Школа №2086 из 4 в 5 класс 2025 год вариант 2

Школа № 2086

2025 год

11.03.2025

Вариант 2

1. Вычислите:
   • а) \(15\,962\,973 : 39\) (2 балла)
   • б) \(305\,709 \cdot 608\) (2 балла)
2. (3 балла) Скорость моторной лодки против течения равна 42 км/ч, а скорость течения 20 м/мин. Чему равна скорость катера по течению?
   
   
3. (3 балла) Запишите в порядке убывания: \(5 \text{ га}, 50\,200\,\text{м}^2, 5\,300\,000\,\text{мм}^2, 420\,\text{а}, 42\,100\,\text{дм}^2\).
   
   
4. (3 балла) Укажите порядок действий и найдите значение выражения: \[ 409\,210 - (3\,007 : (511 - 560 + 480) \cdot 620) + 1856 : 936 + 932 - 59 \]
   
   
5. (4 балла) В прямоугольном параллелепипеде площадь самой большой грани равна \(4\,800\,\text{см}^2\), а самая короткая сторона равна 8 см. Чему равен объём этого параллелепипеда?
   
   
6. (4 балла) В саду растут только вишни, персики и абрикосы. Известно, что вишни составляют \( \frac{5}{8} \) всех деревьев, персики в саду в 3 раза меньше, чем вишен, чем абрикосов. Сколько всего деревьев в саду, если абрикосов 32 дерева?
   
   
7. (6 баллов) Коля и Дима одновременно начали бегать вверх по движущемуся вверх эскалатору. Дима делает шаг на треть деления быстрее Коли, и в то же время по движению вверх в 3 раза больше ступенек, чем Дима, осязают ребят посторонние. Выберите, какие из ответов правильны:
   
   
   • А — Количество ступенек у Димы и Коли отличается меньше, чем в три раза.
   • Б — Дима насчитает больше, чем в три раза ступенек, чем Коля.
   • В — Коля насчитает больше, чем в три раза ступенек, чем Дима.
   • Г — Дима насчитает в три раза больше ступенек, чем Коля.
   • Д — Коля насчитает в три раза больше ступенек, чем Дима.
   • Е — Дима насчитает ступенек больше, чем Коля.
   • Ж — Коля насчитает ступенек больше, чем Дима.
   • З — Они насчитают одинаковое количество ступенек.
   
   
   Свой выбор обоснуйте.
   
   
8. (6 баллов) При делении некоторого натурального числа на 14 получили остаток, который в 3 раза меньше частного. Найдите делимое, если оно не превышает 150. (Укажите все возможные варианты)
   
   
9. (6 баллов) Малыш, Гунилла и Кристер одновременно начали бежать по дорожке вокруг стадиона. Малыш обогнал Гуниллу 5 раз, а Кристер обогнал Малыша 8 раз. Они все одновременно закончили бег там же, откуда начали. Сколько раз Кристер обогнал Гуниллу?
   
   
10. (7 баллов) Маша нарисовала на листе бумаги несколько фигур. Среди них Саша насчитала 15 зелёных фигур, 5 треугольников, 8 прямоугольников, 6 квадратов и сколько-то кругов. Какое наименьшее количество одинаковых по цвету и форме кругов могла нарисовать Маша, если каждую нарисованную фигуру Саша всё раз сосчитал?
    
    

Решения задач

1. 1. Вычислите \(15\,962\,973 : 39\)
      Решение:
      \(15\,962\,973 : 39 = 409\,307\)
      Ответ: $409\,307$.
   2. Вычислите \(305\,709 \cdot 608\)
      Решение:
      \(305\,709 \cdot 608 = 305\,709 \cdot 600 + 305\,709 \cdot 8 = 183\,425\,400 + 2\,445\,672 = 185\,871\,072\)
      Ответ: $185\,871\,072$.
2. Скорость моторной лодки против течения равна 42 км/ч, а скорость течения 20 м/мин. Чему равна скорость катера по течению?
   Решение:
   Скорость течения: \(20 \, \text{м/мин} = 1.2 \, \text{км/ч}\).
   Собственная скорость лодки: \(42 + 1.2 = 43.2 \, \text{км/ч}\).
   Скорость по течению: \(43.2 + 1.2 = 44.4 \, \text{км/ч}\).
   Ответ: 44.4 км/ч.
3. Запишите в порядке убывания: \(5 \text{ га}, 50\,200\,\text{м}^2, 5\,300\,000\,\text{мм}^2, 420\,\text{а}, 42\,100\,\text{дм}^2\).
   Решение:
   \(50\,200\,\text{м}^2 > 5\,\text{га} = 50\,000\,\text{м}^2 > 420\,\text{а} = 42\,000\,\text{м}^2 > 42\,100\,\text{дм}^2 = 421\,\text{м}^2 > 5\,300\,000\,\text{мм}^2 = 5.3\,\text{м}^2\).
   Ответ: \(50\,200\,\text{м}^2, 5\,\text{га}, 420\,\text{а}, 42\,100\,\text{дм}^2, 5\,300\,000\,\text{мм}^2\).
4. Укажите порядок действий и найдите значение выражения: \[ 409\,210 - (3\,007 : (511 - 560 + 480) \cdot 620) + 1856 : 936 + 932 - 59 \] Решение:
   \(511 - 560 + 480 = 431\);
   \(3\,007 : 431 = 7\);
   \(7 \cdot 620 = 4\,340\);
   \(409\,210 - 4\,340 = 404\,870\);
   \(1\,856 : 936 = 2\);
   \(404\,870 + 2 + 932 - 59 = 405\,745\).
   Ответ: $405\,745$.
5. В прямоугольном параллелепипеде площадь самой большой грани равна \(4\,800\,\text{см}^2\), а самая короткая сторона равна 8 см. Чему равен объём этого параллелепипеда?
   Решение:
   Объём: \(8 \cdot 4\,800 = 38\,400 \, \text{см}^3\).
   Ответ: $38\,400$ см³.
6. В саду растут только вишни, персики и абрикосы. Вишни составляют \( \frac{5}{8} \) всех деревьев, персиков в 3 раза меньше, чем вишен, а абрикосов 32 дерева. Сколько всего деревьев в саду?
   Решение:
   Пусть общее количество деревьев \(x\). Тогда вишни \(\frac{5}{8}x\), персики \(\frac{5}{24}x\).
   Уравнение: \(\frac{5}{8}x + \frac{5}{24}x + 32 = x\).
   Решение: \(x = 192\).
   Ответ: 192.
7. Коля и Дима бегут вверх по эскалатору. Дима делает шаг быстрее. Какие утверждения верны?
   Решение:
   Пусть скорость шага Коли — (r), тогда у Димы $ \frac{4}{3}r$. Обозначим скорость эскалатора (в “ступенях/с”) через (e), длину — (N) ступеней. Число ступеней, которые «наступает» бегущий:
   $ S=\frac{N\cdot \text{(его шаговая скорость)}}{\text{(его шаговая скорость)}+e}. $
   Фраза «по движению вверх в 3 раза больше ступенек, чем Дима» означает, что за то же время у Димы число «чужих» (подъезжающих эскалатором) ступеней в 3 раза больше его собственных:
   $eT_D = 3\cdot (\tfrac{4}{3}r)T_D \Rightarrow e=3\cdot \tfrac{4}{3}r=4r.$
   Тогда:
   * у Димы: $S_D=\dfrac{N\cdot \frac{4}{3}r}{\frac{4}{3}r+4r}= \dfrac{N}{4}$
   * у Коли: $S_K=\dfrac{N\cdot r}{r+4r}= \dfrac{N}{5}$
   Следовательно, $S_D=\tfrac{N}{4} > \tfrac{N}{5}=S_K$ и отношение $S_D/S_K= \tfrac{5}{4} < 3$.
   
   Отсюда:
   А (отличается меньше, чем в 3 раза) — верно;
   Е (Дима насчитает больше ступенек) — верно;
   *все варианты про «в 3 раза» и «больше, чем в 3 раза», а также «Коля больше» или «поровну» — неверны.
   
8. Найдите делимое, которое при делении на 14 даёт остаток, в 3 раза меньший частного, и не превышает 150.
   Решение:
   Делимое \(43r\), где \(r = 1, 2, 3\).
   Возможные значения: \(43, 86, 129\).
   Ответ: 43, 86, 129.
9. Малыш, Гунилла и Кристер бегут по кругу. Малыш обогнал Гуниллу 5 раз, Кристер обогнал Малыша 8 раз. Сколько раз Кристер обогнал Гуниллу?
   Решение:
   Разность скоростей: \(5 + 8 = 13\).
   Ответ: 13.
10. Наименьшее количество одинаковых кругов, если всего 15 зелёных фигур, 5 треугольников, 8 прямоугольников, 6 квадратов.
    Решение:
    Треугольников, прямоугольников и квадратов всего 5+8+6=19. Зелёных фигур — 15. Можно расположить цвета так, чтобы все 15 зелёных пришлись на эти 19 не-кругов (т.е. зелёных кругов нет). Тогда среди кругов можно взять хотя бы один (задача говорит, что круги есть), и, чтобы минимизировать число одинаковых по цвету и форме кругов, окрасить каждый круг в свой цвет. В этом случае у какого-то цвета будет всего 1 круг — это и есть минимально возможное число одинаковых по цвету и форме кругов.
    Ответ: 1.