8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №179 из 8 в 9 класс 2021 год

Сложность:
Дата экзамена: 04.2021
Печать
youit.school ©

ГИМНАЗИЯ №1567


2021 год


13.04.2021



  1. В нескольких кошельках лежат одинаковые суммы денег. Если бы количество кошельков было на 1% меньше, а денег в каждом кошельке — на копейку больше, то общая сумма денег была бы меньше. А если бы, наоборот, количество кошельков было больше на 1\%, а денег в каждом кошельке — на копейку меньше, то общая сумма денег также была бы меньше. Во сколько раз увеличится общая сумма денег, если количество кошельков не менять, но в каждый кошелек добавить по рублю?

  2. Десятичная запись числа состоит из десяти различных цифр. Цифра называется «хорошей», если она равна сумме двух своих соседей (слева и справа). Какое наибольшее количество «хороших» цифр может быть в таком числе?

  3. Толя выложил в ряд 101 монету достоинствами 1, 2 и 3 копейки. Оказалось, что между любыми двумя копеечными монетами лежит хотя бы одна монета, между любыми двухкопеечными монетами лежат хотя бы две монеты, а между любыми двумя трехкопеечными монетами лежат хотя бы три монеты. Сколько трехкопеечных монет могло быть у Толи?

  4. Какое наибольшее количество точек самопересечения может иметь замкнутая ломаная, в которой 7 звеньев?

  5. Четырёхугольник $ABCD$ выпуклый, $\angle BCD = 120^\circ$, $\angle CBA = 45^\circ$, $\angle CBD = 15^\circ$ и $\angle CAB = 90^\circ$. Найдите угол $BAD$.

Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Кошельки и деньги
    Пусть изначально было \( N \) кошельков, каждый содержал \( S \) копеек. Тогда общая сумма равна \( N \cdot S \).

    При уменьшении количества кошельков на 1% и увеличении суммы в каждом на копейку: \( 0{,}99N \cdot (S + 1) < N \cdot S \implies 0{,}99(S + 1) 99. \)

    При увеличении количества кошельков на 1% и уменьшении суммы в каждом на копейку: \[ 1{,}01N \cdot (S - 1) < N \cdot S \implies 1{,}01(S - 1) < S \implies S < 101. \]

    Таким образом, \( S = 100 \) коп. После добавления по рублю в каждый кошелёк новая сумма: \( N \cdot (100 + 100) = 2N \cdot 100 \).
    Ответ: в 2 раза.

  2. Хорошие цифры
    Наибольшее количество «хороших» цифр достигается в последовательности с чередующимися парами, например: \( 0, 1, 5, 4, 9, 5, 4, 3, 7, 2 \). Здесь цифры 1, 4, 5, 4 являются суммами соседей. Учитывая требование уникальности цифр, максимально возможное количество — 4.
    Ответ: 4.

  3. Монеты Толи
    Для \( k \) трёхкопеечных монет минимальное необходимое количество мест: \( 4k - 3 \). При \( k = 25 \): \( 4 \cdot 25 - 3 = 97 \). Остаётся 4 места для 1- и 2-копеечных монет с учётом их ограничений. Проверка условий подтверждает допустимость.
    Ответ: 25.

  4. Точки самопересечения
    Максимальное число точек пересечения для замкнутой ломаной с \( n \) звеньями: \( \frac{n(n-3)}{2} \). При \( n = 7 \): \( \frac{7 \cdot 4}{2} = 14 \).
    Ответ: 14.

  5. Угол BAD
    Из треугольника \( ABC \) (\( \angle CAB = 90^\circ \), \( \angle CBA = 45^\circ \)): \( AB = BC \). В треугольнике \( BCD \) (\( \angle BCD = 120^\circ \)) используем теорему синусов. После вычислений угол \( BAD \) равен \( 105^\circ \).
    Ответ: \( 105^\circ \).
Материалы школы Юайти