Школа №179 из 6 в 7 класс 2024 год

ГИМНАЗИЯ №1567

2024 год

13.05.2024

1. На доске написано число 2024. Два игрока по очереди уменьшают число на любую из его ненулевых цифр. Проигрывает тот, кто получит однозначное число. Кто из игроков сможет выиграть независимо от ходов соперника?
2. В стране 11 городов, некоторые города соединены дорогами (каждая дорога соединяет ровно два города, между всякими двумя городами не более одной дороги). Для всякой тройки городов количество дорог между её городами не равно двум. Известно, что есть 2 города, между которыми нет дороги. Каково наибольшее возможное кол-во дорог в стране?
3. Лабиринт имеет вид 5 крутовых коридоров, сходящихся в центральном зале (см. рисунок). Длины коридоров равны 1, 3, 9, 27 и 81 м. Роботы обходят коридоры в порядке возрастания длины от меньшего к большему, всегда возвращаясь в центр. После самого большого коридора робот продолжает обход начиная с самого маленького коридора. В две произвольные точки лабиринта помещают двух роботов, один из которых обходит каждый коридор по часовой стрелке, а другой – против часовой стрелки. Докажите, что в какой-то момент роботы встретятся.
   
   
   
4. На доску выписаны натуральные числа от 1 до \( n \) (каждое число записано 1 раз). Оказалось, что среди любых 10 выписанных чисел найдутся три таких, что сумма любых двух из них больше третьего. Каково наибольшее возможное значение \( n \)?
5. На доске \( 7 \times 7 \) стоят семь не бьющих друг друга ладей семи цветов радуги. Каждое поле, занятое ладьёй, красится в цвет ладьи. Для каждого свободного поля вычисляется расстояние до атакующих его ладей, и если эти расстояния различны, то поле красится в цвет ближайшей ладьи. Если же две ладьи, атакующие поле, равновелики, то поле делится диагонально пополам, и каждая половина красится в цвет одной из атакующих ладей. Найдите все варианты того, какова красивая площадь доски.

Решения задач

1. На доске написано число 2024. Два игрока по очереди уменьшают число на любую из его ненулевых цифр. Проигрывает тот, кто получит однозначное число. Кто из игроков сможет выиграть независимо от ходов соперника?
   Решение: Анализируем позиции игры:
   • Если число ≤9 — проигрыш (после хода становится однозначным).
   • Позиции 10-18: всегда можно свести к ≤9 за один ход.
   • Выигрышные позиции — числа с нулём в разрядах (нельзя уменьшать на 0).
   • 2024 содержит цифры 2,0,2,4. Первый игрок может уменьшить на 2 → 2022. Затем повторяет действие за соперником, сохраняя число чётным с нулём. В итоге ловит соперника на невыигрышной позиции.
   Ответ: Первый игрок имеет выигрышную стратегию.
   
   
2. В стране 11 городов. Максимальное количество дорог без троек с двумя дорогами:
   Решение: Граф не должен содержать ни одного подграфа из трёх вершин с двумя рёбрами. При этом есть хотя бы одно отсутствующее ребро (по условию). Эквивалентно запрету линейных троек. Максимум Рёбер:
   • Полный граф с 11 вершинами: $\frac{11·10}{2} = 55$ дорог.
   • Но запрещены тройки с двумя дорогами.
   • Решение: полный граф минус все возможные пары между городами.
   • Лучшая структура — цикл без диагоналей: эйлеров граф с рёбрами $11-1 = 10$ дорог.
   Ответ: Максимальное количество дорог — 36 (теорема Турана для условий).
   
   
3. Лабиринт с роботами. Доказательство встречи:
   Решение:
   • Длины коридоров: 1,3,9,27,81 — геометрическая прогрессия.
   • Период обхода: сумма длин пяти коридоров вперед и назад → модуль операции цикличности.
   • Координаты роботов как функции времени: $r1(t) ≡ t \mod S$, $r2(t) ≡ -t \mod S$, где $S=1+3+9+27+81=121$.
   • Пересечение произойдёт при $t ≡ -t \mod S$ → $2t ≡ 0 \mod S$ → $t = S/2$, но так как S=121 нечётно, пересечение произойдёт через промежуток времени равный S.
   Ответ: Встреча произойдет при полном обходе лабиринта.
   
   
4. Максимальное n для условий суммы чисел:
   Решение: Условие задачи соответствует теореме Эрдёша–Секереша. Наибольшее n должно быть таким, чтобы в любом подмножестве размера 10 найдутся тройки чисел, удовлетворяющих неравенству треугольника.
   Последовательность чисел должна быть сильно возрастающей. Рассмотрим числа Фибоначчи:
   • 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89...
   • В любой десятке сумма двух меньших чисел превышает третье.
   • Максимальное n для десяти чисел — 89, но ограничения задачи требуют n ≤ 10^th элемент.
   Ответ: Наибольшее возможное n = 144.
   
   
5. Красивая площадь доски 7×7 с ладьями:
   Решение: Анализируем расположение ладей, учитывая правило ближайшего расстояния.
   • Ладьи не бьют друг друга — одна на строку и столбец.
   • Свободные поля красятся по минимальному расстоянию до ладьи. Одна ладья контролирует строку и столбец.
   • Если ладьи расположены на диагонали, поля получают цвета по минимальному расстоянию, образуя симметричные зоны.
   • Максимальная красивая площадь достигается равномерным распределением цветов, итого площадей будет 7 цветов + дихотомия на пересечении.
   Ответ: Возможная красивая площадь — 49 клеток (все поля окрашены).