Школа №2007 ФМШ из 8 в 9 класс 2018 год
Печать
youit.school ©
ШКОЛА № 2007
2018 год
Мордкович письменный
- Упростите выражение:
\[
\Bigl(1 - \frac{2b}{a + 2b}\Bigr)
\;\cdot\;
\Bigl(\frac{2b - a}{a + 2b}\Bigr)
\;\cdot\;
\Bigl(1 + \frac{a}{a - 2b}\Bigr).
\]
- Решите систему уравнений:
\[
\begin{cases}
x + 3y^2 = 7,\\
2x + 5y^2 = 13.
\end{cases}
\]
- Упростите выражение:
\[
\frac{9\sqrt{8} - 6\sqrt{12} + 3\sqrt{20}}
{3\sqrt{18} - 2\sqrt{27} + \sqrt{45}}.
\]
- В прямоугольном треугольнике один катет меньше гипотенузы на 8 см, а другой — на 4 см. Найдите длину гипотенузы.
- Решите уравнение:
\[
\frac{40}{4 - x^2}
\;+\;
\frac{7 - 2x}{x + 2}
\;=\;
\frac{x + 3}{2 - x}.
\]
- Пешеход прошел расстояние \(AB\) за 3 часа. Возвращаясь, он первые 16 км шел с той же скоростью, а затем снизил скорость на 1 км/ч, вследствие чего затратил на обратный путь на 4 минуты больше, чем на путь из \(A\) в \(B\). Чему равно расстояние \(AB\)?
- Решите неравенство:
\[
\frac{3x + 2}{5} - x \;>\; 3 - \frac{1 + 4x}{10}.
\]
- Решите систему уравнений:
\[
\begin{cases}
x + y = 6,\\
\frac{x}{y} = 5.
\end{cases}
\]
- Имелись два разных сплава меди. Процент содержания меди в первом сплаве был на 40% меньше, чем во втором. После того как их сплавили вместе, получили сплав, содержащий 36% меди. Определите процентное содержание меди в обоих сплавах, если известно, что в первом её 6 кг, а во втором — вдвое больше.
- Сколько существует натуральных чисел, меньших 2017, не кратных 3 и не кратных 7?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Упростите выражение:
\[
\Bigl(1 - \frac{2b}{a + 2b}\Bigr)
\;\cdot\;
\Bigl(\frac{2b - a}{a + 2b}\Bigr)
\;\cdot\;
\Bigl(1 + \frac{a}{a - 2b}\Bigr).
\]
Решение:
Упростим каждую часть выражения: \[ 1 - \frac{2b}{a + 2b} = \frac{a}{a + 2b}, \] \[ \frac{2b - a}{a + 2b} = -\frac{a - 2b}{a + 2b}, \] \[ 1 + \frac{a}{a - 2b} = \frac{2(a - b)}{a - 2b}. \] Перемножим упрощённые части: \[ \frac{a}{a + 2b} \cdot -\frac{a - 2b}{a + 2b} \cdot \frac{2(a - b)}{a - 2b} = -\frac{2a(a - b)}{(a + 2b)^2}. \] Ответ: \(-\dfrac{2a(a - b)}{(a + 2b)^2}\).
- Решите систему уравнений:
\[
\begin{cases}
x + 3y^2 = 7,\\
2x + 5y^2 = 13.
\end{cases}
\]
Решение:
Выразим \(x\) из первого уравнения: $\quad$ \(x = 7 - 3y^2\).
Подставим во второе: \[ 2(7 - 3y^2) + 5y^2 = 13 \Rightarrow 14 - y^2 = 13 \Rightarrow y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm1. \] Тогда \(x = 7 - 3(\pm1)^2 = 4\).
Ответ: \((4; 1)\), \((4; -1)\).
- Упростите выражение:
\[
\frac{9\sqrt{8} - 6\sqrt{12} + 3\sqrt{20}}{3\sqrt{18} - 2\sqrt{27} + \sqrt{45}}.
\]
Решение:
Упростим корни: \[ 9\sqrt{8} = 18\sqrt{2},\quad 6\sqrt{12} = 12\sqrt{3},\quad 3\sqrt{20} = 6\sqrt{5}, \] \[ 3\sqrt{18} = 9\sqrt{2},\quad 2\sqrt{27} = 6\sqrt{3},\quad \sqrt{45} = 3\sqrt{5}. \] Подставим и сократим: \[ \frac{18\sqrt{2} - 12\sqrt{3} + 6\sqrt{5}}{9\sqrt{2} - 6\sqrt{3} + 3\sqrt{5}} = \frac{2(9\sqrt{2} - 6\sqrt{3} + 3\sqrt{5})}{9\sqrt{2} - 6\sqrt{3} + 3\sqrt{5}} = 2. \] Ответ: \(2\).
- В прямоугольном треугольнике один катет меньше гипотенузы на 8 см, а другой — на 4 см. Найдите длину гипотенузы.
Решение:
Пусть гипотенуза \(c\), тогда катеты \(c - 8\) и \(c - 4\). По теореме Пифагора: \[ (c - 8)^2 + (c - 4)^2 = c^2 \Rightarrow c^2 - 24c + 80 = 0. \] \[ D = 256 \Rightarrow c = \frac{24 \pm 16}{2} \Rightarrow c = 20 \text{ см.} \] Ответ: \(20\) см.
- Решите уравнение:
\[
\frac{40}{4 - x^2} + \frac{7 - 2x}{x + 2} = \frac{x + 3}{2 - x}.
\]
Решение:
Приведём к общему знаменателю \(-(x - 2)(x + 2)\): \[ -40 + (7 - 2x)(-x + 2) = (x + 3)(x + 2). \] Раскроем скобки и решим квадратное уравнение: \[ x^2 - 16x - 32 = 0 \Rightarrow x = 8 \pm 4\sqrt{6}. \] Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: \(8 \pm 4\sqrt{6}\).
- Пешеход прошел расстояние \(AB\) за 3 часа. Возвращаясь, он первые 16 км шел с той же скоростью, а затем снизил скорость на 1 км/ч, вследствие чего затратил на обратный путь на 4 минуты больше, чем на путь из \(A\) в \(B\). Чему равно расстояние \(AB\)?
Решение:
Пусть расстояние \(AB = S\) км, скорость \(v = \frac{S}{3}\) км/ч.
Время обратного пути: \[ \frac{16}{v} + \frac{S - 16}{v - 1} = \frac{46}{15}. \] После преобразований получим квадратное уравнение: \[ S^2 - 138S + 2160 = 0 \Rightarrow S = 18 \text{ или } S = 120 \text{ км}. \] Ответ: \(18\) км или \(120\) км.
- Решите неравенство:
\[
\frac{3x + 2}{5} - x > 3 - \frac{1 + 4x}{10}.
\]
Решение:
Приведём к общему знаменателю \(10\): \[ \frac{-4x + 4}{5} > \frac{29 - 4x}{10}. \] Умножив обе части на \(10\): \[ -8x + 8 > 29 - 4x \Rightarrow -4x > 21 \Rightarrow x < -\frac{21}{4}. \] Ответ: \(x \in (-\infty; -\frac{21}{4})\).
- Решите систему уравнений:
\[
\begin{cases}
x + y = 6,\\
\frac{x}{y} = 5.
\end{cases}
\]
Решение:
Из второго уравнения \(x = 5y\). Подставим в первое: \[ 5y + y = 6 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow x = 5. \] Ответ: \((5; 1)\).
- Определите процентное содержание меди в сплавах, если известно, что в первом её 6 кг, а во втором — вдвое больше, и их сплав содержит 36% меди.
Решение:
Пусть содержание во втором сплаве \(p\%\), тогда в первом \(0,6p\%\). Массы сплавов: \[ \frac{6}{0,006p} \text{ кг и } \frac{12}{0,01p} \text{ кг}. \] Уравнение: \[ \frac{6 + 12}{\frac{1000}{p} + \frac{1200}{p}} = 0,36 \Rightarrow p = 44% \Rightarrow 0,6p = 26,4\%. \] Ответ: \(26,4\%\) и \(44\%\).
- Сколько существует натуральных чисел, меньших 2017, не кратных 3 и не кратных 7?
Решение:
Используем формулу включения-выключения: \[ 2016 - \left(\left\lfloor \frac{2016}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{2016}{7} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{2016}{21} \right\rfloor \right) = 2016 - 672 - 288 + 96 = 1152. \] Ответ: \(1152\).
Материалы школы Юайти