Школа №179 из 6 в 7 класс 2024 год

ГИМНАЗИЯ №1567

2024 год

22.04.2024

1. Найдите все тройки натуральных чисел $x$, $y$ и $z$, удовлетворяющие уравнению: \[ x + \frac{1}{y + \frac{1}{z}} = \frac{10}{7} \]
   
   
2. По горной тропинке друг за другом идут 30 путешественников: 15 эльфов и 15 гномов. Докажите, что можно так выбрать 10 путешественников подряд, что среди них будет ровно 5 эльфов и 5 гномов.
   
   
3. Петя загадал два последовательных натуральных числа, а Вася — два последовательных чётных числа. Потом Петя перемножил два своих числа, а Вася перемножил два своих числа. Могло ли так получиться, что эти два произведения оказались равными?
   
   
4. В таблице $8 \times 8$ каждая клетка окрашена в один из нескольких цветов. При этом у каждой клетки есть не меньше двух соседних клеток такого же цвета. Клетки считаются соседними, если они имеют общую сторону. Какое наибольшее количество цветов могло быть использовано при раскраске?
   
   
5. По кругу разложены 179 карточек. На каждой карточке записано одно натуральное число. При этом у любых двух соседних карточек одно из чисел делится на другое. Докажите, что найдутся две несоседние карточки, у которых тоже одно из чисел делится на другое.

Решения задач

1. Найдите все тройки натуральных чисел $x$, $y$ и $z$, удовлетворяющие уравнению: \[ x + \frac{1}{y + \frac{1}{z}} = \frac{10}{7} \] Решение: Преобразуем уравнение: \[ x = \frac{10}{7} - \frac{1}{y + \frac{1}{z}} \] Так как $x$ натуральное, значение $\frac{1}{y + \frac{1}{z}}$ должно быть дробным числом вида $\frac{a}{7}$, где $a < 10$. Возможные варианты: При $x=1$: \[ 1 + \frac{1}{y + \frac{1}{z}} = \frac{10}{7} \implies \frac{1}{y + \frac{1}{z}} = \frac{3}{7} \implies y + \frac{1}{z} = \frac{7}{3} \] Проверяем целые $y$: - Если $y=2$: $\frac{1}{z} = \frac{7}{3} - 2 = \frac{1}{3} \implies z=3$. При $x \ge 2$ правая часть уравнения станет не больше $\frac{10}{7} - \frac{1}{1 +\frac{1}{1}} = \frac{10}{7} - \frac{1}{2} < 1$, что противоречит натуральности $x$. Ответ: $(1, 2, 3)$.
   
   
2. По горной тропинке друг за другом идут 30 путешественников: 15 эльфов и 15 гномов. Докажите, что можно так выбрать 10 путешественников подряд, что среди них будет ровно 5 эльфов и 5 гномов. Решение: Рассмотрим все группы из 10 идущих подряд путешественников. Всего таких групп 21 (с 1-10 до 21-30). Обозначим количество эльфов в каждой группе как $k_i$ ($i$ — номер группы). Рассмотрим последовательность $k_1, k_2, ..., k_{21}$. При переходе к следующей группе, количество эльфов изменяется максимум на ±1. Так как первая группа (1-10) содержит некоторое число эльфов, а последняя (21-30) — 15 - (количество эльфов в первых 20) = $15 - (15 - k_{21}) = k_{21}$, то последовательность $k_i$ проходит через все значения от $k_1$ до $k_{21}$. Так как общее число эльфов 15, среди этих 21 группы должно существовать две группы с разным числом эльфов. Тогда по теореме о промежуточном значении, существует группа с ровно 5 эльфами (и соответственно 5 гномами).
   
   
3. Петя загадал два последовательных натуральных числа, а Вася — два последовательных чётных числа. Потом Петя перемножил два своих числа, а Вася перемножил два своих числа. Могло ли так получиться, что эти два произведения оказались равными? Решение: Пусть Петины числа $n$ и $n+1$, произведение $n(n+1)$. Васины числа $2m$ и $2m+2$, произведение $4m(m+1)$. Предположим равенство: \[ n(n+1) = 4m(m+1) \] Левую часть можно представить как среднее арифметическое квадратов: $(n+\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$. Правая часть кратно 4. Проверяя примеры: - При $m=2$: $4*2*3=24$. Для Пети: нет целых $n$, где $n(n+1)=24$ (4*5=20, 5*6=30). - При $m=1$: $4*1*2=8$. Для Пети: 2*3=6≠8. Ответ: Нет, такое невозможно.
   
   
4. В таблице $8 \times 8$ каждая клетка окрашена в один из нескольких цветов. При этом у каждой клетки есть не меньше двух соседних клеток такого же цвета. Какое наибольшее количество цветов могло быть использовано при раскраске? Решение: Разобьём таблицу на квадраты 2×2. В каждом таком квадрате все клетки одного цвета. Тогда каждая клетка имеет двух горизонтальных и двух вертикальных соседей своего цвета внутри квадрата. Общее количество цветов: \[ \left(\frac{8}{2}\right)^2 = 16. \] Увеличение количества цветов приведёт к нарушению условия соседства. Проверим альтернативные раскраски с бóльшим числом цветов — они требуют увеличения разрозненных областей, что противоречит условию «не менее двух соседей одинакового цвета». Ответ: 16.
   
   
5. По кругу разложены 179 карточек. На каждой карточке записано одно натуральное число. При этом у любых двух соседних карточек одно из чисел делится на другое. Докажите, что найдутся две несоседние карточки, у которых тоже одно из чисел делится на другое. Решение: Рассмотрим карточки с нечётными номерами (1,3,5,...,179). Всего их 90. Заметим, что любые две соседние из этих карточек (например, 1 и 3) не являются соседними в общем круге. По условию для карточек 1-2, 2-3, 3-4, ..., 179-1 одно число делится на другое. Если в последовательности нечётных карточек есть делящиеся попарно — утверждение доказано. Иначе все числа на нечётных карточках попарно взаимно просты, что противоречит их расположению между числами, имеющими общие делители. Таким образом, обязательно найдутся две несоседние карточки с делением.