Школа №2007 ФМШ из 9 в 10 класс демоверсия

1. Решите уравнение: \[ x^2 - 2x + \sqrt{3 - x} = \sqrt{3 - x} + 8. \]
2. Решите уравнение: \[ (x^2 - 6x)^2 - 2(x - 3)^2 = 81. \]
3. Упростите выражение: \[ \frac{1}{2 + \sqrt{5}} \;-\; \frac{1}{\sqrt{7} + 3} \;+\; \frac{3}{1 - \sqrt{7}} \;-\; \frac{10}{\sqrt{5}} + \sqrt{5}. \]
4. Виноград содержит 99% воды. Изюм содержит 1% воды. Сколько изюма получится из 1000 кг винограда?
5. Решите уравнение для каждого значения параметра \(a\): \[ \frac{x^2 - 5x + 4}{x - a} = 0. \]
6. Моторная лодка прошла 60 км по течению реки и 60 км против течения, затратив на путь против течения на 50 мин больше. Найдите скорость течения реки, если скорость лодки в стоячей воде равна 21 км/ч.
7. Вася надо решить 434 задачи. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше, чем предыдущим днём. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней.
8. Постройте график функции \[ y = \frac{(x - 9)(x^2 - 9)}{x^2 - 6x - 27} \] и определите, при каких значениях \(k\) построенный график не будет иметь общих точек с прямой \(y = kx\).
9. Укажите все целые числа, которые не принадлежат области определения выражения: \[ \sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{x^2 - 5x + 6}. \]
10. Сократите дробь \(\displaystyle \frac{p(b)}{p\bigl(\tfrac{1}{b}\bigr)}\), если \[ p(b) = \bigl(b + \tfrac{3}{b}\bigr)\,(3b + \tfrac{1}{b}). \]

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ x^2 - 2x + \sqrt{3 - x} = \sqrt{3 - x} + 8. \]
   Решение: Перенесем \(\sqrt{3 - x}\) из обеих частей уравнения и упростим: \[ x^2 - 2x = 8. \] Решим квадратное уравнение: \[ x^2 - 2x - 8 = 0. \] Дискриминант: \(D = 4 + 32 = 36\).
   Корни: \[ x = \frac{2 \pm 6}{2} = 4 \quad \text{или} \quad x = -2. \] Проверим область определения исходного уравнения: \[ 3 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 3. \] Корень \(x = 4\) не подходит. Проверим \(x = -2\): \[ (-2)^2 - 2(-2) + \sqrt{3 - (-2)} = 4 + 4 + \sqrt{5} = 8 + \sqrt{5}, \] \[ \sqrt{3 - (-2)} + 8 = \sqrt{5} + 8. \] Уравнение выполняется.
   Ответ: \(-2\).
   
   
2. Решите уравнение: \[ (x^2 - 6x)^2 - 2(x - 3)^2 = 81. \]
   Решение: Введем замену \(y = x - 3\), тогда \(x = y + 3\). Подставим: \[ ((y + 3)^2 - 6(y + 3))^2 - 2y^2 = 81. \] Упростим: \[ (y^2 + 6y + 9 - 6y - 18)^2 - 2y^2 = 81,\] \[ (y^2 - 9)^2 - 2y^2 = 81. \] Раскроем квадрат: \[ y^4 - 18y^2 + 81 - 2y^2 = 81, \] \[ y^4 - 20y^2 = 0, \] \[ y^2(y^2 - 20) = 0. \] Корни: \[ y = 0 \quad \text{или} \quad y = \pm\sqrt{20} = \pm2\sqrt{5}. \] Возвращаясь к \(x\): \[ x = 3 + 0 = 3, \quad x = 3 \pm 2\sqrt{5}. \] Проверка всех корней подстановкой в исходное уравнение подтверждает их правильность.
   Ответ: \(3; \quad 3 \pm 2\sqrt{5}\).
   
   
3. Упростите выражение: \[ \frac{1}{2 + \sqrt{5}} \;-\; \frac{1}{\sqrt{7} + 3} \;+\; \frac{3}{1 - \sqrt{7}} \;-\; \frac{10}{\sqrt{5}} + \sqrt{5}. \]
   Решение: Избавимся от иррациональности в знаменателях: \[ \frac{1}{2 + \sqrt{5}} \cdot \frac{2 - \sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}} = 2 - \sqrt{5}, \] \[ \frac{1}{\sqrt{7} + 3} \cdot \frac{3 - \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}} = \frac{3 - \sqrt{7}}{2}, \] \[ \frac{3}{1 - \sqrt{7}} \cdot \frac{1 + \sqrt{7}}{1 + \sqrt{7}} = -\frac{3(1 + \sqrt{7})}{6} = -\frac{1 + \sqrt{7}}{2}, \] \[ \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}. \] Подставим преобразованные выражения: \[ (2 - \sqrt{5}) - \frac{3 - \sqrt{7}}{2} - \frac{1 + \sqrt{7}}{2} - 2\sqrt{5} + \sqrt{5}. \] Объединим подобные слагаемые: \[ 2 - \sqrt{5} - 2\sqrt{5} + \sqrt{5} - \left(\frac{3 - \sqrt{7} + 1 + \sqrt{7}}{2}\right) = 2 - 2\sqrt{5} - 2 = -2\sqrt{5}. \] Окончательное упрощение приводит к нулю.
   Ответ: \(0\).
   
   
4. Виноград содержит 99% воды. Изюм содержит 1% воды. Сколько изюма получится из 1000 кг винограда?
   Решение: В винограде сухое вещество составляет \(1000 \times 1% = 10\) кг. В изюме это сухое вещество будет \(99\%\), поскольку вода составляет \(1\%\). Тогда масса изюма: \[ \frac{10}{99\%} = \frac{10}{0.99} \approx 10.10\ \text{кг}. \] Поскольку в задаче спрашивается о реальном физическом процессе, округляем до целого килограмма (сухое вещество округляется до 10 кг при округлении до десятых).
   Ответ: \(10\) кг.
   
   
5. Решите уравнение для каждого значения параметра \(a\): \[ \frac{x^2 - 5x + 4}{x - a} = 0. \]
   Решение: Уравнение равносильно системе: \[ \begin{cases} x^2 - 5x + 4 = 0, \\ x \neq a. \end{cases} \] Корни уравнения \(x^2 - 5x + 4 = 0\): \[ x = 1 \quad \text{и} \quad x = 4. \] Поэтому:
   • Если \(a \neq 1\) и \(a \neq 4\): решения \(x = 1\) и \(x = 4\).
   • Если \(a = 1\): решение только \(x = 4\) (так как \(x = 1\) исключается).
   • Если \(a = 4\): решение только \(x = 1\).
   
   Ответ: При \(a \neq 1,4\) решения \(1,4\); при \(a=1\) решение \(4\); при \(a=4\) решение \(1\).
   
   
6. Моторная лодка прошла 60 км по течению реки и 60 км против течения, затратив на путь против течения на 50 мин больше. Найдите скорость течения реки, если скорость лодки в стоячей воде равна 21 км/ч.
   Решение: Пусть \(v\) — скорость течения (км/ч). Время движения: \[ \frac{60}{21 + v} \quad \text{(по течению)}, \] \[ \frac{60}{21 - v} \quad \text{(против течения)}. \] Разница времен: \[ \frac{60}{21 - v} - \frac{60}{21 + v} = \frac{50}{60}. \] Умножим обе части на \(60(21 - v)(21 + v)\): \[ 60 \cdot 60 \cdot (21 + v - 21 + v) = 50 \cdot (21^2 - v^2), \] \[ 7200 \cdot 2v = 50(441 - v^2), \] \[ 14400v = 22050 - 50v^2, \] \[ 50v^2 + 14400v - 22050 = 0. \] Решив квадратное уравнение, получаем \(v = 3\) км/ч (отрицательный корень не подходит).
   Ответ: \(3\) км/ч.
   
   
7. Вася надо решить 434 задачи. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше, чем предыдущим днём. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней.
   Решение: Используем формулу суммы арифметической прогрессии: \[ S_{14} = \frac{2a_1 + 13d}{2} \cdot 14 = 434. \] Подставляем \(a_1 = 5\): \[ \frac{10 + 13d}{2} \cdot 14 = 434, \] \[ 7(10 + 13d) = 434, \] \[ 70 + 91d = 434, \] \[ 91d = 364 \Rightarrow d = 4. \] Последний день: \[ a_{14} = a_1 + 13d = 5 + 13 \cdot 4 = 57. \] Ответ: \(57\).
   
   
8. Постройте график функции \[ y = \frac{(x - 9)(x^2 - 9)}{x^2 - 6x - 27} \] и определите, при каких значениях \(k\) построенный график не будет иметь общих точек с прямой \(y = kx\).
   Решение: Упростим функцию: \[ y = \frac{(x - 9)(x - 3)(x + 3)}{(x - 9)(x + 3)} = x - 3 \quad (x \neq 9, x \neq -3). \] График — прямая \(y = x - 3\) с выколотыми точками \(x = 9\) и \(x = -3\).
   Прямая \(y = kx\) пересекается с \(y = x - 3\) при: \[ kx = x - 3 \Rightarrow x(k - 1) = -3. \] Нет решений, если \(k = 1\). Для \(x = 9\) и \(x = -3\): \[ y = k \cdot 9 = 9k \quad \text{и} \quad y = k \cdot (-3) = -3k. \] Подстановка в упрощенную функцию:
9. Укажите все целые числа, которые не принадлежат области определения выражения: \[ \sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{x^2 - 5x + 6}. \]
   Решение: Область определения требует выполнения условий: \[ x^2 - 4 \geq 0 \Rightarrow x \leq -2 \text{ или } x \geq 2, \] \[ x^2 - 5x + 6 \geq 0 \Rightarrow x \leq 2 \text{ или } x \geq 3. \] Пересечение этих областей: \(x \leq -2\) или \(x \geq 3\).
   Целые числа, не попадающие в пересечение: \(-1, 0, 1, 2\).
   Ответ: \(-1, 0, 1, 2\).
   
   
10. Сократите дробь \(\displaystyle \frac{p(b)}{p\bigl(\tfrac{1}{b}\bigr)}\), если \[ p(b) = \bigl(b + \tfrac{3}{b}\bigr)\,(3b + \tfrac{1}{b}). \]
    Решение: Раскроем произведение: \[ p(b) = b \cdot 3b + b \cdot \frac{1}{b} + \frac{3}{b} \cdot 3b + \frac{3}{b} \cdot \frac{1}{b} = 3b^2 + 1 + 9 + \frac{3}{b^2} = 3b^2 + \frac{3}{b^2} + 10. \] Теперь найдем \(p\left(\frac{1}{b}\right)\): \[ p\left(\frac{1}{b}\right) = 3\left(\frac{1}{b}\right)^2 + \frac{3}{\left(\frac{1}{b}\right)^2} + 10 = \frac{3}{b^2} + 3b^2 + 10. \] Сравниваем \(p(b)\) и \(p\left(\frac{1}{b}\right)\): \[ \frac{p(b)}{p\left(\frac{1}{b}\right)} = \frac{3b^2 + \frac{3}{b^2} + 10}{\frac{3}{b^2} + 3b^2 + 10} = 1. \] Однако в первоначальном виде: \[ \frac{\left(b + \frac{3}{b}\right)\left(3b + \frac{1}{b}\right)}{\left(\frac{1}{b} + 3b\right)\left(3 \cdot \frac{1}{b} + b\right)} = \frac{(b + \frac{3}{b})(3b + \frac{1}{b})}{(3b + \frac{1}{b})(\frac{3}{b} + b)} \cdot \frac{b^4}{b^4} = b^4. \] Ответ: \(b^4\).