Школа №2007 ФМШ из 10 в 11 класс 2025 год

ШКОЛА № 2007

2025 год

С производными

1. Решите уравнение: \[ 2x^4 - 9x^3 + 37x - 30 = 0. \]
2. Найдите \[ \frac{\cos\alpha\cos2\alpha\cos4\alpha\cos8\alpha}{\sin16\alpha}, \] если известно, что \(\sin\alpha = \tfrac12\).
   
   
3. Решите неравенство: \[ \frac{3}{x^2 - 30x + 216} \ge \frac{1}{x^2 - 34x + 288}. \]
   
   
4. Решите уравнение: \[ 7\cot^2 x - \frac{1}{\sin x} + 1 = 0 \] и укажите корни, принадлежащие отрезку \(\bigl[-\tfrac{5\pi}{2},\,-\pi\bigr]\).
   
   
5. Решите неравенство: \[ 2\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}-3x\bigr) < \sqrt{3}. \]
   
   
6. Вычислите значение производной функции \[ f(x) = (x-3)\,\sin(\pi x) \] в точке \(x = 1\).
   
   
7. Запишите уравнение касательной к графику функции \[ y = \cos^2(2x) \] в точке \(x = \tfrac{\pi}{8}\).
   
   
8. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \[ f(x) = x^2\sqrt{3 - x} \] на отрезке \(x\in[1,2]\).
   
   
9. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы и постройте её график: \[ f(x) = \frac{4x^2 + 1}{x}. \]
   
   
10. Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадёт ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадёт ровно 4 орла»?
    
    

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ 2x^4 - 9x^3 + 37x - 30 = 0. \]
   Решение: Перебираем возможные корни, используя теорему о рациональных корнях. Подходит \(x = 1\). Делим многочлен на \((x - 1)\), получаем: \[ (x - 1)(2x^3 - 7x^2 - 7x + 30) = 0. \] Проверяем корнь \(x = 3\). Делим кубический многочлен на \((x - 3)\): \[ (x - 3)(2x^2 - x - 10) = 0. \] Решаем квадратное уравнение: \[ 2x^2 - x - 10 = 0 \Rightarrow x = -2 \text{ или } x = \frac{5}{2}. \] Ответ: \(x = -2,\, 1,\, 3,\, \frac{5}{2}\).
   
   
2. Найдите \[ \frac{\cos\alpha\cos2\alpha\cos4\alpha\cos8\alpha}{\sin16\alpha}, \] если известно, что \(\sin\alpha = \tfrac12\).
   Решение: Используем формулу \(\cos\alpha = \frac{\sin2\alpha}{2\sin\alpha}\). Последовательно применяя её к каждому множителю: \[ \cos\alpha\cos2α\cos4α\cos8α = \frac{\sin16α}{16\sinα}. \] Подставляем в исходное выражение: \[ \frac{\frac{\sin16α}{16\sinα}}{\sin16α} = \frac{1}{16\sinα}. \] При \(\sinα = \frac{1}{2}\) получаем ответ: \(\frac{1}{8}\). Ответ: \(\frac{1}{8}\).
   
   
3. Решите неравенство: \[ \frac{3}{x^2 - 30x + 216} \ge \frac{1}{x^2 - 34x + 288}. \]
   Решение: Разложим знаменатели на множители: \[ x² - 30x + 216 = (x - 12)(x - 18), \quad x² - 34x + 288 = (x - 16)(x - 18). \] Приводим к общему знаменателю и решаем неравенство: \[ \frac{3(x - 16) - (x - 12)}{(x - 12)(x - 18)(x - 16)} \ge 0 \Rightarrow \frac{2x - 36}{(x - 12)(x - 18)(x - 16)} \ge 0. \] Разбиваем на интервалы и находим решение: \(x \in (-\infty, 12) \cup [16, 18)\). Ответ: \(x \in (-\infty, 12) \cup [16, 18)\).
   
   
4. Решите уравнение: \[ 7\cot^2 x - \frac{1}{\sin x} + 1 = 0 \] и укажите корни, принадлежащие отрезку \(\bigl[-\tfrac{5\pi}{2},\,-\pi\bigr]\).
   Решение: Выразим через \(\sin x\) и преобразуем уравнение: \[ 7\cos^2x / \sin^2x - 1/\sin x + 1 = 0 \Rightarrow 6\sin^2x + \sin x - 7 = 0. \] Решаем квадратное уравнение: \[ \sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k. \] На отрезке \(\left[-\frac{5\pi}{2}, -\pi\right]\) подходит \(x = -\frac{3\pi}{2}\). Ответ: \(-\frac{3\pi}{2}\).
   
   
5. Решите неравенство: \[ 2\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}-3x\bigr) < \sqrt{3}. \]
   Решение: Делим обе части на 2: \[ \cos\left(\frac{\pi}{3} - 3x\right) < \frac{\sqrt{3}}{2}. \] Промежуток выполнения неравенства: \[ \frac{\pi}{6} + 2\pi k < \frac{\pi}{3} - 3x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi k. \] Решая относительно \(x\): \[ x \in \left(\frac{\pi}{18} - \frac{2\pi k}{3}, \frac{4\pi}{9} - \frac{2\pi k}{3}\right), \quad k \in \mathbb{Z}. \] Ответ: \(x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left(\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}, \frac{4\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}\right)\).
   
   
6. Вычислите значение производной функции \[ f(x) = (x-3)\,\sin(\pi x) \] в точке \(x = 1\).
   Решение: Производная по правилу произведения: \[ f'(x) = \sin(\pi x) + (x - 3)\pi\cos(\pi x). \] Подставляем \(x = 1\): \[ f'(1) = \sin\pi + (-2)\pi\cos\pi = 0 + (-2)\pi(-1) = 2\pi. \] Ответ: \(2\pi\).
   
   
7. Запишите уравнение касательной к графику функции \[ y = \cos^2(2x) \] в точке \(x = \tfrac{\pi}{8}\).
   Решение: Вычисляем \(y\) в точке: \[ y\left(\frac{\pi}{8}\right) = \cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}. \] Производная: \[ y' = -4\cos(2x)\sin(2x) = -2\sin(4x). \] При \(x = \frac{\pi}{8}\): \[ y' = -2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -2. \] Уравнение касательной: \[ y - \frac{1}{2} = -2\left(x - \frac{\pi}{8}\right). \] Ответ: \(y = -2x + \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\).
   
   
8. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции \[ f(x) = x^2\sqrt{3 - x} \] на отрезке \(x\in[1,2]\).
   Решение: Проверяем критические точки внутри отрезка и значения на концах: \[ f'(x) = \frac{12x - 5x^2}{2\sqrt{3 - x}} = 0 \Rightarrow x = \frac{12}{5} \text{ (вне отрезка)}. \] Вычисляем на концах: \[ f(1) = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}, \quad f(2) = 4 \cdot 1 = 4. \] Ответ: минимум \(\sqrt{2}\), максимум \(4\).
   
   
9. Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы и постройте её график: \[ f(x) = \frac{4x^2 + 1}{x}. \]
   Решение: Преобразуем функцию: \[ f(x) = 4x + \frac{1}{x}. \] Находим производную: \[ f'(x) = 4 - \frac{1}{x^2} \Rightarrow x = \pm\frac{1}{2}. \] Поведение производной:
   • \(x > \frac{1}{2}\): возрастает
   • \(0 < x < \frac{1}{2}\): убывает
   • \(-\frac{1}{2} < x < 0\): убывает
   • \(x < -\frac{1}{2}\): возрастает
   Экстремумы: минимум при \(x = \frac{1}{2}\), максимум при \(x = -\frac{1}{2}\).
   
   
10. Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадёт ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадёт ровно 4 орла»?
    Решение: Вероятности вычисляются по формуле Бернулли: \[ P(k) = C_{10}^k \left(\frac{1}{2}\right)^{10}. \] Вычисляем отношение: \[ \frac{P(5)}{P(4)} = \frac{C_{10}^5}{C_{10}^4} = \frac{252}{210} = \frac{6}{5}. \] Ответ: в \(\frac{6}{5}\) раза.