Школа №179 из 6 в 7 класс 2024 год

Собеседование в 7-й математический класс 179 школы

1. Сравните числа \[ 202420242024 \cdot 2023202320232023 \quad \text{и} \quad 202320232023 \cdot 2024202420242024. \]
2. Сколько существует шестизначных натуральных чисел, в записи которых найдутся две стоящие рядом одинаковые цифры?
3. Изначально в корзине было несколько яблок. Далее каждым ходом из корзины забирали либо $\frac{1}{3}$ всех имеющихся в ней яблок, либо $\frac{1}{7}$ всех имеющихся в ней яблок, либо $\frac{1}{12}$ всех имеющихся в ней яблок. После нескольких ходов в корзине осталось 26 яблок. Сколько яблок было в корзине изначально? (Укажите все возможные варианты, докажите что они возможны, и докажите что все другие невозможны.) Разумеется, после каждого хода количество яблок в корзине было целым числом.
4. Вася расставляет ферзей в клетках шахматной доски $8 \times 8$. Он заметил, что при любой расстановке всех ферзей, которые есть у Васи, найдётся 4 ферзя, которые стоят на 4 соседних клетках по горизонтали. Какое наименьшее количество ферзей могло быть у Васи?
5. На листке бумаги нарисовали 3 квадрата, размеры всех квадратов различаются. Все вершины этих квадратов отметили. Могло ли оказаться так, что отмечено меньше, чем 9 точек?
6. В таблице $179 \times 179$ каждая клетка окрашена в один из 2024 цветов. За один ход разрешается перекрасить все клетки некоторого столбца или некоторой строки в тот цвет, которого в этом столбце или в этой строке до перекрашивания было не меньше, чем клеток каждого из других цветов (если таких цветов несколько – можно выбрать любой). Верно ли, что при любой начальной раскраске можно за несколько ходов перекрасить всю таблицу в один цвет?