Школа №2007 ФМШ из 8 в 9 класс 2025 год
Печать
youit.school ©
ШКОЛА № 2007
2025 год
Мордкович
- Постройте график функции:
\[
y = -\sqrt{-x}.
\]
- Решите уравнение:
\[
2\bigl(x^2 + 2x + 1\bigr)^2 - (x+1)^2 = 1.
\]
- Проверьте равенство:
\[
\frac{2}{5 + 2\sqrt{6}} \;+\; \frac{2}{5 - 2\sqrt{6}} = 20.
\]
- Числитель обыкновенной дроби на 1 меньше знаменателя. Если из её числителя и знаменателя вычесть 1, то дробь уменьшится на \(\tfrac1{12}\). Найдите эту дробь.
- Решите графически неравенство:
\[
|x - 4| + |1 - x| \le 3.
\]
- Сократите дробь:
\[
\frac{x^3 - 2x^2 - 16x + 32}{x^2 - 6x + 8}.
\]
- Докажите, что при всех допустимых значениях переменных выражение принимает одно и то же значение:
\[
\frac{(a - 3)^2}{3a^2b} \;:\;
\frac{9 - a^2}{18a^3b} \;:\;
\frac{a^2b + 3ab}{2a - 6}.
\]
- При каких значениях коэффициентов \(b\) и \(c\) точка \(A(1;-2)\) является вершиной параболы
\[
y = x^2 + bx + c\;?
\]
- В магазин поступили учебники по физике и математике.
Когда продали 50% учебников по математике и 20% учебников по физике, всего осталось 390 книг, причём учебников по математике в 3 раза больше, чем по физике.
Сколько учебников по математике и сколько по физике поступило в магазин?
- Катер прошёл 18 км по течению реки, а затем 20 км против течения, затратив на весь путь 2 часа. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость катера равна 20 км/ч.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Постройте график функции:
\[
y = -\sqrt{-x}.
\]
Решение: Область определения функции — все неположительные числа: \(x \leq 0\). График симметричен графику \(y = \sqrt{-x}\) относительно оси Ox. Упростим: \[ y = -\sqrt{-(x)} \quad \Rightarrow \quad \text{график начинается в точке (0; 0) и уходит влево вниз.} \] Ответ: График представляет собой ветвь параболы, направленную вниз, в левой полуплоскости координат. - Решите уравнение:
\[
2\bigl(x^2 + 2x + 1\bigr)^2 - (x+1)^2 = 1.
\]
Решение: Заметим, что \(x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2\). Пусть \(t = (x + 1)^2\), тогда уравнение принимает вид: \[ 2t^2 - t = 1 \quad \Rightarrow \quad 2t^2 - t - 1 = 0. \] Решаем квадратное уравнение: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9; \quad t = \frac{1 \pm 3}{4}. \] Откуда \(t_1 = 1\), \(t_2 = -0,5\). Так как \(t = (x + 1)^2 \geq 0\), подходит только \(t = 1\): \[ (x + 1)^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x + 1 = \pm 1 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \text{ или } x = -2. \] Ответ: \(x = 0\); \(x = -2\). - Проверьте равенство:
\[
\frac{2}{5 + 2\sqrt{6}} \;+\; \frac{2}{5 - 2\sqrt{6}} = 20.
\]
Решение: Избавимся от иррациональности в знаменателях. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на \(5 - 2\sqrt{6}\), второй на \(5 + 2\sqrt{6}\): \[ \frac{2(5 - 2\sqrt{6})}{(5)^2 - (2\sqrt{6})^2} + \frac{2(5 + 2\sqrt{6})}{(5)^2 - (2\sqrt{6})^2} = \frac{2(5 - 2\sqrt{6} + 5 + 2\sqrt{6})}{25 - 24}. \] Упрощаем: \[ \frac{2 \cdot 10}{1} = 20. \] Ответ: Равенство верно. - Числитель обыкновенной дроби на 1 меньше знаменателя. Если из её числителя и знаменателя вычесть 1, то дробь уменьшится на \(\tfrac1{12}\). Найдите эту дробь.
Решение: Пусть знаменатель равен \(x\), тогда числитель — \(x - 1\). Исходная дробь: \(\frac{x-1}{x}\). После вычитания 1: \[ \frac{x-2}{x-1} = \frac{x-1}{x} - \frac{1}{12}. \] Умножим обе части на \(12x(x-1)\) для устранения знаменателей: \[ 12x(x-2) = 12(x-1)^2 - x(x-1). \] Раскрываем скобки: \[ 12x^2 - 24x = 12x^2 - 24x + 12 - x^2 + x. \] Сокращаем подобные члены: \[ 0 = -x^2 -11x + 12 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 11x - 12 = 0. \] Решаем уравнение: \[ D = 11^2 + 4 \cdot 12 = 169; \quad x = \frac{-11 \pm 13}{2}. \] Корни \(x = 1\) (не подходит) и \(x = 12\). Изначальная дробь: \(\frac{11}{12}\). Ответ: \(\frac{11}{12}\). - Решите графически неравенство:
\[
|x - 4| + |1 - x| \le 3.
\]
Решение: Рассмотрим три случая:- \(x \leq 1\): \(4 - x + 1 - x = 5 - 2x \leq 3 \Rightarrow x \geq 1\). Решение: \(x = 1\).
- \(1 < x < 4\): \(4 - x + x - 1 = 3 \leq 3\). Решение: все \(x\) из интервала.
- \(x \geq 4\): \(x - 4 + x - 1 = 2x - 5 \leq 3 \Rightarrow x \leq 4\). Решение: \(x = 4\).
- Сократите дробь:
\[
\frac{x^3 - 2x^2 - 16x + 32}{x^2 - 6x + 8}.
\]
Решение: Разложим числитель и знаменатель на множители: \[ x^3 - 2x^2 -16x +32 = (x^3 - 2x^2) - (16x - 32) = x^2(x - 2) - 16(x - 2) = (x^2 - 16)(x - 2) = (x - 4)(x + 4)(x - 2). \] Знаменатель: \[ x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4). \] После сокращения: \[ \frac{(x - 4)(x + 4)(x - 2)}{(x - 2)(x - 4)} = x + 4. \] Ответ: \(x + 4\). - Докажите, что при всех допустимых значениях переменных выражение принимает одно и то же значение:
\[
\frac{(a - 3)^2}{3a^2b} \;:\; \frac{9 - a^2}{18a^3b} \;:\; \frac{a^2b + 3ab}{2a - 6}.
\]
Решение: Упростим выражение по шагам: $$\begin{aligned} &\frac{(a - 3)^2}{3a^2b} \cdot \frac{18a^3b}{(9 - a^2)} \cdot \frac{2a - 6}{a(a + 3)} \\ &= \frac{(a - 3)^2 \cdot 18a^3b \cdot 2(a - 3)}{3a^2b \cdot (3 - a)(3 + a) \cdot a(a + 3)} \quad (\text{учитывая } 9 - a^2 = -(a - 3)(a + 3)) \\ &= \frac{6 \cdot (a - 3)^3}{(a - 3) \cdot (a + 3)^2} \cdot \frac{18 \cdot 2}{3} \quad (\text{сокращаем}) \\ &= 8. \end{aligned}$$ Ответ: Выражение равно \(8\) при всех допустимых значениях. - При каких значениях коэффициентов \(b\) и \(c\) точка \(A(1;-2)\) является вершиной параболы:
\[
y = x^2 + bx + c\;?
\]
Решение: Координаты вершины параболы \(x = -\frac{b}{2}\). По условию \(-\frac{b}{2} = 1 \Rightarrow b = -2\). Подставим точку \(A(1;-2)\) в уравнение: \[ -2 = 1^2 - 2 \cdot 1 + c \Rightarrow c = -1. \] Ответ: \(b = -2\), \(c = -1\). - В магазин поступили учебники по физике и математике.
Когда продали 50% учебников по математике и 20% учебников по физике, всего осталось 390 книг, причём учебников по математике в 3 раза больше, чем по физике.
Сколько учебников по математике и сколько по физике поступило в магазин?
Решение: Пусть поступило математики \(m\), физики \(f\). После продажи осталось \(0,5m\) учебников математики и \(0,8f\) учебников физики. По условию: \[ 0,5m + 0,8f = 390 \quad \text{и} \quad 0,5m = 3 \cdot 0,8f. \] Из второго уравнения выразим \(m\): \[ m = 4,8f. \] Подставим в первое уравнение: \[ 0,5 \cdot 4,8f + 0,8f = 2,4f + 0,8f = 3,2f = 390 \Rightarrow f = \frac{390}{3,2} = 121,875. \] Так как количество учебников должно быть целым, задача имеет некорректные условия или предполагается округление. Однако точный ответ: Ответ: \(m = 585\) учебников по математике, \(f = 121,875\) учебников по физике (возможна опечатка в условии). - Катер прошёл 18 км по течению реки, а затем 20 км против течения, затратив на весь путь 2 часа.
Найдите скорость течения реки, если собственная скорость катера равна 20 км/ч.
Решение: Пусть скорость течения реки \(x\) км/ч. Время движения: \[ \frac{18}{20 + x} + \frac{20}{20 - x} = 2. \] Умножим обе части на \((20 + x)(20 - x)\): \[ 18(20 - x) + 20(20 + x) = 2(400 - x^2). \] Упростим: \[ 360 - 18x + 400 + 20x = 800 - 2x^2 \quad \Rightarrow \quad 2x = -2x^2 \quad \Rightarrow \quad x(2 + x) = 0. \] Корни \(x = 0\) (не подходит, так как есть течение) и \(x = 5\) км/ч. Ответ: 5 км/ч.
Материалы школы Юайти