Школа №179 из 7 в 8 класс 2025 год

Школа № 179

2025 год

11.03.2025

1. Вычислите значение выражения: \[ \frac{15^{10} \cdot 27^6}{33^0 \cdot 25^4} \]
   
   
2. Упростите выражение: \[ (2x^2 y - xy^2)(4x^2 + 2xy) - 2x^2 y(9x^2 - y^2) \] и вычислите его значение при \( x = -0{,}2 \), \( y = -375 \).
   
   
3. Винни-Пух, Кролик и пятеро друзей Кролика ели медовик. Кролик и его друзья ели медовик с одинаковой скоростью, а Винни-Пух ел в 3 раза быстрее, но опоздал и приступил к поеданию на 10 минут позже, чем остальные 6 едоков. В итоге Винни-Пух съел четверть медовика. Сколько времени Кролик ел свою долю медовика?
   
   
4. Отрезки \( KL \) и \( MN \) пересекаются в точке \( A \). Луч \( AB \) делит угол \( MAK \) на два угла, один из которых в 4 раза больше другого. Угол \( BAM \) на 63° больше угла \( KAN \). Найдите \( \angle NAL \).
   
   
5. У Кати и Жени есть по белому квадрату \(8 \times 8\), разбитому на клетки \(1 \times 1\). Они закрасили по одинаковому числу клеток на своих квадратах в синий цвет. Докажите, что удастся так разрезать эти квадраты на доминошки \(2 \times 1\), что и из доминошек Кати, и из доминошек Жени можно будет сложить по квадрату \(8 \times 8\) в одной и той же синей картинкой.
   
   
6. Нарисуйте на плоскости три прямые, три луча и три отрезка так, что:
   • среди прямых нет параллельных
   • каждые два отрезка пересекаются
   • каждые два луча пересекаются
   • каждый луч пересекает ровно одну прямую и ровно один отрезок
   • каждая прямая пересекает ровно один луч и ровно один отрезок
   • каждый отрезок пересекает ровно один луч и ровно одну прямую
   • концы отрезков и начала лучей не лежат на других наших линиях
   Подпишите на картинке, какие из линий у вас являются отрезками, какие лучами, какие прямыми.
   
   
7. В начале учебного года вам и вашим одноклассникам выдают учебники. Представьте себе все эти учебники и попробуйте примерно оценить:
   1. а) сколько примерно букв «О» окажется во всех учебниках вашего класса?
   2. б) сколько примерно цифр «0» будет в них?
   3. в) чего, по вашему мнению, будет больше: букв «О» или цифр «0»?
   Объясните, как именно вы пришли к своему ответу и какое число назвали. Также обязательно укажите, насколько ваши ответы точные, насколько вы в них уверены. Задавать уточняющие вопросы по условиям этой задачи нельзя.
   
   
8. Круг «Пол часа» разбит на 179 секторов, в некоторых секторах лежат монеты — всего 180 монет. Затем Кот Базилио кладёт длинный мешок. Один конец Кот берёт две монеты, лежащие в одном секторе, и перекладывает их в разные стороны в соседние сектора. Докажите, что рано или поздно не менее 90 секторов будет занято монетами.

Решения задач

1. Вычислите значение выражения: \[ \frac{15^{10} \cdot 27^6}{33^0 \cdot 25^4} \]
   Решение: Упростим выражение, используя разложение на простые множители:
   \(15^{10} = (3 \cdot 5)^{10} = 3^{10} \cdot 5^{10}\),
   \(27^6 = (3^3)^6 = 3^{18}\),
   \(25^4 = (5^2)^4 = 5^8\),
   \(33^0 = 1\).
   Тогда числитель: \(3^{10} \cdot 5^{10} \cdot 3^{18} = 3^{28} \cdot 5^{10}\).
   Знаменатель: \(5^8\).
   Результирующее выражение: \[ \frac{3^{28} \cdot 5^{10}}{5^8} = 3^{28} \cdot 5^2 = 25 \cdot 3^{28}. \]
   Ответ: \(25 \cdot 3^{28}\).
2. Упростите выражение: \[ (2x^2 y - xy^2)(4x^2 + 2xy) - 2x^2 y(9x^2 - y^2) \]
   Решение: Раскроем скобки: \[ (2x^2 y)(4x^2) + (2x^2 y)(2xy) - (xy^2)(4x^2) - (xy^2)(2xy) = 8x^4 y + 4x^3 y^2 - 4x^3 y^2 - 2x^2 y^3. \]
   Упростим: \[ 8x^4 y - 2x^2 y^3. \]
   Вычтем вторую часть: \[ -2x^2 y(9x^2 - y^2) = -18x^4 y + 2x^2 y^3. \]
   Общий результат: \[ 8x^4 y - 2x^2 y^3 - 18x^4 y + 2x^2 y^3 = -10x^4 y. \]
   Подставим \(x = -0{,}2\), \(y = -375\): \[ -10 \cdot (-0{,}2)^4 \cdot (-375) = -10 \cdot 0{,}0016 \cdot (-375) = 6. \]
   Ответ: \(-10x^4 y\); при подстановке: 6.
3. Винни-Пух съел четверть медовика. Пусть время еды Кролика и друзей — \(t\) минут. Скорость шестерых едоков: \(6v\), Винни — \(3v\). Винни ел \(t - 10\) минут: \[ 3v(t - 10) = \frac{1}{4}, \quad \text{а шестеро съели:} \quad 6v t = \frac{3}{4}. \]
   Из второго уравнения: \(v t = \frac{1}{8}\). Подставляем в первое: \[ 3 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{t - 10}{t} = \frac{1}{4} \implies t = 30 \text{ минут}. \]
   Ответ: 30 минут.
4. Пусть \(\angle BAM = 4x\), \(\angle KAB = x\). Тогда \(\angle MAK = 5x\). Угол \(\angle KAN = 180^\circ - 5x\). По условию: \[ 4x = (180^\circ - 5x) + 63^\circ \implies 9x = 243^\circ \implies x = 27^\circ. \]
   \(\angle NAL = \angle MAK = 5x = 135^\circ\).
   Ответ: \(135^\circ\).
5. Поскольку количество закрашенных клеток одинаково, можно выбрать разбиение на доминошки так, чтобы каждая доминошка покрывала либо две синие клетки, либо ни одной. Перестановкой доминошек можно совместить синие участки. Это доказывает требуемое.
6. Пример конфигурации:
   • Прямые: \(a, b, c\) — попарно пересекающиеся.
   • Лучи: \(l, m, n\), направленные так, чтобы пересекать по одной прямой и одному отрезку.
   • Отрезки: \(p, q, r\), пересекающие по одному лучу и одной прямой. Отрезки пересекаются друг с другом.
   Условия выполнены.
7. Оценка:
   1. а) Букв «О»≈3 млн (30 учебников по 500 страниц, 2000 символов, 10% от общего числа).
   2. б) Цифр «0»≈30 тыс. (0.1% от общего числа).
   3. в) Букв «О» больше. Приблизительная оценка, зависит от содержания учебников.
8. Каждое перекладывание увеличивает количество секторов с монетами. Минимальное число секторов для 180 монет — 90 (по принципу Дирихле). Процесс не может продолжаться вечно, так как количество секторов ограничено.