Школа №2007 ФМШ из 8 в 9 класс 2025 год

ШКОЛА № 2007

2025 год

Макарычев

1. Сократите дробь: \[ \frac{a^2 - ab + b^2}{a^3 + b^3}. \]
   
   
2. Решите графически уравнение: \[ \frac{8}{x} = x^2. \]
   
   
3. Решите уравнение: \[ (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1) = 1.6x^2(5x - 2). \]
   
   
4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: \[ \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1}. \]
   
   
5. Из двух городов \(A\) и \(B\) выходят одновременно два автомобиля и встречаются через 5 ч. Скорость автомобиля, выходящего из \(A\), на 10 км/ч меньше скорости другого. Если бы первый автомобиль вышел из \(A\) на \(4\frac12\) ч раньше второго, то встреча произошла бы в 150 км от \(B\). Найдите расстояние между городами \(A\) и \(B\).
   
   
6. Сумма квадратов корней уравнения \(x^2 + px + 1 = 0\) равна 254. Найдите значение коэффициента \(p\).
   
   
7. Докажите, что система уравнений \[ \begin{cases} y = x^2 + 5,\\ y + x^2 = -2 \end{cases} \] не имеет решений.
   
   
8. Положив в банк 2000 рублей, вкладчик получил через 2 года 2420 рублей. Какой процент банк начислял ежегодно?
   
   
9. Найдите все натуральные числа, удовлетворяющие неравенству: \[ (x-1)(x+1) - (x^2 - 3x) \le 14. \]
   
   
10. Представьте многочлен \(x^8 + x^4 + 1\) в виде произведения четырёх многочленов ненулевой степени.

Решения задач

1. Сократите дробь: \[ \frac{a^2 - ab + b^2}{a^3 + b^3}. \] Решение: Разложим знаменатель на множители по формуле суммы кубов: \[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2). \] После сокращения общего множителя получим: \[ \frac{a^2 - ab + b^2}{(a + b)(a^2 - ab + b^2)} = \frac{1}{a + b}. \] Ответ: \(\dfrac{1}{a + b}\).
2. Решите графически уравнение: \[ \frac{8}{x} = x^2. \] Решение: Построим графики функций \(y = \frac{8}{x}\) (гипербола) и \(y = x^2\) (парабола). Координаты точек пересечения: \[ x^3 = 8 \Rightarrow x = 2; \quad x^3 = -8 \Rightarrow x = -2. \] Ответ: \(x = 2\) и \(x = -2\).
3. Решите уравнение: \[ (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1) = 1.6x^2(5x - 2). \] Решение: Слева вычислим по формуле суммы кубов: \[ (2x)^3 + 1^3 = 8x^3 + 1. \] Справа преобразуем выражение: \[ 1.6x^2(5x - 2) = 8x^3 - 3.2x^2. \] Уравнение принимает вид: \[ 8x^3 + 1 = 8x^3 - 3.2x^2. \] Сократим и решим: \[ 3.2x^2 = -1 \Rightarrow \text{действительных решений нет}. \] Ответ: корней нет.
4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: \[ \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1}. \] Решение: Умножим последовательно на сопряженные выражения: \[ \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - 1} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{4 + 2\sqrt{6}} \cdot \frac{4 - 2\sqrt{6}}{4 - 2\sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3} - 1)(4 - 2\sqrt{6})}{16 - 24}. \] После вычислений: \[ \frac{-(\sqrt{2} + \sqrt{3} - 1)(4 - 2\sqrt{6})}{8}. \] Ответ: \(\dfrac{(\sqrt{3} + \sqrt{2} - 1)(2\sqrt{6} - 4)}{8}\).
5. Из двух городов \(A\) и \(B\)... Найдите расстояние между городами. Решение: Обозначим скорость первого автомобиля как \(v\) км/ч, второго — \(v+10\) км/ч. По условиям: \[ S = 5(v + (v + 10)) = 5(2v + 10). \] Во втором случае составим уравнение: \[ v(t + 4.5) + (v + 10)t = S, \quad (v + 10)t = 150. \] Подставим \(S = 10v + 50\) из первого условия: \[ vt + 4.5v + 150 = 10v + 50 \Rightarrow v(t + 4.5) = 10v + 50 - 150. \] Решая систему, получаем \(v = 40\) км/ч, \(S = 450\) км. Ответ: 450 км.
6. Сумма квадратов корней уравнения \(x^2 + px + 1 = 0\) равна 254. Решение: По теореме Виета: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = p^2 - 2 = 254 \Rightarrow p = \pm 16. \] Ответ: \(p = \pm 16\).
7. Докажите, что система уравнений \[ \begin{cases} y = x^2 + 5,\\ y + x^2 = -2 \end{cases} \] не имеет решений. Решение: Подставим \(y\) из первого уравнения во второе: \[ x^2 + 5 + x^2 = -2 \Rightarrow 2x^2 = -7 \Rightarrow \text{нет решений}. \] Ответ: система несовместна.
8. Положив в банк 2000 рублей... Какой процент банк начислял ежегодно? Решение: По формуле сложных процентов: \[ 2000 \cdot (1 + r)^2 = 2420 \Rightarrow (1 + r)^2 = 1.21 \Rightarrow r = 0.1. \] Ответ: $10\%$.
9. Найдите все натуральные числа, удовлетворяющие неравенству: \[ (x-1)(x+1) - (x^2 - 3x) \le 14. \] Решение: Раскроем скобки: \[ x^2 - 1 - x^2 + 3x \le 14 \Rightarrow 3x \le 15 \Rightarrow x \le 5. \] Ответ: \(1, 2, 3, 4, 5\).
10. Представьте многочлен \(x^8 + x^4 + 1\) в виде произведения четырёх многочленов. Решение: Воспользуемся разложением суммы кубов: \[ x^8 + x^4 + 1 = (x^4 + x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1) = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)(x^4 - x^2 + 1). \] Последний множитель разложим далее: \[ x^4 - x^2 + 1 = (x^2 + x\sqrt{3} + 1)(x^2 - x\sqrt{3} + 1). \] Ответ: \((x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)(x^2 + x\sqrt{3} + 1)(x^2 - x\sqrt{3} + 1)\).