Школа №179 из 6 в 7 класс 2024 год

ГИМНАЗИЯ №1567

2024 год

07.05.2024

1. Сколько есть дробей с числителем 2023 и натуральным знаменателем, больших \( \frac{1}{2024} \) и меньших \( \frac{1}{2023} \)?
2. Пять гномов и три эльфа друг за другом шагают по горной тропинке. Сколько способов есть у Гэндальфа выбрать пятерых из них и расставить их так, чтобы никакие два гнома не шли друг за другом и никакие два эльфа не шли друг за другом?
3. В Разноцветной стране 179 городов, каждые два соединены дорогой. Можно ли раскрасить все дороги в 178 цветов так, чтобы из каждого города выходили дороги 178 различных цветов?
4. Можно ли отметить шесть узлов клетчатой плоскости так, чтобы из каждой отмеченной точки были видны ровно 4 из остальных пяти? (Из одной отмеченной точки видна другая в точности тогда, когда на отрезке, соединяющем эти две точки, нет других отмеченных точек.)
5. Петя и Вася играют в крестики-нолики на полоске клетчатой бумаги \(1 \times 150\) клеток. Своим ходом Петя ставит два крестика подряд, а Вася — три нолика подряд. Начинает Петя, проигрывает тот, кто не может сделать ход. Может ли кто-то из ребят гарантировать себе победу?
6. На соревнованиях 37 роботов помещают в длинный коридор. Все роботы стартуют от одной стены и едут по прямой до противоположной стены, там разворачиваются и едут обратно и так далее. При этом второй робот движется вдвое быстрее первого, третий — вдвое быстрее второго, $\ldots$, 37-й — вдвое быстрее 36-го. Может ли так случиться, что все роботы снова окажутся на одной прямой, но не в том положении, в котором они начинали движение?

Решения задач

1. Сколько есть дробей с числителем 2023 и натуральным знаменателем, больших \( \frac{1}{2024} \) и меньших \( \frac{1}{2023} \)?
   Решение: Условие задачи задает неравенства: \( \frac{1}{2024} < \frac{2023}{d} < \frac{1}{2023} \). Преобразуем их:
   \( 2023 \cdot 2023 < d < 2023 \cdot 2024 \).
   Натуральные значения \( d \) лежат в интервале \( (2023^2 + 1; 2023 \cdot 2024 - 1) \).
   Количество таких чисел: \( (2023 \cdot 2024 - 1) - (2023^2 + 1) + 1 = 2023 \cdot 2024 - 2023^2 - 1 = 2023(2024 - 2023) - 1 = 2023 - 1 = 2022 \).
   Ответ: 2022.
2. Пять гномов и три эльфа друг за другом шагают по горной тропинке. Сколько способов есть у Гэндальфа выбрать пятерых из них и расставить их так, чтобы никакие два гнома не шли друг за другом и никакие два эльфа не шли друг за другом?
   Решение: Сначала выберем три гнома и двух эльфов или два гнома и трех эльфов. Для каждого варианта:
   Случай 1: 3 гнома из 5 (\( C(5,3) \)) и 2 эльфа из 3 (\( C(3,2) \)). Чередование должно начинаться с гнома: ГЭГЭГ. Переставляем гномов (\( 3! \)) и эльфов (\( 2! \)).
   Случай 2: 2 гнома из 5 (\( C(5,2) \)) и 3 эльфа (\( C(3,3) \)). Чередование начинается с эльфа: ЭГЭГЭ. Переставляем гномов (\( 2! \)) и эльфов (\( 3! \)).
   Общее количество способов: \[ C(5,3) \cdot C(3,2) \cdot 3! \cdot 2! + C(5,2) \cdot C(3,3) \cdot 2! \cdot 3! = 10 \cdot 3 \cdot 6 \cdot 2 + 10 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 6 = 480 \].
   Ответ: 480.
3. В Разноцветной стране 179 городов, каждые два соединены дорогой. Можно ли раскрасить все дороги в 178 цветов так, чтобы из каждого города выходили дороги 178 различных цветов?
   Решение: Полный граф с 179 вершинами требует раскраски ребер таким образом, чтобы ребра из каждой вершины имели уникальные цвета. По теореме Визинга, хроматический индекс полного графа равен максимальной степени вершины. Здесь степень каждой вершины 178, значит, ребра можно раскрасить в 178 цветов.
   Ответ: Да, можно.
4. Можно ли отметить шесть узлов клетчатой плоскости так, чтобы из каждой отмеченной точки были видны ровно 4 из остальных пяти?
   Решение: Пример такого расположения — отметить точки в вершинах двух прямоугольников (1×2 и 1×3), расположенных вертикально и горизонтально так, чтобы центры линий совпадали. Каждая точка видит ровно 4 другие без преград на линиях.
   Ответ: Да, можно.
5. Петя и Вася играют в крестики-нолики на полоске клетчатой бумаги \(1 \times 150\). Своим ходом Петя ставит два крестика подряд, а Вася — три нолика подряд. Начинает Петя, проигрывает тот, кто не может сделать ход. Может ли кто-то из ребят гарантировать себе победу?
   Решение: Поле длины 150 делится на блоки по 5 клеток. За каждый цикл Петя занимает 2 клетки, Вася 3 — суммарно 5. Таких циклов 30. Последний ход Васи займет клетки 148-150, после чего Петя не сможет сделать ход. Следовательно, Вася гарантированно побеждает.
   Ответ: Да, Вася.
6. На соревнованиях 37 роботов помещают в длинный коридор. Все роботы стартуют от одной стены и едут по прямой до противоположной стены, там разворачиваются и едут обратно и так далее. Второй робот движется вдвое быстрее первого, третий — вдвое быстрее второго, \ldots, 37-й — вдвое быстрее 36-го. Может ли так случиться, что все роботы снова окажутся на одной прямой, но не в том положении, в котором они начинали движение?
   Решение: Рассмотрим момент, когда самый медленный робот достигает противоположной стены через время \( T = \frac{L}{v} \). К этому времени все остальные роботы успевают совершить несколько циклов движения и оказываются в различных точках коридора. Однако после \( T \) все роботы синхронизируются на противоположной стене коридора, находясь вне исходной позиции.
   Ответ: Да, может.