Школа №179 из 6 в 7 класс 2024 год

ГИМНАЗИЯ №1567

2024 год

07.05.2024

1. Найдите сумму цифр числа \( 4\ldots4 \cdot 9\ldots9 \) (в первом числе 2024 четвёрки, а во втором числе 2024 девятки).
2. Некоторые из клеток таблицы \( 5 \times 5 \) закрашены в красный цвет, остальные — в синий. Докажите, что найдутся 2 строки и 2 столбца, на пересечении которых находятся 4 клетки одного цвета.
3. Выпуклый \( n \)-угольный торт разрезан диагоналями на части. Докажите, что в каждой части не более \( n \) сторон.
4. Несколько человек, каждый из которых является рыцарем или лжецом, встали в круг. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Каждый сказал про своего соседа справа, является ли он рыцарем. Сторонний наблюдатель на основании всех высказываний смог однозначно определить, какую долю от всех людей в кругу составляют рыцари. Чему может быть равна эта доля? (Найдите все варианты, докажите, что они возможны и докажите, что другие невозможны).
5. У каждого из 59 участников командной олимпиады есть не менее 30 друзей среди остальных участников (дружба всегда взаимна). Для участия в олимпиаде всем ученикам нужно разделиться на группы из 2 или 3 человек. Докажите, что они смогут сделать это так, чтобы каждый дружил со всеми в своей группе.

Решения задач

1. Найдите сумму цифр числа \( 4\ldots4 \cdot 9\ldots9 \) (в первом числе 2024 четвёрки, а во втором числе 2024 девятки). Решение: Рассмотрим умножение чисел для меньших значений:
   \(4 \cdot 9 = 36\) (сумма цифр 9)
   \(44 \cdot 99 = 4356\) (сумма цифр 18)
   \(444 \cdot 999 = 443556\) (сумма цифр 27)
   Видна закономерность: сумма цифр равна \(9k\), где \(k\) — количество четвёрок. Для числа из 2024 четверок и девяток:
   Сумма цифр \(= 9 \cdot 2024 = 18216\)
   Ответ: 18216.
2. Некоторые из клеток таблицы \( 5 \times 5 \) закрашены в красный цвет, остальные — в синий. Докажите, что найдутся 2 строки и 2 столбца, на пересечении которых находятся 4 клетки одного цвета. Решение: В каждом столбце 5 клеток. По принципу Дирихле в столбце есть хотя бы \(\lceil\frac{5}{2}\rceil = 3\) клетки одного цвета. Рассматривая 5 столбцов, получим \(3 \cdot 5 = 15\) позиций. Среди 5 строк по принципу Дирихле найдутся две строки, содержащие минимум \(\lceil\frac{15}{5}\rceil = 3\) одного цвета. В этих строках два столбца совпадают по цвету, образуя квадрат \(2 \times 2\) одного цвета.
3. Выпуклый \( n \)-угольный торт разрезан диагоналями на части. Докажите, что в каждой части не более \( n \) сторон. Решение: При разрезании диагоналями многоугольника каждая новая грань образована сторонами исходного многоугольника и диагоналями. Максимальное количество сторон фигуры соответствует количеству вершин исходного многоугольника, так как все диагонали соединяют вершины \( n \)-угольника. Любая замкнутая область, образованная диагоналями, не может иметь сторон больше, чем вершин в исходном \( n \)-угольнике.
4. Несколько человек, каждый из которых является рыцарем или лжецом, встали в круг. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Каждый сказал про своего соседа справа, является ли он рыцарем. Сторонний наблюдатель на основании всех высказываний смог однозначно определить, какую долю от всех людей в кругу составляют рыцари. Чему может быть равна эта доля? Решение: Рассмотрим возможные конфигурации:
   1. Все рыцари: Каждый говорит «рыцарь» → противоречий нет. Доля рыцарей \(1\).
   2. Все лжецы: Каждый говорит «лжец» для соседа, но сосед — лжец → лжец говорит правду → противоречие.
   3. Чередующиеся Рыцарь-Лжец: Каждый рыцарь говорит «лжец», каждый лжец говорит «рыцарь». Однозначно определяется при четном \(n\). Доля рыцарей \(\frac{1}{2}\).
   4. Другие доли: Если доля не \(\frac{1}{2}\) или \(1\), возникает невозможность однозначного восстановления.
   Ответ: \(\boxed{1}\) и \(\boxed{\dfrac{1}{2}}\).
5. У каждого из 59 участников командной олимпиады есть не менее 30 друзей среди остальных участников (дружба всегда взаимна). Для участия в олимпиаде всем ученикам нужно разделиться на группы из 2 или 3 человек. Докажите, что они смогут сделать это так, чтобы каждый дружил со всеми в своей группе. Решение: Построим граф, где вершины — участники, ребра — дружба. Минимальная степень вершины \(30 \geq \frac{59-1}{2}\). По теореме Дирака граф гамильтонов. Цикл из 59 вершин можно разбить на группы по 2 или 3, гарантируя дружбу внутри групп. Альтернативно, жадный алгоритм: объединение соседей, учитывая высокую степень связности.