Школа №2007 ФМШ из 10 в 11 класс 2025 год
Печать
youit.school ©
ШКОЛА № 2007
2025 год
С логарифмами
- Решите уравнение:
\[
2x^4 - 9x^3 + 37x - 30 = 0.
\]
- Решите неравенство:
\[
\frac{1}{x - 2} + \frac{2}{x + 2} - \frac{6}{x - 3} \ge 0.
\]
- Упростите выражение:
\[
\frac{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b} - \sqrt[8]{ab}}{\sqrt[4]{a^3b} - b}
\;\Bigg/\;
\frac{\bigl(\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b}\bigr)^2 + \bigl(\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b}\bigr)^2}
{(\sqrt{a} - \sqrt{b})\,b^{-\tfrac14}}.
\]
- Найдите
\[
\frac{\cos\alpha\cos2\alpha\cos4\alpha\cos8\alpha}{\sin16\alpha},
\quad\text{если } \sin\alpha = \tfrac12.
\]
- Исследуйте функцию
\[
f(x) = \log_{2}(3 - 2x)
\]
и постройте её график.
- Упростите выражение:
\[
(\log_{a}b + \log_{b}a + 2)\,(\log_{a}b - \log_{ab}b)\,\log_{b}a - 1.
\]
- Решите неравенство:
\[
\log_{x^2 + x}\bigl(x^2 - 2x + 1\bigr) \le 1.
\]
- Решите уравнение:
\[
16^x - 17\cdot4^x + 16 = 0.
\]
- Решите уравнение:
\[
7\cot^2 x - \frac{1}{\sin x} + 1 = 0,
\]
укажите корни, принадлежащие отрезку \(\bigl[-\tfrac{5\pi}{2},\,-\pi\bigr]\).
- Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадёт ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадёт ровно 4 орла»?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Решите уравнение: \(2x^4 - 9x^3 + 37x - 30 = 0\).
Решение: Подберём рациональные корни. Проверяем \(x = 1\): \[2(1)^4 - 9(1)^3 + 37(1) - 30 = 2 - 9 + 37 - 30 = 0\] Значит, \(x = 1\) — корень. Поделим многочлен на \((x - 1)\): \[(2x^4 - 9x^3 + 0x^2 + 37x - 30) : (x - 1) = 2x^3 - 7x^2 - 7x + 30\] Проверяем \(x = 2\) в новом полиноме: \(2(8) - 7(4) - 7(2) + 30 = 16 - 28 - 14 + 30 = 4 \neq 0\) Проверяем \(x = 3\): \(2(27) - 7(9) - 7(3) + 30 = 54 - 63 - 21 + 30 = 0\) Значит, \(x = 3\) — корень. Поделим на \((x - 3)\): \[(2x^3 - 7x^2 - 7x + 30) : (x - 3) = 2x^2 - x - 10\] Решаем квадратное уравнение \(2x^2 - x - 10 = 0\): \(D = 1 + 80 = 81\) \(x = \frac{1 \pm 9}{4} = \frac{10}{4} = 2,5\) или \(x = -2\)
Ответ: \(x = 1;\ 3;\ -2;\ 2,5\). - Решите неравенство: \(\frac{1}{x - 2} + \frac{2}{x + 2} - \frac{6}{x - 3} \ge 0\).
Решение: Найдем ОДЗ: \(x \neq 2;\ -2;\ 3\). Приведем к общему знаменателю \((x - 2)(x + 2)(x - 3)\): \[ \frac{(x + 2)(x - 3) + 2(x - 2)(x - 3) - 6(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)(x - 3)} \ge 0 \] Раскроем числитель: \[ (x^2 - x - 6) + 2(x^2 - 5x + 6) - 6(x^2 - 4) = -3x^2 -11x + 18 \] Решим неравенство \(\frac{-3x^2 -11x + 18}{(x - 2)(x + 2)(x - 3)} \ge 0\). Метод интервалов даёт решения: \(x \in (-2; \frac{-11 - \sqrt{385}}{6}) \cup (2; 3)\)
Ответ: \(x \in (-2; -3,25) \cup (2; 3)\). - Упростите выражение:
\[
\frac{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b} - \sqrt[8]{ab}}{\sqrt[4]{a^3b} - b}
\;\Bigg/\;
\frac{\bigl(\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b}\bigr)^2 + \bigl(\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b}\bigr)^2}
{(\sqrt{a} - \sqrt{b})\,b^{-\tfrac14}}.
\]
Решение: Введем замену: \(\sqrt[8]{a} = m\), \(\sqrt[8]{b} = n\). Тогда числитель первой дроби: \[ m^2 + n^2 - mn \] Знаменатель первой дроби: \[ m^6n - n^8 = n(m^6 - n^7) \] Вторая дробь преобразуется в: \[ \frac{2(m^2 + n^2)}{n^3m^{-4}(m^4 - n^4)} \] После сокращений получаем упрощение до \(\frac{1}{2}\).
Ответ: \(\frac{1}{2}\). - Найдите \(\frac{\cos\alpha\cos2\alpha\cos4\alpha\cos8\alpha}{\sin16\alpha}\) при \(\sin\alpha = \tfrac12\).
Решение: Заметим, что по формуле \(\sin16\alpha = 2\sin8\alpha\cos8\alpha\). Последовательно применяя формулы кратных углов: \[ \frac{\cos\alpha\cos2\alpha\cos4\alpha\cos8\alpha}{2\sin8\alpha\cos8\alpha} = \frac{1}{16\sin\alpha} \] При \(\sin\alpha = \tfrac12\) значение равно \(\frac{1}{16 \cdot \frac12} = \frac{1}{8}\)
Ответ: \(\frac{1}{8}\). - Исследуйте функцию \(f(x) = \log_{2}(3 - 2x)\) и постройте её график.
Решение: Область определения: \(3 - 2x > 0\) \(\Rightarrow x < 1,5\). Вертикальная асимптота: \(x = 1,5\). Пересечение с осями: \(x = 1\) при \(y = 0\); \(y = \log_23\) при \(x = 0\). Функция убывает при \(x \to -\infty\).
График: гипербола, смещенная влево с асимптотой при \(x = 1,5\). - Упростите выражение:
\[
(\log_{a}b + \log_{b}a + 2)\,(\log_{a}b - \log_{ab}b)\,\log_{b}a - 1.
\]
Решение: Введем замену \(\log_ab = t\), тогда \(\log_ba = 1/t\). Выразим: \[ (t + \frac{1}{t} + 2)\left(\frac{t^2 - 1}{t}\right) \cdot \frac{1}{t} - 1 \] Раскрывая скобки и сокращая, получаем: \[ \frac{(t + 1)^2}{t} \cdot \frac{t^2 - 1}{t} \cdot \frac{1}{t} -1 = (t +1)^2(t^2 -1)/t^3 -1 = \frac{t^2 - 1}{t} -1 = 0 \]
Ответ: \(0\). - Решите неравенство: \(\log_{x^2 + x}\bigl(x^2 - 2x + 1\bigr) \le 1\).
Решение: ОДЗ: \(x^2 + x > 0\), \(x^2 + x \neq 1\), \(x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 > 0\) \(\Rightarrow x \neq 1\). 1 случай: \(x^2 +x > 1\). Неравенство: \((x - 1)^2 \le x^2 +x\) \(x^2 - 2x +1 \le x^2 +x \) \(\Rightarrow -3x + 1 \le0\) \(\Rightarrow x \ge \frac13\) 2 случай: \(0 < x^2 +x <1\). Неравенство: \((x -1)^2 \ge x^2 +x\) \(-3x +1 \ge0\) \(\Rightarrow x \le \frac13\) Учитывая ОДЗ, получаем \(x \in (-1 - \sqrt{5}/2; -1) \cup (0; \frac13]\).
Ответ: \(x \in (-\infty; -1.618) \cup (-1; 0) \cup (0; \frac13]\). - Решите уравнение: \(16^x - 17\cdot4^x + 16 = 0\).
Решение: Сделаем замену \(y = 4^x\): \[y^2 - 17y +16 =0\] Корни: \(y = 1\) и \(y =16\). При \(y =1\): \(4^x =1\) \(\Rightarrow x=0\). При \(y =16\): \(4^x =16\) \(\Rightarrow x=2\).
Ответ: \(x =0;\ 2\). - Решите уравнение: \(7\cot^2 x - \frac{1}{\sin x} + 1 = 0\). Укажите корни на \([-\tfrac{5\pi}{2},\,-\pi]\).
Решение: Заменяем \(\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\): \[7\cos^2x - \sin x + \sin^2x =0\] Преобразуем в квадратное уравнение относительно \(\cos x\). Решения: \(\sin x = 0.5\) \(\Rightarrow x = \frac{5\pi}{6} +2\pi n\) и \(x = \frac{7\pi}{6} +2\pi n\). На отрезке \([-\tfrac{5\pi}{2},\,-\pi]\) подходят: \(x = -\frac{7\pi}{6}\) и \(x = -\frac{5\pi}{6}\).
Ответ: \(-\frac{7\pi}{6};\ -\frac{5\pi}{6}\). - Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадёт ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадёт ровно 4 орла»?
Решение: По формуле Бернулли: \[P_{5} = C(10,5)\cdot(0.5)^{10} = 252 \cdot \frac{1}{1024}\] \[P_{4} = C(10,4)\cdot(0.5)^{10} = 210 \cdot \frac{1}{1024}\] Отношение: \(\frac{252}{210} = \frac{6}{5} = 1,2\)
Ответ: в 1,2 раза.
Материалы школы Юайти