Школа №179 из 7 в 8 класс 2018 год

ГИМНАЗИЯ №1567

2018 год

16.03.2018

1. Существуют ли два таких натуральных числа, что ни одно из них не делится на 5, но сумма их четвёртых степеней делится на 5?
   
   
2. Дана клетчатая полоса $1 \times 40$, где в крайней клетке стоит фишка. Два игрока по очереди передвигают эту фишку на любое количество клеток вправо или влево, подходящее под условие: ранее не было хода такой же длины. Верно ли, что у кого-нибудь из игроков есть способ играть так, чтобы выиграть независимо от действий противника?
   
   
3. Напомним, что ромб — это четырёхугольник, у которого все стороны равны по длине. Можно ли какой-нибудь ромб разрезать на четыре равных друг другу прямоугольных треугольника так, чтобы из вершины одного острого угла ромба хотя бы один разрез выходил, а из вершины другого острого угла не выходило никаких разрезов?
   
   
4. Десять дачников устроили турнир по перекопке участков. В поединке сходятся двое, из которых один становится победителем, а другой — проигравшим. Каждый дачник сошёлся с каждым ровно в одном поединке; каждый поединок проводится на даче, принадлежащей кому-нибудь из всех участников турнира. Могло ли так оказаться, что каждый копал землю (как состязающийся) на всех дачных участках, кроме своего собственного?

Решения задач

1. Существуют ли два таких натуральных числа, что ни одно из них не делится на 5, но сумма их четвёртых степеней делится на 5?
   Решение: Рассмотрим остатки четвёртых степеней натуральных чисел по модулю 5. Если число не делится на 5, его остаток при делении на 5 может быть 1, 2, 3 или 4. Вычислим их четвёртые степени:
   $1^4 \equiv 1 \pmod{5}$, $2^4 = 16 \equiv 1 \pmod{5}$, $3^4 = 81 \equiv 1 \pmod{5}$, $4^4 = 256 \equiv 1 \pmod{5}$.
   Таким образом, для любого числа, не делящегося на 5, его четвёртая степень даёт остаток 1 по модулю 5. Тогда сумма двух таких чисел:
   $1 + 1 = 2 \equiv 2 \pmod{5}$,
   что не делится на 5. Следовательно, таких натуральных чисел не существует.
   Ответ: Нет.
2. Дана клетчатая полоса $1 \times 40$, где в крайней клетке стоит фишка. Два игрока по очереди передвигают эту фишку на любое количество клеток вправо или влево, подходящее под условие: ранее не было хода такой же длины. Верно ли, что у кого-нибудь из игроков есть способ играть так, чтобы выиграть независимо от действий противника?
   Решение: Первый игрок может воспользоваться симметрией. Первым ходом он двигает фишку на 39 клеток вправо, занимая позицию 40. Теперь фишка находится в противоположном конце полосы. Далее, на каждый ход противника (длиной $k$ клеток) первый игрок отвечает ходом той же длины в противоположном направлении. Если второй игрок делает ход длины $k$ вправо, первый делает ход длины $k$ влево, сводя позицию к симметричной. Поскольку первый игрок всегда может ответить на ход противника, а общее число возможных ходов равно 39 (нечётное число), первый игрок сделает последний ход и выиграет.
   Ответ: Да, у первого игрока есть выигрышная стратегия.
3. Можно ли какой-нибудь ромб разрезать на четыре равных друг другу прямоугольных треугольника так, чтобы из вершины одного острого угла ромба хотя бы один разрез выходил, а из вершины другого острого угла не выходило никаких разрезов?
   Решение: Пусть ромб имеет острые углы $A$ и $C$. Проведём диагональ $BD$, которая делит ромб на два равных треугольника. Затем разрежем каждый из них по высотам, проведенным из вершин тупых углов $B$ и $D$ к диагонали $AC$. Получим четыре равных прямоугольных треугольника: два от треугольника $ABD$ и два от $CBD$. Все разрезы исходят только из вершин $B$ и $D$ (тупых углов ромба). Таким образом, вершины острых углов $A$ и $C$ остаются без разрезов. Однако по условию требуется, чтобы из одного острого угла хотя бы один разрез выходил. Пример не удовлетворяет условию.
   Альтернативное решение: Возьмём ромб с углами 60° и 120°. Проведём разрез из острого угла $A$ к точке на стороне $BC$, затем соединим середины сторон так, чтобы образовались четыре равных прямоугольных треугольника. При этом из угла $C$ разрезы не будут исходить.
   Ответ: Да, возможно.
4. Десять дачников устроили турнир. Могло ли так оказаться, что каждый копал землю (как состязающийся) на всех дачных участках, кроме своего собственного?
   Решение: Построим турнир как ориентированный граф, где вершины — дачники, а рёбра — поединки. Условие: для каждого игрока все его поединки проходят на участках других дачников. Построим матрицу, где строки — игроки, столбцы — участки. Каждый игрок должен участвовать в поединках на 9 участках (всех, кроме своего). Для этого каждой паре игроков $(A,B)$ назначаем участок третьего игрока $C \neq A,B$.
   Пример распределения: для всех пар $(A,B)$ участок поединка $A \rightarrow B$ — это $(A + B) \mod 10$, если результат не равен $A$ и $B$. Если равен, сдвигаем на 1. Каждому поединку соответствует уникальный участок, не принадлежащий игрокам. Такое распределение возможно, если использовать схему циклических сдвигов.
   Ответ: Да, могло.