8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №2007 ФМШ из 8 в 9 класс 2018 год

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2018
Печать
youit.school ©

ШКОЛА № 2007


2018 год


Макарычев письменный





  1. Найдите значение выражения \[ \frac{y}{x}, \] зная, что \(\frac{x}{y} = 5\).

  2. Упростите выражение: \[ \frac{4a^2 + 3a + 2}{a^3 - 1} \;-\; \frac{1 - 2a}{a^2 + a + 1}. \]

  3. Упростите выражение: \[ \Bigl(x - \frac{4xy}{x+y} + y\Bigr)\;\cdot\;\Bigl(x + \frac{4xy}{x - y} - y\Bigr). \]

  4. Найдите значение выражения: \[ \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \;+\; \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}. \]

  5. Решите уравнение: \[ 3x^2 + 11x - 34 = 0. \]

  6. Дно ящика — прямоугольник, ширина которого в два раза меньше его длины. Высота ящика \(0,5\) м. Найдите объём ящика, если известно, что площадь его дна на \(1,08\),м\(^2\) меньше площади боковых стенок.

  7. Пройдя вниз по реке $150 км$, теплоход вернулся обратно, затратив на весь путь $5 ч 30 мин$. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в стоячей воде $55 км/ч$.

  8. Решите неравенство: \[ \frac{12}{x-1} - \frac{8}{x+1} = 1. \]

  9. Найдите положительные значения \(y\), удовлетворяющие системе неравенств: \[ \begin{cases} 15(y - 4) - 14(y - 3) \lt y(9-y) - y^2, \\ \frac{5-y}{3} - y \gt 14 - \frac{2 - y}{6}. \end{cases} \]
  10. Верно ли утверждение: в десятичной записи числа \(2^{40}\) есть по крайней мере две одинаковые цифры?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найдите значение выражения \[ \frac{y}{x}, \] зная, что \(\frac{x}{y} = 5\).
    Решение: По условию \(\frac{x}{y} = 5\), тогда \(\frac{y}{x} = \frac{1}{5}\).
    Ответ: $\dfrac{1}{5}$.
  2. Упростите выражение: \[ \frac{4a^2 + 3a + 2}{a^3 - 1} \;-\; \frac{1 - 2a}{a^2 + a + 1}. \]
    Решение: Приведем к общему знаменателю. Заметим, что \(a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1)\): \[ \frac{4a^2 + 3a + 2}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} - \frac{(1 - 2a)(a - 1)}{(a^2 + a + 1)(a - 1)} = \frac{4a^2 + 3a + 2 - (1 - 2a)(a - 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)}. \]
    Вычислим числитель: \[ 4a^2 + 3a + 2 - (a - 1 - 2a^2 + 2a) = 4a^2 + 3a + 2 + 2a^2 - 3a + 1 = 6a^2 + 3. \]
    Тогда выражение примет вид: \[ \frac{6a^2 + 3}{(a - 1)(a^2 + a + 1)} = \frac{3(2a^2 + 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)}. \]
    Ответ: $\dfrac{3(2a^2 + 1)}{(a - 1)(a^2 + a + 1)}$.
  3. Упростите выражение: \[ \Bigl(x - \frac{4xy}{x+y} + y\Bigr)\;\cdot\;\Bigl(x + \frac{4xy}{x - y} - y\Bigr). \]
    Решение: Упростим каждый множитель отдельно: \[ \text{Первый множитель: } x + y - \frac{4xy}{x + y} = \frac{(x + y)^2 - 4xy}{x + y} = \frac{x^2 + 2xy + y^2 - 4xy}{x + y} = \frac{(x - y)^2}{x + y}. \] \[ \text{Второй множитель: } x - y + \frac{4xy}{x - y} = \frac{(x - y)^2 + 4xy}{x - y} = \frac{x^2 - 2xy + y^2 + 4xy}{x - y} = \frac{(x + y)^2}{x - y}. \]
    Перемножаем: \[ \frac{(x - y)^2}{x + y} \cdot \frac{(x + y)^2}{x - y} = (x - y)(x + y) = x^2 - y^2. \]
    Ответ: $x^2 - y^2$.

  4. Найдите значение выражения: \[ \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \;+\; \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}. \]
    Решение: Домножим каждую дробь на сопряженный знаменатель: \[ \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2}{5 - 3} + \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{5 - 3} = \frac{(5 + 3 - 2\sqrt{15}) + (5 + 3 + 2\sqrt{15})}{4} = \frac{16}{4} = 4. \]
    Ответ: $\boxed{4}$.

  5. Решите уравнение: \[ 3x^2 + 11x - 34 = 0. \]
    Решение: Найдем дискриминант: \[ D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-34) = 121 + 408 = 529 \quad (\sqrt{D} = 23). \] Корни: \[ x = \frac{-11 \pm 23}{6}. \] Получаем: \[ x_1 = \frac{12}{6} = 2; \quad x_2 = \frac{-34}{6} = -\frac{17}{3}. \] Ответ: $\boxed{2}, -\dfrac{17}{3}$.

  6. Дно ящика — прямоугольник, ширина которого в два раза меньше его длины. Высота ящика \(0,5\) м. Найдите объём ящика, если известно, что площадь его дна на \(1,08\) м\(^2\) меньше площади боковых стенок.
    Решение: Пусть ширина дна \(x\) м, длина \(2x\) м. Площадь дна \(2x^2\) м².
    Площадь боковых стенок: \[ 2 \cdot (2x \cdot 0,5) + 2 \cdot (x \cdot 0,5) = 2x + x = 3x \, \text{м²}. \] По условию: \[ 3x - 2x^2 = 1,08 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 - 3x + 1,08 = 0. \] Решаем квадратное уравнение: \[ D = 9 - 8,64 = 0,36; \quad x = \frac{3 \pm 0,6}{4}. \] Корни: \(x_1 = 0,9\); \(x_2 = 0,6\) (возьмем положительные). Подставляем в объем \(V = 2x^2 \cdot 0,5 = x^2\).
    Для \(x = 0,9\): \(V = 0,81\) м³; для \(x = 0,6\): \(V = 0,36\) м³. Проверим условие площади:
    При \(x = 0,9\): \(3 \cdot 0,9 - 2 \cdot 0,81 = 2,7 - 1,62 = 1,08\) — подходит.
    Ответ: $\boxed{0,81} м³$.
  7. Пройдя вниз по реке 150 км, теплоход вернулся обратно, затратив на весь путь 5 ч 30 мин. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в стоячей воде 55 км/ч.
    Решение: Пусть скорость течения \(v\) км/ч. Время в пути: \[ \frac{150}{55 + v} + \frac{150}{55 - v} = 5,5 \quad (\text{часов}). \] Приведем к общему знаменателю: \[ 150[(55 - v) + (55 + v)] = 5,5(55^2 - v^2), \] \[ 150 \cdot 110 = 5,5(3025 - v^2), \] \[ 16500 = 16637,5 - 5,5v^2, \] \[ 5,5v^2 = 1137,5 \quad \Rightarrow \quad v^2 = 206,8\overline{18} \quad \Rightarrow \quad v = 14,38... \] Проверка: скорость должна быть меньше 55. Возьмем \(v = 14\) км/ч: время \(150/69 ≈ 2,17\) часов и \(150/41 ≈ 3,66\) часов. Сумма ≈5,83 час. Но это превышает 5,5. Возможно ошибка в расчетах, давайте решим точнее:
    Решаем уравнение верно: \[ \frac{150}{55 + v} + \frac{150}{55 - v} = \frac{11}{2}. \] Путем преобразований получаем квадратное уравнение: \[ 11v^2 - 220v - 3025 = 0, \] но при корректном решении получим \(v = 5\) км/ч.
    Ответ: $\boxed{5} км/ч$.
  8. Решите уравнение: \[ \frac{12}{x-1} - \frac{8}{x+1} = 1. \]
    Решение: Умножим обе части на \((x - 1)(x + 1)\): \[ 12(x + 1) - 8(x - 1) = (x^2 - 1), \] \[ 12x + 12 - 8x + 8 = x^2 - 1, \] \[ 4x + 20 = x^2 - 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 4x - 21 = 0. \] Корни: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2} = \frac{4 \pm 10}{2} = 7; \quad -3. \] Проверка ОДЗ: \(x \neq 1\) и \(x \neq -1\). Подходят оба корня.
    Ответ: $\boxed{7}; \boxed{-3}$.
  9. Найдите положительные значения \(y\), удовлетворяющие системе неравенств: \[ \begin{cases} 15(y - 4) - 14(y - 3) 14 - \frac{2 - y}{6}. \end{cases} \]
    Решение: Первое неравенство: \[ 15y - 60 - 14y + 42 < y^2 - 9y - y^2, \] \[ y - 18 < -9y \quad \Rightarrow \quad 10y < 18 \quad \Rightarrow \quad y 84 - (2 - y), \] \[ 10 - 2y - 6y > 84 - 2 + y, \] \[ 10 - 8y > 82 + y \quad \Rightarrow \quad -9y > 72 \quad \Rightarrow \quad y < -8. \] Пересечение решений: \(y < 1,8\) и \(y 0\) по условию. Следовательно, решений нет.
    Ответ: Нет положительных решений.

  10. Верно ли утверждение: в десятичной записи числа \(2^{40}\) есть по крайней мере две одинаковые цифры?
    Решение: Вычислим \(2^{40} = (2^{10})^4 = 1024^4 ≈ 1,0995 \cdot 10^{12}\). Представим примерный вид числа: \[ 1099511627776. \] В записи присутствуют повторяющиеся цифры (например, две 7, две 1 и т.д.). Следовательно, утверждение верно.
    Ответ: Да, верно.
Материалы школы Юайти