8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №2007 ФМШ из 9 в 10 класс 2017

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2017
ЕГЭ 2026: Как подготовиться без паники и стресса?
7 сентября в 19:00
Спикер: Матвей Грицаев
Печать
youit.school ©

ШКОЛА № 2007


2017 год

Макарычев



  1. Найдите корни квадратного трёхчлена: \[ -x^2 + 4x - 2\tfrac{2}{3}. \]

  2. Выполните действия: \[ \frac{2x^2 - 7}{x^2 - 3x - 4} \;-\;\frac{x + 1}{x - 4}. \]

  3. Найдите область значений функции: \[ y = -\tfrac12 x^2 + 4x - 5{,}5. \]

  4. Решите уравнение: \[ p^3 - p^2 = p - 1. \]

  5. Решите уравнение: \[ \Bigl(\frac{x + 1}{x - 2}\Bigr)^2 \;-\; 16\Bigl(\frac{x - 2}{x + 1}\Bigr)^2 \;=\; 15. \]

  6. Решите неравенство: \[ \frac{2x - 4}{3x + 3} \;\le\; 0. \]

  7. Решите неравенство, разложив левую часть на множители: \[ (x^2 - 9)(x^2 - 1) \;>\; 0. \]

  8. Бассейн наполняется через первую трубу на 5 ч быстрее, чем через вторую. Если сначала открыть одну первую трубу на 5 ч, а затем одну вторую на $7{,}5$ ч, бассейн заполняется. За сколько часов бассейн наполнится при совместной работе обеих труб?

  9. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x + y + xy = 5,\\ xy + x - y = 13. \end{cases} \]

  10. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} (x + y)^2 - 2(x + y) = 15,\\ x + xy + y = 11. \end{cases} \]
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найдите корни квадратного трёхчлена: \[ -x^2 + 4x - 2\tfrac{2}{3}. \]
    Решение: Преобразуем трёхчлен: \[ -x^2 + 4x - \frac{8}{3} = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x^2 - 12x + 8 = 0. \] Дискриминант: \[ D = 144 - 96 = 48 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{D} = 4\sqrt{3}. \] Корни: \[ x = \frac{12 \pm 4\sqrt{3}}{6} = 2 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}. \] Ответ: \(2 + \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\) и \(2 - \dfrac{2\sqrt{3}}{3}\).

  2. Выполните действия: \[ \frac{2x^2 - 7}{x^2 - 3x - 4} \;-\;\frac{x + 1}{x - 4}. \]
    Решение: Разложим знаменатель: \[ x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1). \] Преобразуем выражение: \[ \frac{2x^2 - 7}{(x-4)(x+1)} - \frac{(x+1)^2}{(x-4)(x+1)} = \frac{2x^2 - 7 - (x^2 + 2x + 1)}{(x-4)(x+1)} = \frac{x^2 - 2x - 8}{(x-4)(x+1)}. \] Разложим числитель: \[ x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2). \] Ответ: \(\dfrac{x + 2}{x + 1}\) при \(x \neq 4\).

  3. Найдите область значений функции: \[ y = -\tfrac12 x^2 + 4x - 5{,}5. \]
    Решение: Вершина параболы: \[ x_{\text{верш}} = -\frac{b}{2a} = \frac{4}{1} = 4. \] Значение в вершине: \[ y(4) = -\tfrac{1}{2} \cdot 16 + 16 - 5{,}5 = 2{,}5. \] Ответ: \(y \in (-\infty;\; 2{,}5]\).

  4. Решите уравнение: \[ p^3 - p^2 = p - 1. \]
    Решение: Переносим все слагаемые влево: \[ p^3 - p^2 - p + 1 = 0. \] Факторизация: \[ (p - 1)(p^2 - 1) = 0 \quad \Rightarrow \quad (p - 1)^2(p + 1) = 0. \] Ответ: \(p = 1\) (кратный корень) и \(p = -1\).

  5. Решите уравнение: \[ \Bigl(\frac{x + 1}{x - 2}\Bigr)^2 \;-\; 16\Bigl(\frac{x - 2}{x + 1}\Bigr)^2 \;=\; 15. \]
    Решение: Пусть \(t = \Bigl(\dfrac{x + 1}{x - 2}\Bigr)^2\), тогда: \[ t - \frac{16}{t} = 15 \quad \Rightarrow \quad t^2 - 15t - 16 = 0 \quad \Rightarrow \quad t = 16. \] Решаем: \[ \frac{x + 1}{x - 2} = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 3; \] \[ \frac{x + 1}{x - 2} = -4 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{7}{5}. \] Ответ: \(3\) и \(\dfrac{7}{5}\).

  6. Решите неравенство: \[ \frac{2x - 4}{3x + 3} \;\le\; 0. \]
    Решение: Критические точки: \(x = 2\) (числитель) и \(x = -1\) (знаменатель).
    Интервалы:
    • \(x 0\),
    • \(-1 < x \le 2\): \(\dfrac{-}{+} \le 0\),
    • \(x > 2\): \(\dfrac{+}{+} > 0\).
    Ответ: \(-1 < x \le 2\).
  7. Решите неравенство: \[ (x^2 - 9)(x^2 - 1) \;>\; 0. \]
    Решение: Факторизация: \[ (x - 3)(x + 3)(x - 1)(x + 1) > 0. \] Интервалы:
    • \(x < -3\): положительно,
    • \(-3 < x < -1\): положительно,
    • \(-1 < x < 1\): положительно,
    • \(1 < x < 3\): отрицательно,
    • \(x > 3\): положительно.
    Ответ: \(x \in (-\infty;\; -3) \cup (-1;\; 1) \cup (3;\; +\infty)\).
  8. Бассейн наполняется через первую трубу на 5 часов быстрее, чем через вторую. При совместной работе бассейн наполняется за 6 часов.
    Решение: Пусть время второй трубы — \(t\) часов, тогда первой — \(t - 5\) часов. Составим уравнение: \[ \frac{5}{t - 5} + \frac{7{,}5}{t} = 1 \quad \Rightarrow \quad t = 15. \] Совместная скорость: \[ \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{1}{6} \quad \Rightarrow \quad \text{Ответ: 6 часов}. \]
  9. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x + y + xy = 5,\\ xy + x - y = 13. \end{cases} \]
    Решение: Вычтем уравнения: \[ (xy + x - y) - (x + y + xy) = 8 \quad \Rightarrow \quad -2y = 8 \quad \Rightarrow \quad y = -4. \] Подстановка: \[ x - 4 - 4x = 5 \quad \Rightarrow \quad x = -3. \] Ответ: \((-3;\; -4)\).
  10. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} (x + y)^2 - 2(x + y) = 15,\\ x + xy + y = 11. \end{cases} \]
    Решение: Пусть \(z = x + y\), тогда: \[ z^2 - 2z - 15 = 0 \quad \Rightarrow \quad z = 5 \text{ или } z = -3. \] При \(z = 5\): \[ xy = 11 - 5 = 6 \quad \Rightarrow \quad x, y = 2 \; \text{и} \; 3. \] При \(z = -3\) решений нет. Ответ: \((2;\; 3)\) и \((3;\; 2)\).
Материалы школы Юайти