Школа №179 из 7 в 8 класс 2025 год

1. Решите уравнение \[ 4(50x-3) - 7(40x-5) = 40x - 27. \]
2. Расставьте числа в порядке возрастания \[ -\dfrac{1}{179},\; \dfrac{1}{19},\; \left(\dfrac{1}{19}\right)^2,\; \left(\dfrac{1}{19}\right)^3,\; -\left(\dfrac{179}{19}\right)^3,\; -\dfrac{179}{19},\; \left(-\dfrac{1}{19}\right)^4. \]
3. Найдите сумму трёх чисел, если сумма последних двух вдвое больше первого, второе втрое больше первого, а первое больше третьего на 48.
4. Концентрация волшебной пыльцы в воде в Чёрном Озере в Хогвартсе составляет $2,5\%$. Сколько пустой (не содержащей пыльцу) воды нужно долить в резервуар с 60 литрами воды из Озера, чтобы концентрация пыльцы стала $0,5\%$?
5. В большой квадратный зал привезли два квадратных ковра; сторона одного ковра вдвое больше стороны другого.
   Когда их положили в противоположные углы зала, они в два слоя накрыли $4\ \text{м}^2$, а когда их положили в соседние углы — $14\ \text{м}^2$.
   Найдите размеры зала и каждого из ковров.
6. Прямая прошла через точки $(2;1), (3;3)$ и $(13;y)$. Найдите $y$.
7. На прямой отметили точки $A, B, C, D, E$ и соединили их с точкой $P$ так, что \[ \angle APD = 60^\circ,\quad \angle DPC = 40^\circ,\quad \angle CPB = 70^\circ,\quad \angle BPE = 100^\circ,\quad \angle EPA = 50^\circ. \] Выясните, в каком порядке расположены точки на прямой, и нарисуйте картинку, подписав на ней величины углов между соседними отрезками, соединяющими точку $P$ с точками $A, B, C, D, E$.
8. Наташа разрезала квадрат $6\times 6$ на семь равнобедренных треугольников (см. рисунок).
   а) Разрежьте другой такой же квадрат $6\times 6$ на семь треугольников так, чтобы шесть из них были равнобедренными, а один — нет.
   б) Разрежьте другой такой же квадрат $6\times 6$ на пять треугольников так, чтобы четыре из них были равнобедренными, а один — нет.
   Во всех разрезаниях вершины треугольников должны находиться в узлах сетки.
9. В доме холодно, и Иван Петрович решил укрыться одеялом. У него их три — белое, серое и чёрное. Он замёрз и точно использует хотя бы одно из них, но ещё не решил, сколькими одеялами ему накрыться и в каком порядке.
   Сколько различных вариантов утепления есть у Ивана Петровича?
   Напишите число и схематично опишите все варианты.
10. Разложите на множители выражение \[ a^3 + 4a^2 - 12a - 27. \]

Решения задач

1. Решите уравнение \[ 4(50x-3) - 7(40x-5) = 40x - 27. \]
   Решение: \[ 200x - 12 - 280x + 35 = 40x - 27 \] \[ -80x + 23 = 40x - 27 \] \[ -120x = -50 \] \[ x = \frac{5}{12} \]
   Ответ: \(\frac{5}{12}\).
2. Расставьте числа в порядке возрастания \[ -\dfrac{1}{179},\; \dfrac{1}{19},\; \left(\dfrac{1}{19}\right)^2,\; \left(\dfrac{1}{19}\right)^3,\; -\left(\dfrac{179}{19}\right)^3,\; -\dfrac{179}{19},\; \left(-\dfrac{1}{19}\right)^4. \]
   Решение: Отрицательные числа: \[ -\left(\dfrac{179}{19}\right)^3 < -\dfrac{179}{19} < -\dfrac{1}{179} \] Положительные числа (учитывая, что \(\left(-\dfrac{1}{19}\right)^4 = \left(\dfrac{1}{19}\right)^4\)): \[ \left(\dfrac{1}{19}\right)^4 < \left(\dfrac{1}{19}\right)^3 < \left(\dfrac{1}{19}\right)^2 < \dfrac{1}{19} \] Итоговый порядок: \[ -\left(\dfrac{179}{19}\right)^3,\; -\dfrac{179}{19},\; -\dfrac{1}{179},\; \left(\dfrac{1}{19}\right)^4,\; \left(\dfrac{1}{19}\right)^3,\; \left(\dfrac{1}{19}\right)^2,\; \dfrac{1}{19}. \]
   Ответ: \(-\left(\dfrac{179}{19}\right)^3,\; -\dfrac{179}{19},\; -\dfrac{1}{179},\; \left(\dfrac{1}{19}\right)^4,\; \left(\dfrac{1}{19}\right)^3,\; \left(\dfrac{1}{19}\right)^2,\; \dfrac{1}{19}\).
3. Найдите сумму трёх чисел, если сумма последних двух вдвое больше первого, второе втрое больше первого, а первое больше третьего на 48.
   Решение: Пусть первое число \(a\), тогда: \[ \begin{cases} b = 3a \\ a = c + 48 \\ b + c = 2a \end{cases} \] Подставляем \(b = 3a\) и \(c = a - 48\) в третье уравнение: \[ 3a + (a - 48) = 2a \implies 4a - 48 = 2a \implies a = 24 \] Тогда \(b = 72\), \(c = -24\). Сумма: \[ 24 + 72 + (-24) = 72 \]
   Ответ: 72.
4. Концентрация волшебной пыльцы в воде в Чёрном Озере в Хогвартсе составляет \(2,5\%\). Сколько пустой воды нужно долить в резервуар с 60 литрами воды из Озера, чтобы концентрация пыльцы стала \(0,5\%\)?
   Решение: Количество пыльцы: \[ 60 \cdot 0,025 = 1,5 \text{ л} \] Пусть добавили \(x\) литров воды: \[ \frac{1,5}{60 + x} = 0,005 \implies 1,5 = 0,3 + 0,005x \implies x = 240 \]
   Ответ: 240 литров.
5. В большой квадратный зал привезли два квадратных ковра; сторона одного ковра вдвое больше стороны другого.
   Когда их положили в противоположные углы зала, они в два слоя накрыли \(4\ \text{м}^2\), а когда их положили в соседние углы — \(14\ \text{м}^2\).
   Найдите размеры зала и каждого из ковров.
   Решение: Пусть сторона малого ковра \(a\), большого \(2a\), сторона зала \(L\). При расположении в противоположных углах: \[ (3a - L)^2 = 4 \implies 3a - L = 2 \implies L = 3a - 2 \] При расположении в соседних углах: \[ a(3a - L) = 14 \implies a \cdot 2 = 14 \implies a = 7 \] Тогда \(L = 3 \cdot 7 - 2 = 19\), большой ковер \(2a = 14\).
   Ответ: зал \(19 \times 19\) м, малый ковер \(7 \times 7\) м, большой ковер \(14 \times 14\) м.
6. Прямая прошла через точки \((2;1), (3;3)\) и \((13;y)\). Найдите \(y\).
   Решение: Угловой коэффициент прямой: \[ k = \frac{3 - 1}{3 - 2} = 2 \] Уравнение прямой: \[ y - 1 = 2(x - 2) \implies y = 2x - 3 \] При \(x = 13\): \[ y = 2 \cdot 13 - 3 = 23 \]
   Ответ: 23.
7. На прямой отметили точки \(A, B, C, D, E\) и соединили их с точкой \(P\) так, что \[ \angle APD = 60^\circ,\quad \angle DPC = 40^\circ,\quad \angle CPB = 70^\circ,\quad \angle BPE = 100^\circ,\quad \angle EPA = 50^\circ. \] Выясните, в каком порядке расположены точки на прямой, и нарисуйте картинку, подписав на ней величины углов между соседними отрезками, соединяющими точку \(P\) с точками \(A, B, C, D, E\).
   Решение: Порядок точек на прямой: \(E, A, D, C, B\). Углы между отрезками: \[ \angle EPA = 50^\circ,\; \angle APD = 60^\circ,\; \angle DPC = 40^\circ,\; \angle CPB = 70^\circ,\; \angle BPE = 100^\circ. \] Сумма углов: \(50^\circ + 60^\circ + 40^\circ + 70^\circ + 100^\circ = 320^\circ\). Оставшиеся \(40^\circ\) образуют угол между \(PE\) и \(PA\) вне указанных.
8. Наташа разрезала квадрат \(6\times 6\) на семь равнобедренных треугольников.
   а) Разрежьте другой такой же квадрат \(6\times 6\) на семь треугольников так, чтобы шесть из них были равнобедренными, а один — нет.
   б) Разрежьте другой такой же квадрат \(6\times 6\) на пять треугольников так, чтобы четыре из них были равнобедренными, а один — нет.
   
   Решение:
   а) Пример разрезания: соединить центр квадрата с серединами сторон и одной вершиной, создав 6 равнобедренных треугольников и один неравнобедренный.
   б) Пример разрезания: провести диагональ и дополнительные линии, формируя четыре равнобедренных треугольника и один разносторонний.
9. В доме холодно, и Иван Петрович решил укрыться одеялом. У него их три — белое, серое и чёрное. Он замёрз и точно использует хотя бы одно из них, но ещё не решил, сколькими одеялами ему накрыться и в каком порядке.
   Сколько различных вариантов утепления есть у Ивана Петровича?
   
   Решение: Количество вариантов для \(k\) одеял: \[ \sum_{k=1}^{3} P(3, k) = 3 + 6 + 6 = 15 \]
   Ответ: 15.
10. Разложите на множители выражение \[ a^3 + 4a^2 - 12a - 27. \]
    Решение: Подбор корня \(a = 3\): \[ 3^3 + 4 \cdot 3^2 - 12 \cdot 3 - 27 = 0 \] Деление многочлена на \((a - 3)\): \[ a^3 + 4a^2 - 12a - 27 = (a - 3)(a^2 + 7a + 9) \]
    Ответ: \((a - 3)(a^2 + 7a + 9)\).