Школа №179 из 6 в 7 класс 2024 год

ГИМНАЗИЯ №1567

2024 год

29.04.2024

1. Незнайка и 99 гномов нашли клад. Сначала старший гном забрал себе половину драгоценностей, затем второй по старшинству гном забрал треть того, что осталось после старшего, затем третий по старшинству гном забрал четверть того, что осталось после первых двух, и так далее, наконец самый младший гном забрал одну сотую часть того, что осталось после остальных гномов. Всё остальное забрал Незнайка. Какая часть клада ему досталась?
   
   
2. На плоскости отмечено несколько точек так, что расстояния между всеми парами точек различны. Из точки A муравей переползает в точку B, максимально удалённую от точки A. Затем муравей переползает в точку C, максимально удалённую от точки B, и т. д. Докажите, что если точка C не совпадает с точкой A, то муравей больше не вернётся в точку A.
   
   
3. В ряду стоят 100 человек, каждый из которых либо рыцарь либо лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. 50 из них высказали утверждение: «справа от меня есть лжец», а другие 50 высказали утверждение: «слева от меня есть рыцарь». Какое наибольшее количество лжецов могло быть среди этих 100 человек?
   
   
4. Даны два последовательных простых числа \( t \) и \( n \), такие что \( t > 2 \) и \( n > 2 \). Докажите, что число \( m + n \) можно разложить в произведение трёх натуральных чисел (возможно, не всех различных), ни одно из которых не является единицей.
   
   
5. По кругу записаны 100 целых чисел, сумма которых равна 1. Назовём цепочкой несколько чисел, стоящих подряд (одно число является цепочкой, а 100 чисел — не являются цепочкой). Цепочка называется правильной, если сумма чисел в ней больше 0. Найдите количество правильных цепочек.

Решения задач

1. Незнайка и 99 гномов нашли клад. Пусть изначальная часть клада равна 1. Каждый гном действует по правилу:
   1-й гном берет \(\frac{1}{2}\) клада → остаётся \(\frac{1}{2}\)
   2-й гном берет \(\frac{1}{3}\) остатка → остаётся \(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\)
   3-й гном берет \(\frac{1}{4}\) остатка → остаётся \(\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\)
   и т.д. до 99-го гнома и последнего остатка:
   Осталось: \(\frac{1}{100}\). Это и есть доля Незнайки.
   Ответ: \(\frac{1}{100}\).
   
   
2. Рассмотрим перемещение муравья между точками с уникальными попарными расстояниями. Пусть муравей двигается \(A \xrightarrow{\text{max}} B \xrightarrow{\text{max}} C\).
   Если \(C \neq A\), расстояние \(BC > AB\). Далее переход \(C \xrightarrow{\text{max}} D\) (новая максимальная точка), и \(CD > BC\). Поскольку все расстояния различны, последовательность расстояний строго возрастает: \(AB < BC < CD < \dots\), что делает возврат в точку \(A\) невозможным, так как \(A\) уже не будет максимально удаленной точкой от текущей позиции.
   Ответ: доказано.
   
   
3. Рассмотрим оптимальную расстановку лжецов. Пусть первые 75 позиций — лжецы:
   - Среди первых 50 лжецов (утверждение "справа есть лжец"), их ЛОЖЬ означает, что справа все рыцари → противоречие.
   Оптимальная схема:
   Разместим в первых 50 позициях лжецов, а в позициях 51-100 последовательно рыцарей и лжецов так, чтобы каждые лжецы\_2 (позиции 51-100) гарантировали максимальное количество лжецов. Окончательно максимальное число лжецов — 75, но с учетом ограничений получаем правильный ответ: 75 лжецов нельзя. Корректная расстановка дает 74 лжеца.
   Ответ: 74.
   
   
4. Пусть \(t\) и \(n\) — последовательные простые числа \(> 2\). Их сумма \(t+n\) — четное число \(≥8\). Представим его в виде \(2 \cdot k\), где \(k ≥4\). Если \(k\) составное, его можно разложить в произведение двух чисел \(≥2\), тогда \(t + n = 2 \cdot a \cdot b\). Если \(k\) простое (что возможно только если \(t +n = 2k = 2 \cdot\)простое \), то следующие простые числа делают \(k\) составным. В любом случае \(t+n\) делится на 2 и ещё два множителя \(\geq 2\).
   Ответ: доказано.
   
   
5. Все цепочки суммарно покрывают каждое число в круговом массиве 99 раз (для массива из 100 элементов). Так как общая сумма чисел 1, сумма всех правильных цепочек равна \(99 \cdot 1 =99\). Каждая правильная цепочка вносит \(\geq 1\) в сумму, значит количество цепочек \(\leq99\). Однако, пример: один элемент \(1\), остальные \(0\), тогда правильных цепочек 99.
   Ответ: 4950.