Школа №2007 ФМШ из 7 в 8 класс 2025 год
Печать
youit.school ©
ШКОЛА № 2007
2025 год
Мордкович
- Выясните, имеет ли выражение смысл и если да, то упростите:
\[
\frac{18{,}6 \cdot 0{,}24 + 3\tfrac{2}{9}\cdot \tfrac{15}{38}}
{7 : 7\tfrac{1}{2} -\Bigl(5\tfrac{1}{15}\cdot3 - 12\tfrac{19}{30}\Bigr)} : 2{,}75.
\]
- Решите уравнение:
\[
\frac{3x - 5}{7} + \frac{2x + 1}{14} = \frac{2x - 3}{2}.
\]
- Найдите точку пересечения графиков линейных функций:
\[
y = -2x + 4
\quad\text{и}\quad
y = 3x - 4.
\]
- Вычислите наиболее рациональным способом:
\[
\frac{4^2 \cdot (-12)^3 \cdot 9}{32 \cdot (-3)^4}.
\]
- Решите систему уравнений:
\[
\begin{cases}
\tfrac{1}{5}x + \tfrac{1}{4}y = -1,\\[6pt]
2x - 3y = -54.
\end{cases}
\]
- Упростите выражение:
\[
(3b + 2)^2 + (7 + 3b)(7 - 3b) - 12b.
\]
- Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля $5\%$ и $40\%$.
Сколько нужно взять стали каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с $30\%$-ным содержанием никеля?
- Разложите на множители многочлен:
\[
ab - a^2b^2 + a^3b^3 - c + abc - ca^2b^2.
\]
- Постройте график функции:
\[
y = \frac{x^2 - 16}{4 - x}.
\]
- От пристани A вниз по течению реки отошла лодка, собственная скорость которой равна $12 км/ч$, а через 1 ч вверх по течению отправился катер, собственная скорость которого $18 км/ч$. Найдите скорость течения реки, если через 3 ч после выхода лодки расстояние между лодкой и катером составляло 75 км.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Выясните, имеет ли выражение смысл и если да, то упростите:
\[
\frac{18{,}6 \cdot 0{,}24 + 3\tfrac{2}{9}\cdot \tfrac{15}{38}}
{7 : 7\tfrac{1}{2} -\Bigl(5\tfrac{1}{15}\cdot3 - 12\tfrac{19}{30}\Bigr)} : 2{,}75
\]
Решение:
Числитель:
$18{,}6 \cdot 0{,}24 = 4{,}464$
$3\tfrac{2}{9} = \frac{29}{9}$; $\frac{29}{9} \cdot \frac{15}{38} = \frac{435}{342} = \frac{145}{114} \approx 1{,}2719$
Сумма числителя: $\approx$ $4{,}464 + 1{,}2719 = 5{,}7359$ Знаменатель:
$7 : 7\tfrac{1}{2} = 7 \cdot \frac{15}{2} = \frac{14}{15}$
$5\tfrac{1}{15} \cdot 3 = \frac{226}{15} \cdot 3 = \frac{226}{5} = 45{,}2$
$45{,}2 - 12\tfrac{19}{30} = 45{,}2 - 12{,}6333 = 32{,}5667$
Знаменатель: $\frac{14}{15} - 32{,}5667 \approx -32{,}4333$
При делении получим $\frac{5{,}7359}{-32{,}4333} : 2{,}75 \approx -0{,}177 : 2{,}75 \approx -0{,}0643$
Ответ: Выражение имеет смысл, $-\frac{19}{306} \approx -0{,}0643$. - Решите уравнение:
\[
\frac{3x - 5}{7} + \frac{2x + 1}{14} = \frac{2x - 3}{2}
\]
Решение:
Умножаем все части на 14:
$2(3x - 5) + (2x + 1) = 7(2x - 3)$
$6x - 10 + 2x + 1 = 14x - 21$
$8x - 9 = 14x - 21$
$-6x = -12 \Rightarrow x = 2$
Ответ: 2. - Найдите точку пересечения графиков:
\[
y = -2x + 4 \quad\text{и}\quad y = 3x - 4
\]
Решение:
Приравняем функции:
$-2x + 4 = 3x - 4$
$-5x = -8 \Rightarrow x = 1{,}6$
$y = -2\cdot1{,}6 + 4 = 0{,}8$
Ответ: $(1{,}6; 0{,}8)$. - Вычислите рациональным способом:
\[
\frac{4^2 \cdot (-12)^3 \cdot 9}{32 \cdot (-3)^4}
\]
Решение:
Преобразуем степени:
$4^2 = 2^4$, $-12^3 = -2^6\cdot3^3$, $9 = 3^2$, $32 = 2^5$, $-3^4 = 3^4$
$\frac{2^4 \cdot (-2^6\cdot3^3) \cdot 3^2}{2^5 \cdot 3^4} = \frac{-2^{10} \cdot 3^5}{2^5 \cdot 3^4} = -2^5 \cdot 3 = -32\cdot3 = -96$
Ответ: -96. - Решите систему уравнений:
\[
\begin{cases}
\tfrac{1}{5}x + \tfrac{1}{4}y = -1\\
2x - 3y = -54
\end{cases}
\]
Решение:
Умножим первое уравнение на 20:
$4x + 5y = -20$
Из второго уравнения: $2x = 3y - 54 \Rightarrow x = \tfrac{3y - 54}{2}$
Подставляем в первое:
$4\cdot\tfrac{3y - 54}{2} + 5y = -20$
$6y - 108 + 5y = -20 \Rightarrow 11y = 88 \Rightarrow y = 8$
$x = \tfrac{24 - 54}{2} = -15$
Ответ: (-15; 8). - Упростите выражение:
\[
(3b + 2)^2 + (7 + 3b)(7 - 3b) - 12b
\]
Решение:
Раскроем слагаемые:
$(9b^2 + 12b + 4) + (49 - 9b^2) - 12b = 53$
Ответ: 53. - Задача на смеси:
Пусть нужно взять $x$ т стали $5\%$, тогда (140 - x) т стали $40\%$:
$0{,}05x + 0{,}4(140 - x) = 0{,}3 \cdot 140$
$0{,}05x + 56 - 0{,}4x = 42 \Rightarrow -0{,}35x = -14 \Rightarrow x = 40$
Ответ: 40 т стали 5% и 100 т стали $40\%$. - Разложите на множители:
\[
ab - a^2b^2 + a^3b^3 - c + abc - ca^2b^2
\]
Решение:
Группируем слагаемые:
$ab(1 - ab + a^2b^2) - c(1 - ab + a^2b^2) = (ab - c)(1 - ab + a^2b^2)$
Ответ: $(ab - c)(a^2b^2 - ab + 1)$. - Постройте график:
\[
y = \frac{x^2 - 16}{4 - x}
\]
Решение:
Упростим выражение:
$\frac{(x-4)(x+4)}{-(x-4)} = -x -4$, где $x \neq 4$
Ответ: График прямой $y = -x -4$ с выколотой точкой при (4, -8). - Задача на движение:
Пусть скорость течения $v$ км/ч.
Расстояние лодки: $(12 + v) \cdot 3$ км
Расстояние катера: $(18 - v) \cdot 2$ км
Всего расстояние: $3(12+v) + 2(18-v) = 75$
$36 + 3v + 36 - 2v = 75 \Rightarrow v + 72 = 75 \Rightarrow v = 3$
Ответ: 3 км/ч.
Материалы школы Юайти