Школа №2086 из 4 в 5 класс 2025 год

Школа № 2086

2025 год

11.03.2025

Вариант 1

1. Вычислите:
   • а) \(8\,658\,927 : 27\) (2 балла)
   • б) \(406\,709 \cdot 407\) (2 балла)
   
   
   
2. (3 балла) Скорость катера по течению равна 52 км/ч, а скорость течения 25 м/мин. Чему равна скорость катера против течения?
   
   
3. (3 балла) Запишите в порядке возрастания: \(330\,\text{дм}^2, 17\,\text{м}^2, 3\,700\,501\,\text{см}^2, 7\,600\,000\,\text{мм}^2, 303\,\text{а}, 70\,000\,\text{м}^2\).
   
   
4. (4 балла) Укажите порядок действий и найдите значение выражения: \[ 410 \cdot (95 + 280 : 14) - 4 \cdot 456 \cdot 014 : (441\,090 : 870) \]
   
   
5. (4 балла) В прямоугольном параллелепипеде площадь самой маленькой грани равна 21 см\(^2\), а самая длинная сторона равна 70 мм. Чему равен объём этого параллелепипеда?
   
   
6. (4 балла) В саду растут только яблони, груши и сливы. Известно, что груши составляют \( \frac{7}{8} \) всех деревьев, растущих в саду, а слив растёт в два раза меньше, чем яблонь. Сколько деревьев растёт в саду, если яблонь 56 деревьев?
   
   
7. (6 баллов) Петя и Вася одновременно начали бежать вверх по движущемуся вниз эскалатору. Петя бежит в два раза быстрее Васи (то есть за одно и то же время Петя пробегает в 2 раза больше ступенек, чем Вася, скорость ленты постоянна). Выберите, какие из ответов правильны:
   • А) Они насчитают одинаковое количество ступенек.
   • Б) Петя насчитает ступенек больше, чем Вася.
   • В) Вася насчитает ступенек больше, чем Петя.
   • Г) Петя насчитает в два раза больше ступенек, чем Вася.
   • Д) Вася насчитает в два раза больше ступенек, чем Петя.
   • Е) Петя насчитает больше, чем в два раза ступенек, чем Вася.
   • Ж) Вася насчитает больше, чем в два раза ступенек, чем Петя.
   • З) Количество ступенек у Пети и Васи отличается меньше, чем в два раза.
   Свой выбор обоснуйте.
   
   
8. (6 баллов) При делении некоторого натурального числа на 15 получили остаток, который в 2 раза меньше частного. Найдите делимое, если оно не превышает 100. (Укажите все возможные варианты)
   
   
9. (6 баллов) Пятачок, Винни-Пух и Кролик одновременно начали бежать по дорожке вокруг парка. Пятачок обогнал Винни-Пуха 4 раза, а Кролик обогнал Пятачка 6 раз. Они все одновременно закончили бег там же, откуда начали. Сколько раз Кролик обогнал Винни-Пуха?
   
   
10. (7 баллов) Виталик нарисовал на листе бумаги несколько фигур. Среди них Наташа насчитала 7 прямоугольников, 5 квадратов, 4 круга, 12 красных фигур и сколько-то треугольников. Какое:
    • а) максимальное и
    • б) минимальное количество треугольников мог нарисовать Виталик, если каждую нарисованную фигуру хоть бы раз сосчитали?

1. а) 320701; б) 165530563
2. 49 км/ч
3. \(330 \, \text{дм}^2, 7\,600\,000 \, \text{мм}^2, 17 \, \text{м}^2, 3\,700\,501 \, \text{см}^2, 303 \, \text{а}, 70\,000 \, \text{м}^2\)
4. 47099,6
5. 147 см\(^3\)
6. 672
7. В, Ж
8. 31, 62, 93
9. 10
10. а) 12; б) 1

Решения задач

1. 1. Вычислите: \(8\,658\,927 : 27\)
      Решение:
      \(8\,658\,927 \div 27 = 320\,701\).
      Ответ: 320701.
   2. Вычислите: \(406\,709 \cdot 407\)
      Решение:
      \(406\,709 \cdot 407 = 406\,709 \cdot 400 + 406\,709 \cdot 7 = 162\,683\,600 + 2\,846\,963 = 165\,530\,563\).
      Ответ: 165530563.
2. Скорость катера по течению равна 52 км/ч, а скорость течения 25 м/мин. Чему равна скорость катера против течения?
   Решение:
   Скорость течения: \(25 \, \text{м/мин} = 25 \cdot 60 \, \text{м/ч} = 1,5 \, \text{км/ч}\).
   Собственная скорость катера: \(52 - 1,5 = 50,5 \, \text{км/ч}\).
   Скорость против течения: \(50,5 - 1,5 = 49 \, \text{км/ч}\).
   Ответ: 49 км/ч.
3. Запишите в порядке возрастания: \(330\,\text{дм}^2, 17\,\text{м}^2, 3\,700\,501\,\text{см}^2, 7\,600\,000\,\text{мм}^2, \\ 303\,\text{а}, 70\,000\,\text{м}^2\).
   Решение:
   Приведём все величины к м²:
   • \(330 \, \text{дм}^2 = 3,3 \, \text{м}^2\)
   • \(3\,700\,501 \, \text{см}^2 = 370,0501 \, \text{м}^2\)
   • \(7\,600\,000 \, \text{мм}^2 = 7,6 \, \text{м}^2\)
   • \(303 \, \text{а} = 303 \cdot 100 = 30\,300 \, \text{м}^2\)
   
   Порядок: \(3,3 \, \text{м}^2 < 7,6 \, \text{м}^2 < 17 \, \text{м}^2 < 370,0501 \, \text{м}^2 < 30\,300 \, \text{м}^2 < 70\,000 \, \text{м}^2\).
   Ответ: \(330 \, \text{дм}^2, 7\,600\,000 \, \text{мм}^2, 17 \, \text{м}^2, 3\,700\,501 \, \text{см}^2, 303 \, \text{а}, 70\,000 \, \text{м}^2\).
4. Укажите порядок действий и найдите значение выражения: \[ 410 \cdot (95 + 280 : 14) - 4 \cdot 456 \cdot 14 : (441\,090 : 870) \]
   Решение:
   \(280 : 14 = 20\),
   \(95 + 20 = 115\),
   \(410 \cdot 115 = 47\,150\).
   \(441\,090 : 870 = 507\),
   \(4 \cdot 456 \cdot 14 = 25536\),
   \(25536 : 507 = 50,4\).
   \(47\,150 - 50,4 = 47\,099,6\).
   Ответ: 47099,6.
5. В прямоугольном параллелепипеде площадь самой маленькой грани равна 21 см\(^2\), а самая длинная сторона равна 70 мм. Чему равен объём этого параллелепипеда?
   Решение:
   Самая длинная сторона: \(70 \, \text{мм} = 7 \, \text{см}\).
   Объём: \(21 \cdot 7 = 147 \, \text{см}^3\).
   Ответ: 147 см\(^3\).
6. В саду растут только яблони, груши и сливы. Груши составляют \(\frac{7}{8}\) всех деревьев, а слив — вдвое меньше, чем яблонь. Сколько деревьев растёт в саду, если яблонь 56?
   Решение:
   Слив: \(56 \div 2 = 28\).
   Яблонь и слив вместе: \(56 + 28 = 84\) — это \(\frac{1}{8}\) всех деревьев.
   Всего деревьев: \(84 \cdot 8 = 672\).
   Ответ: 672.
7. Петя и Вася одновременно начали бежать вверх по движущемуся вниз эскалатору. Петя бежит в два раза быстрее Васи (то есть за одно и то же время Петя пробегает в 2 раза больше ступенек, чем Вася, скорость ленты постоянна). Выберите, какие из ответов правильны.
   Решение: Если скорость эскалатора \(v\), то Петина эффективная скорость \(2u - v\) (относительно ступенек), а Васина \(u - v\). За время преодоления ступенек на эскалаторе Петя проходит \(2u \cdot t_1\) ступенек, а Вася \(u \cdot t_2\). Поскольку время \(t_1 < t_2\), то Вася насчитает больше ступенек.
   Правильный ответ: В, Ж.
8. Найдите делимое $\leq$ 100, которое при делении на 15 даёт остаток в два раза меньший частного.
   Решение:
   Формула: \(31r \leq 100\), где \(r\) — остаток. Возможные \(r\): 1, 2, 3. Делаемые: 31, 62, 93.
   Ответ: 31, 62, 93.
9. Пятачок, Винни-Пух и Кролик одновременно начали бежать по дорожке вокруг парка. Пятачок обогнал Винни-Пуха 4 раза, а Кролик обогнал Пятачка 6 раз. Они все одновременно закончили бег там же, откуда начали. Сколько раз Кролик обогнал Винни-Пуха?
   Решение: Обгон Кроликом Пятачка + Пятачком Винни-Пуха даёт суммарное количество обгонов Кролика над Винни-Пухом: \(6 + 4 = 10\).
   Ответ: 10.
10. Виталик нарисовал:
    1. Максимальное количество треугольников: 12 (если все красные 12 — треугольники).
    2. Минимальное количество треугольников: 1 (если среди красных 11 — прямоугольники и круги).
    Ответ: а) 12; б) 1.