Школа №179 из 9 в 10 класс 2023 год

Школа № 179

2023 год

29.08.2023

1. Решите неравенство: \[ \frac{|x - 3| - 2}{x - 7} \leq 0. \]
2. Известно, что многочлен $P(x)$ при делении на $x + 2$ даёт остаток 2, а при делении на $x - 1$ даёт остаток 3. Найдите остаток от деления $P(x)$ на $x^2 + x - 2$.
3. Нарисуйте множество точек плоскости с координатами $x, y$, такими что $x^2 > y$ и $x > y$.
4. Два угла треугольника равны $26^\circ$ и $54^\circ$. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины третьего угла треугольника.
5. В прямоугольной трапеции вписаны последовательно две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания, вторая — боковых сторон, меньшего основания и первой окружности. Найдите длину средней линии трапеции, если радиус первой окружности равен 2.
6. Сколькими способами можно из 9 человек выбрать 4, если есть двое, которых нельзя выбирать одновременно?
7. Петя кинул три кубика и на некоторых двух из них выпали единицы (возможно, и на всех трёх). Какова вероятность, что сумма кубиков четна?
8. Каково максимальное число рёбер в неориентированном графе с 7 вершинами?
9. Найдите число $n$. Определим сумму $S_n$ как $S_n = 1 + 1^2 + \ldots + 1^n$ для каждого натурального $n$. При каком наименьшем $n$ сумма $S_n$ делится на 2023?
10. Найдите остаток $179^{2023^{2023}}$ при делении на 180.

Решения задач

1. Решите неравенство: \[ \frac{|x - 3| - 2}{x - 7} \leq 0. \]
   Решение: Найдем нули числителя и знаменателя: \[ |x - 3| - 2 = 0 \Rightarrow x = 1, \quad x = 5; \quad x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7. \] Методом интервалов получаем решение: \[ x \in (-\infty; 1] \cup [5; 7). \] Ответ: \boxed{(-\infty; 1] \cup [5; 7)}.
2. Найдите остаток от деления \( P(x) \) на \( x^2 + x - 2 \), если \( P(-2) = 2 \) и \( P(1) = 3 \).
   Решение: Остаток \( R(x) = ax + b \). Подставляем: \[ \begin{cases} -2a + b = 2, \\ a + b = 3. \end{cases} \] Решая систему: \[ a = \frac{1}{3}, \quad b = \frac{8}{3}. \] Ответ: \boxed{\frac{1}{3}x + \frac{8}{3}}.
3. Нарисуйте множество точек плоскости \( (x, y) \), удовлетворяющих неравенствам \( x^2 > y \) и \( x > y \).
   Решение: Область под параболой \( y < x^2 \) при \( x \leq 1 \) и ниже прямой \( y 1 \). Ответ: Пересечение областей \( y < x^2 \) и \( y < x \): область под параболой до \( x = 1 \), затем ниже прямой. Указание: \boxed{\text{рисунок}}.
4. Найдите угол между высотой и биссектрисой треугольника с углами \( 26^\circ \) и \( 54^\circ \).
   Решение: Третий угол равен \( 100^\circ \). Биссектриса делит его на \( 50^\circ \), высота образует угол \( 36^\circ \). Разность: \[ 50^\circ - 36^\circ = \boxed{14^\circ}. \]
5. Найдите длину средней линии трапеции с двумя вписанными окружностями радиусом 2.
   Ответ: Средняя линия равна \( \boxed{8} \).
6. Сколькими способами из 9 человек можно выбрать 4, исключая одновременный выбор двух человек?
   Решение: Общее количество способов \( C(9,4) \), минус случаи с запрещенной парой \( C(7,2) \): \[ 126 - 21 = \boxed{105}. \]
7. Вероятность четной суммы на кубиках при условии минимум двух единиц.
   Решение: Благоприятных исходов: 9 из 16. Вероятность: \[ \frac{9}{16} = \boxed{\dfrac{9}{16}}. \]
8. Максимальное число рёбер в графе с 7 вершинами.
   Ответ: Полный граф \( \frac{7 \cdot 6}{2} = \boxed{21} \).
9. Наименьшее \( n \), при котором \( S_n = 1 + 1^2 + \ldots + 1^n \) делится на 2023.
   Ответ: Требуется \( n = \boxed{2023} \).
10. Найдите остаток от деления \( 179^{2023^{2023}} \) на 180.
    Решение: По китайской теореме об остатках находим остаток 179: \[ \boxed{179}. \]