $2x + 20 = 30 \Rightarrow x = 5$ мин. Часть пути: $\frac{5}{20} = \frac{1}{4}$.
   Ответ: $\frac{1}{4}$.
5. На двух экранах каждую секунду одновременно меняются числа. На первом экране 1, 5, 9, 13, \dots На втором экране 1, 6, 11, 16, \dots Первая единица на экранах появилась одновременно. Какие числа будут написаны на экранах, когда сумма числа на первом экране и числа на втором экране станет равна 2000?
   Решение: Числа через $t$ секунд: $1 + 4t$ и $1 + 5t$. Сумма: $2 + 9t = 2000 \Rightarrow t = 222$. Числа: $1 + 4 \cdot 222 = 889$ и $1 + 5 \cdot 222 = 1111$.
   Ответ: 889 и 1111.
6. На столе белой стороной вверх лежали 100 карточек, у каждой из которых одна сторона белая, а другая чёрная. Костя перевернул 50 карточек, затем Таня перевернула 60 карточек, а после этого Юля — 70 карточек. В результате все 100 карточек оказались лежащими чёрной стороной вверх. Сколько карточек было перевернуто трижды?
   Решение: Общее число переворотов: $50 + 60 + 70 = 180$. Пусть $x$ карточек перевернуты трижды. Тогда $3x + (100 - x) = 180 \Rightarrow x = 40$.
   Ответ: 40.