Школа №2007 ФМШ из 9 в 10 класс 2017
Печать
youit.school ©
ШКОЛА № 2007
2017 год
Мордкович
- Сократите дробь: \[ \frac{2x^2 - 9x + 4}{x^2 - 16}. \]
- Решите уравнение: \[ \frac{5}{x - 2} + 1 = \frac{14}{x^2 - 4x + 4}. \]
- Велосипедист проехал 15 км со скоростью (v) и ещё 6 км со скоростью (v - 3),км/ч. На весь путь он затратил 1,5 ч. Найдите скорости велосипедиста.
- Решите неравенство: \[ (x + 3)^2\,(x^2 - 10x + 21) \;\ge\; 0. \]
- Найдите область определения выражения: \[ \sqrt{\frac{2x^2 - 5x + 2}{5x - 6 - x^2}}. \]
- Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \lvert 2x - 4\rvert > 0,\\ x^2 < 36. \end{cases} \]
- Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 - 5x + y = 2,\\ 5y^2 + 5x^2 + x + 5y = 36. \end{cases} \]
- Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} \dfrac{x + 1}{y - 3} = 1,\\ (x + 1)(y - 3) = 4. \end{cases} \]
- Турист проплыл на лодке по реке из города \(A\) в город \(B\) и обратно за 7 ч. Найдите скорость течения реки, если известно, что турист проплыл 2 км против течения за то же время, что и 5 км по течению, а расстояние между городами равно 20 км.
- Постройте и прочитайте график функции \[ y = \begin{cases} 2x + 4, & -2 \le x \le -1,\\ 2x^2, & -1 < x \le 1,\\ -2x + 4, & 1 < x \le 2. \end{cases} \]
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Сократите дробь:
\[
\frac{2x^2 - 9x + 4}{x^2 - 16}
\]
Решение:
Разложим числитель и знаменатель:
\[
\frac{2(x-4)(x-0,5)}{(x-4)(x+4)} = \frac{2x-1}{x+4}
\]
Ответ: $\dfrac{2x-1}{x+4}$.
- Решите уравнение:
\[
\frac{5}{x - 2} + 1 = \frac{14}{x^2 - 4x + 4}
\]
Решение:
Перепишем знаменатели:
\[
\frac{5}{x-2} + 1 = \frac{14}{(x-2)^2}
\]
Умножим обе части на $(x-2)^2$:
\[
5(x-2) + (x-2)^2 = 14 \quad \Rightarrow \quad x^2 + x - 20 = 0
\]
Корни: $x = 4$ и $x = -5$. Проверка показывает, что оба корня подходят.
Ответ: $-5$, $4$.
- Найдите скорости велосипедиста.
Решение: Составим уравнение времени: \[ \frac{15}{v} + \frac{6}{v-3} = 1,5 \] Решаем уравнение: \[ 30(v-3) + 12v = 3v(v-3) \quad \Rightarrow \quad v^2 -17v +30 = 0 \] Корни: $v = 15$ (подходит), $v = 2$ (не подходит). Ответ: 15 км/ч и 12 км/ч.
- Решите неравенство:
\[
(x + 3)^2(x^2 - 10x + 21) \ge 0
\]
Решение:
Разложим на множители:
\[
(x+3)^2(x-3)(x-7) \ge 0
\]
Метод интервалов даёт решения: $x \le 3$ или $x \ge 7$.
Ответ: $(-\infty; 3] \cup [7; +\infty)$.
- Найдите область определения выражения:
\[
\sqrt{\frac{2x^2 - 5x + 2}{5x - 6 - x^2}}
\]
Решение:
Решаем неравенство:
\[
\frac{2(x-2)(x-0,5)}{-(x-2)(x-3)} \ge 0 \quad \Rightarrow \quad x \in [0,5; 3) \setminus \{2\}
\]
Ответ: $[0,5; 2) \cup (2; 3)$.
- Решите систему неравенств:
\[
\begin{cases}
|2x - 4| > 0,\\
x^2 < 36.
\end{cases}
\]
Решение:
Первое неравенство: $x \ne 2$. Второе: $-6 < x < 6$.
Ответ: $(-6; 2) \cup (2; 6)$.
- Решите систему уравнений:
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 -5x + y = 2,\\
5y^2 +5x^2 +x +5y = 36.
\end{cases}
\]
Решение:
Из первого уравнения: $x^2 + y^2 = 5x - y + 2$. Подставляем во второе:
\[
5(5x - y + 2) + x +5y = 36 \quad \Rightarrow \quad x = 1
\]
При $x=1$: $y^2 + y -6 = 0 \Rightarrow y=2$, $y=-3$.
Ответ: $(1; 2)$, $(1; -3)$.
- Решите систему уравнений:
\[
\begin{cases}
\dfrac{x + 1}{y - 3} = 1,\\
(x + 1)(y - 3) = 4.
\end{cases}
\]
Решение:
Из первого уравнения: $y = x + 4$. Подставляем во второе:
\[
(x+1)^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 1, -3
\]
Ответ: $(1; 5)$, $(-3; 1)$.
- Найдите скорость течения реки.
Решение: Пусть $x$ — скорость течения. Составляем систему: \[ \frac{2}{v - x} = \frac{5}{v + x}, \quad \frac{20}{v - x} + \frac{20}{v + x} = 7 \] Решение: $x = 3$ км/ч. Ответ: 3 км/ч.
- Постройте график функции: \[ y = \begin{cases} 2x + 4, & -2 \le x \le -1,\\ 2x^2, & -1 < x \le 1,\\ -2x + 4, & 1 < x \le 2. \end{cases} \] Ответ: График состоит из отрезка прямой (от (-2,0) до (-1,2)), параболы (от (-1,2) до (1,2)) и отрезка прямой (от (1,2) до (2,0)).
Материалы школы Юайти