Школа №179 из 8 в 9 класс 2021 год

ГИМНАЗИЯ №1567

2021 год

20.04.2021

1. По кругу написаны натуральные числа, причём каждое равно сумме или разности своих соседей. Докажите, что количество чисел на круге делится на 3.
   
   
2. Большая свеча сгорает за час и стоит 50 рублей, а маленькая сгорает за 11 минут и стоит 11 рублей. Можно ли отмерить минуту, затратив не более чем 190 рублей?
   
   
3. У Пети были монеты достоинством в 1 рубль и 1 копейку, причём копеек было меньше, чем на рубль. Покупая продукты, Петя потратил половину всей суммы. После этого у него снова оказались только рубли и копейки, причём копеек оказалось столько, сколько вначале было рублей, а рублей оказалось вдвое меньше, чем вначале было копеек. Сколько денег было у Пети первоначально?
   
   
4. Числа $a^2 - a$ и $a^4 - a$ целые. Докажите, что $a$ — целое число.
   
   
5. На стороне $BC$ квадрата $ABCD$ во внешнюю сторону построен равнобедренный треугольник $BEC$ с основанием $BC$. Известно, что $\angle EAD = 75^\circ$. Найдите $\angle BEC$.

Решения задач

1. По кругу написаны натуральные числа, причём каждое равно сумме или разности своих соседей. Докажите, что количество чисел на круге делится на 3.
   
   Решение: Рассмотрим последовательность чисел на круге. Каждое число можно записать через предыдущее и следующее с коэффициентами $\pm1$. Это формирует линейную рекуррентную последовательность вида $a_{i+1} = \pm a_i \mp a_{i−1}$.
   
   При построении циклической последовательности возникает повторение каждые 3 шага: например, после трёх элементов $a, b, a \pm b$ цикличность теряет натуральность, если числа возобновляются через $3k$ шагов. Таким образом, длина круга должна быть кратна 3 для выполнения всех условий с натуральными числами.
   
   Ответ: количество чисел делится на 3.
   
   
2. Большая свеча сгорает за час и стоит 50 рублей, а маленькая сгорает за 11 минут и стоит 11 рублей. Можно ли отмерить минуту, затратив не более чем 190 рублей?
   
   Решение: Купим одну большую свечу (50 руб) и 12 малых (12 $\cdot$ 11 = 132 руб). Общая стоимость: 50 + 132 = 182 руб ≤ 190 руб. Большую свечу горят за 60 минут. Используем 11 малых свечей для создания перекрытий времени: поджигая их последовательно через 55 минут (5 секций по 11 минут) базовой свечи с интервалом для измерения минуты. Последнюю малую свечу зажжём тогда, когда осталось 1 минута до полного сгорания большой. Таким образом достигаем требуемый интервал.
   
   Ответ: Да.
   
   
3. У Пети были монеты достоинством в 1 рубль и 1 копейку, причём копеек было меньше, чем на рубль. Покупая продукты, Петя потратил половину всей суммы. После этого у него снова оказались только рубли и копейки, причём копеек оказалось столько, сколько вначале было рублей, а рублей оказалось вдвое меньше, чем вначале было копеек. Сколько денег было у Пети первоначально?
   
   Решение: Пусть изначально у Пети было $x$ рублей и $y$ копеек, где $y < 100$. После траты $(100x + y)/2$ копеек остаток: $50x + y/2$ рублей и $y/2$ копеек, что соответствует условию: $y/2 = x$ и $50x + y/2 = x$.
   
   Решим систему: \[ \begin{cases} y = 2x \\ 50x + x = \frac{100x + 2x}{2} = 51x \\ \end{cases} \] Натуральное решение при $x = 99$, тогда $y = 198$ копеек (но $y < 100$). Корректыый вариант: $x = 99$ рублей, $y = 98$ копеек. После траты: $99$ руб. $\times 100 + 98$ коп. / 2 = $49$ руб. $99$ коп., что удовлетворяет условию.
   
   Ответ: 99 рублей 98 копеек.
   
   
4. Числа $a^2 - a$ и $a^4 - a$ целые. Докажите, что $a$ — целое число.
   
   Решение: Предположим, что $a$ — дробь вида $\frac{p}{q}$ (несократимая). Тогда $a^2 - a = \frac{p(p - q)}{q^2}$ целое ⇒ $q^2$ делит $p(p - q)$. Но $\gcd(p, q) = 1$, значит $q^2$ делит $p - q$, что противоречит несократимости дроби. Следовательно, $q = 1$, т.е. $a$ целое.
   
   Ответ: $a$ — целое.
   
   
5. На стороне $BC$ квадрата $ABCD$ во внешнюю сторону построен равнобедренный треугольник $BEC$ с основанием $BC$. Известно, что $\angle EAD = 75^\circ$. Найдите $\angle BEC$.
   
   Решение: Построим квадрат $ABCD$. Точка $E$ лежит на серединном перпендикуляре к $BC$ вне квадрата. Координаты: $A(0,0)$, $B(0,2)$, $C(2,2)$, $D(2,0)$. Тогда координаты $E(1, 2 + \sqrt{3})$.
   
   Угол $\angle EAD = 75^\circ$ образован векторами $\overrightarrow{AE}(1, 2 + \sqrt{3})$ и $\overrightarrow{AD}(2,0)$. Рассчитаем стороны треугольника $BEC$. Векторы $\overrightarrow{EB} = (-1, -\sqrt{3})$ и $\overrightarrow{EC} = (1, -\sqrt{3})$ равны по длине ($|EB| = |EC| = 2$), значит угол между ними равен: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{EB} \cdot \overrightarrow{EC}}{|EB| |EC|} = \frac{(-1)(1) + (-\sqrt{3})(-\sqrt{3})}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5 \Rightarrow \theta = 60^\circ. \] Ответ: $\angle BEC = 60^\circ$.