Школа №2007 ФМШ из 7 в 8 класс 2025 год

ШКОЛА № 2007

2025 год

Макарычев

1. Найдите значение выражения: \[ 2\tfrac{2}{3} : 1\tfrac{7}{9} + \tfrac{55}{84} : \bigl(\tfrac{43}{63} - \tfrac{23}{36}\bigr). \]
   
   
2. Решите уравнение, сделайте проверку: \[ \frac{5x - 4}{2} - \frac{2x + 1}{3} = -\frac{x - 29}{5}. \]
   
   
3. При каком значении \(k\) пара чисел \((-2; 5)\) является решением уравнения \(2x - ky = 1\)?
   
   
4. Вычислите наиболее рациональным способом: \[ \frac{4^2 \cdot (-12)^3 \cdot 9}{32 \cdot (-3)^4}. \]
   
   
5. Упростите выражение: \[ (3b + 2)^2 + (7 + 3b)(7 - 3b) - 12b. \]
   
   
6. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} \dfrac{x}{4} - \dfrac{y}{3} = 2,\\[6pt] 3x - 2y = 6. \end{cases} \]
   
   
7. Имеются два слитка, содержащие медь. Масса второго слитка на $3\,кг$ больше, чем масса первого слитка. Содержание меди в первом слитке — $10\%$, а во втором — $40\%$. Эти слитки сплавили, и из них получился слиток, содержание меди в котором $30\%$. Определите массу полученного слитка.
   
   
8. Разложите на множители многочлен: \[ b^3y^2 - cb^3 + by^2 + y^2 - bc - c. \]
   
   
9. Постройте график уравнения: \[ (x - 4)(y - 1) = 0. \]
   
   
10. Из пунктов A и B, расстояние между которыми 290 км, выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля, скорость одного из которых на $5\,км/ч$ больше скорости другого. Через 2 ч автомобили оказались на расстоянии $20\,км$ друг от друга. С какой скоростью ехал каждый автомобиль?

Решения задач

1. Найдите значение выражения: \[ 2\tfrac{2}{3} : 1\tfrac{7}{9} + \tfrac{55}{84} : \bigl(\tfrac{43}{63} - \tfrac{23}{36}\bigr) \] Решение: \[ 2\tfrac{2}{3} = \frac{8}{3},\quad 1\tfrac{7}{9} = \frac{16}{9} \] Первое слагаемое: \[ \frac{8}{3} : \frac{16}{9} = \frac{8}{3} \cdot \frac{9}{16} = \frac{3}{2} = 1\tfrac{1}{2} \] Второе слагаемое (суперпозиция дробей): \[ \frac{43}{63} - \tfrac{23}{36} = \frac{172 - 161}{252} = \frac{11}{252} \] Деление: \[ \frac{55}{84} : \frac{11}{252} = \frac{55}{84} \cdot \frac{252}{11} = \frac{55 \cdot 3}{11} = 15 \] Итог: \[ 1\tfrac{1}{2} + 15 = 16\tfrac{1}{2} = 16.5 \] Ответ: 16,5.
   
   
2. Решите уравнение: \[ \frac{5x - 4}{2} - \frac{2x + 1}{3} = -\frac{x - 29}{5} \] Решение: Умножим обе части на 30 (общий знаменатель): \[ 15(5x - 4) - 10(2x + 1) = -6(x - 29) \] Раскроем скобки: \[ 75x - 60 - 20x - 10 = -6x + 174 \] Упростим: \[ 55x - 70 = -6x + 174 \Rightarrow 61x = 244 \Rightarrow x = 4 \] Проверка: Левая часть: \[ \frac{20 - 4}{2} - \frac{8 + 1}{3} = 8 - 3 = 5 \] Правая часть: \[ -\frac{4 - 29}{5} = 5 \] Ответ: 4.
   
   
3. При каком значении \(k\) пара \((-2; 5)\) удовлетворяет уравнению \(2x - ky = 1\)? $\newline$ Решение: Подставим \(x = -2\), \(y = 5\): \[ 2(-2) - k \cdot 5 = 1 \Rightarrow -4 - 5k = 1 \Rightarrow -5k = 5 \Rightarrow k = -1 \] Ответ: \(-1.\)
   
   
4. Вычислите рационально: \[ \frac{4^2 \cdot (-12)^3 \cdot 9}{32 \cdot (-3)^4} \] Решение: Представим числа как степени простых множителей: \[ 4^2 = 2^4,\quad (-12)^3 = (-1)^3 \cdot 2^6 \cdot 3^3,\quad 32 = 2^5,\quad (-3)^4 = 3^4 \] Сократим множители: \[ \frac{2^4 \cdot (-1)^3 \cdot 2^6 \cdot 3^3 \cdot 3^2}{2^5 \cdot 3^4} = \frac{(-1) \cdot 2^{10} \cdot 3^5}{2^5 \cdot 3^4} = -2^5 \cdot 3 = -96 \] Ответ: \(-96.\)
   
   
5. Упростить выражение: \[ (3b + 2)^2 + (7 + 3b)(7 - 3b) - 12b \] Решение: Раскроем квадраты: \[ 9b^2 + 12b + 4 + (49 - 9b^2) - 12b = 9b^2 +12b +4 +49 -9b^2 -12b = 53 \] Ответ: 53.
   
   
6. Решите систему: \[ \begin{cases} \dfrac{x}{4} - \dfrac{y}{3} = 2,\\[6pt] 3x - 2y = 6. \end{cases} \] Решение: Умножим первое уравнение на 12: \[ 3x - 4y = 24 \] Вычтем из первого уравнения второе: \[ (3x - 4y) - (3x - 2y) = 24 - 6 \Rightarrow -2y = 18 \Rightarrow y = -9 \] Подставим \(y = -9\) во второе уравнение: \[ 3x - 2(-9) = 6 \Rightarrow 3x = -12 \Rightarrow x = -4 \] Ответ: \((-4; -9).\)
   
   
7. Масса второго слитка на 3 кг больше. Пусть масса первого \(x\) кг: $$\begin{aligned} 0.1x + 0.4(x + 3) &= 0.3(x + x + 3) \\ 0.5x + 1.2 &= 0.6x + 0.9 \\ -0.1x &= -0.3 \Rightarrow x = 3 \text{ кг (первый слиток)} \end{aligned}$$ Общая масса \(3 + 6 = 9\) кг. Ответ: 9 кг.
8. Разложите многочлен: \[ b^3y^2 - cb^3 + by^2 + y^2 - bc - c \] Решение: Группировка по терминам с \(b^3\), \(y^2\) и общим множителям: \[ b^3(y^2 - c) + y^2(b + 1) - c(b + 1) = (b^3 + 1)(y^2 - c) + c(y^2 - 1) \] Перепишем правильно: \[ (y^2 - c)(b^3 + b + 1) \] Ответ зависит от перегруппировки Ответ: \((y^2 - c)(b^3 + b + 1)\).
9. График уравнения \((x - 4)(y - 1) = 0\): $\newline$ Решение: Произведение равно нулю, если \(x = 4\) или \(y = 1\). График состоит из двух прямых: вертикальной \(x = 4\) и горизонтальной \(y = 1\). Ответ: Объединение прямых x=4 и y=1.
   
   
10. Пусть \(v\) км/ч — скорость первого автомобиля, тогда второго — \(v + 5\): \[ 2v + 2(v + 5) = 290 - 20 \Rightarrow 4v + 10 = 270 \Rightarrow \begin{cases} v = 65 \text{ км/ч} \\ v + 5 = 70 \text{ км/ч} \end{cases} \] Проверка: \[ 130 + 140 = 270 \Rightarrow 270 + 20 = 290 \text{ км} \] Ответ: 65 км/ч и 70 км/ч.