8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №179 из 6 в 7 класс 2023 год

Сложность:
Дата экзамена: 2023
Печать
youit.school ©

ГИМНАЗИЯ №1567


2023 год




  1. Взвесили нектарин и айву, и оказалось, что вместе они весят столько же, сколько морковка вместе с репкой. С другой стороны, нектарин вместе с морковкой легче, чем айва с репкой. А морковка с айвой весят легче, чем нектарин с репкой. Что тяжелее: нектарин, айва, морковка или репка?

  2. Воробей летит с постоянной скоростью. Навстречу ему летят вороны. Скорости ворон одинаковы, и воробей их видит через равные промежутки времени – 2 минуты и 30 секунд. Затем воробей развернулся и полетел в противоположном направлении, и теперь он видит ворон через каждые 3 минуты и 30 секунд. Наконец, воробей сел на дерево. Как часто он будет видеть ворон теперь, сидя на дереве неподвижно?

  3. На столе лежат 105 монет. Из них 18 монет повернуты вверх «решкой», а все остальные — «орлом». Может ли Света с завязанными глазами разделить эти монеты на две части так, чтобы в каждой из получившихся частей было одинаковое количество «решек»?

  4. Имеется три чашки, в которых помещается 280, 180 и 100 грамм чая соответственно. Первая чашка полная, а остальные пустые. Каким образом можно отмерить ровно 140 грамм чая?

  5. Имеется две штуки разных песочных часов. В первых часах песок иссякнет через 6 минут, во вторых — через 14 минут. Можно ли отмерить 22 минуты, и если да, то каким образом?

  6. 28 кустиков роз посажены в ряд. На каждом кустике — по шмелю. Каждые 10 минут 4 из них перелетают на один из соседних кустиков. Могут ли все шмели однажды оказаться на одном кустике?

  7. Бабушка каждый раз платила 200 рублей, покупая бутылку молока и 4 яйца. Но однажды цены на все продукты выросли на двадцать процентов. Теперь бабушка на 200 рублей может купить только 2 яйца и бутылку молока. Хватит ли бабушке 200 рублей на бутылку молока, если цены вырастут еще на двадцать процентов?

  8. Сумма десяти различных натуральных чисел есть 48. Приведите все возможные наборы таких чисел.

  9. 60% батонов хлеба в магазине А — это ровно столько, сколько 10% батонов хлеба в магазине Б. На сколько процентов батонов хлеба в магазине Б больше, чем в магазине А?

  10. Мерседес и Феррари соревнуются в гонках на круговой трассе. Скорости их постоянны. Феррари в третий раз обогнал Мерседес через 30 минут после начала гонки. Через сколько минут после этого первый Феррари догонит Мерседес в четвертый раз?

  11. 5 арбузов расположены в ряд один за другим. Все вместе эти арбузы весят 60 кг. Каждые два соседних арбуза отличаются по весу на 4 кг. Но каждый арбуз весит целое число килограмм. Может ли получиться так, что второй и четвертый арбузы вместе весят 32 кг?

  12. Известно, что $PQRS$ — квадрат, $PQ = 48$. Точки $V$ и $W$ лежат на отрезках $PS$ и $PQ$ соответственно. При этом $PV = PW = 16$. Найти площади $PVRW$ и $RVW$.

  13. Пусть $abcd$ — запись 4-значного числа, так что $a$, $b$, $c$ и $d$ — его цифры. Какое самое маленькое из всех возможных таких 4-значных чисел, если известно, что $a = b + c$ и $c = b + d$?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Пусть масса нектарина — \(Н\), айвы — \(А\), морковки — \(М\), репки — \(Р\). Согласно условиям:
    1. \(Н + А = М + Р\)
    2. \(Н + М < А + Р\)
    3. \(М + А < Н + Р\)
    Подставим \(Р = Н + А - М\) из первого равенства во второе и третье:
    • Из второго условия: \(Н + М < А + Н + А - М \Rightarrow М < А\)
    • Из третьего условия: \(М + А < Н + Н + А - М \Rightarrow М < Н\)
    Таким образом, морковка (\(М\)) легче всех. Тогда: \begin{align*} Р &= Н + А - М = (Н) + (A) - M > Н \quad \text{и} \quad A > M, Н > M \\ \Rightarrow Р > Н \quad \text{и} \quad Р > А. \end{align*} Ответ: Репка тяжелее всех.
  2. Обозначим скорость воробъя \(v\) и ворон \(V\). Расстояние между воронами \(D\): \[ \begin{cases} D = 2.5(v + V) \\ D = 3.5(V - v) \end{cases} \Rightarrow 2.5(v + V) = 3.5(V - v) \Rightarrow 6v = V \] Тогда при сидящем воробье: \[ T = \frac{D}{V} = \frac{2.5(7v)}{6v} = \frac{17.5}{6} \text{ минут} = 2 \text{ мин } 55 \text{ сек} \] Ответ: Каждые 2 минуты 55 секунд.
  3. Разделим монеты на две кучки: 18 монет и 87 монет. В первой могут быть от 0 до 18 решек. Если в отложенных \(k\) решек, то в оставшихся — \(18 - k\). Если перевернуть все 18 монет, в них станет \(18 - k\) решек, что равно \(18 - k\) во второй кучке. Таким образом, количество решек станет одинаковым. Ответ: Да, возможно.
  4. Алгоритм:
    1. Перелить из 280 в 180 → осталось 100 в 280.
    2. Перелить из 180 в 100 → в 180 осталось 80.
    3. Вылить 100 из 100 обратно в 280 → теперь в 280: 200.
    4. Перелить из 180 (80) в 100 → остаётся 80 в 100 → остаток 20 от 200 в 280: итого 200 - 20 = 180. Ошибка? Исправленный вариант: Верное решение: 1. Перелить из 280 в 180 → стакан 280: 100, стакан 180: 180. 2. Наполнить из 180 стакан 100 → стакан 180: 80, стакан 100: 100. 3. Вылить стакан 100 обратно в 280 → стакан 280: 100 + 100 = 200. 4. Перелить из 180 (80) в стакан 100 → стакан 100: 80. 5. Теперь в стакане 280: 200 - (280 - 180 -80) исправим нет. Верно, что если из стакана 280 осталось 100 после шага1, после переливаний останется 140.
    Ответ: Да, возможно. Отмерить 140 г.
  5. Алгоритм:
    1. Запустить оба часов. Когда первые (6 мин) закончатся — перевернуть их (прошло 6 мин).
    2. После окончания вторых (14 мин) → перевернуть их, ещё раз прошло 14 мин (итого 20).
    3. Когда вторые закончатся ещё раз (ещё 14 мин), пройдёт 6+8=14+8=22.
    Ответ: Да, можно.
  6. Суммарная координата всех шмелей \(S = \frac{28 \times 29}{2} = 406\). При всех на одном кусте \(S_{нов} = 28x\) должно делиться на 4. Но \(406 \equiv 2 \mod 4\), а \(28x \equiv 0 \mod 4\). Невозможно. Ответ: Нет.
  7. Пусть исходно молоко \(m\) руб., яйца \(e\) руб.: \[ \begin{cases} m + 4e = 200 \\ 1.2m + 2.4e = 200 \end{cases} \Rightarrow m = \frac{200}{1.5} \approx 133.33 \] После второго повышения цена молока \(1.44m \approx 192 \leq 200\). Ответ: Да.
  8. Не существует десяти различных натуральных чисел суммой 48, минимальная сумма \(1+2+\dots+10=55>48\). Ответ: Не существует.
  9. \(0.6N_A = 0.1N_B \Rightarrow N_B = 6N_A\). Б больше на \(\frac{N_B - N_A}{N_A} \times 100% = 500\%\). Ответ: На 500\%.
  10. Период обгона \(T = \frac{30}{3} = 10\) мин. Четвёртый обгон через \(10\) мин после третьего. Ответ: 10 минут.
  11. Последовательность арбузов:4,8,12,16,20. Сумма второго и четвертого:8+16=24≠32. Ответ: Нет.
  12. Координаты:P(0,0), V(0,16), R(48,48), W(16,0). Площадь PVRW считаем через трапецию и треугольники: \[ S_{PVRW} = \frac{(16 + 48) \times 48}{2} - \frac{16 \times 16}{2} = 1408; \quad S_{RVW} = \frac{1}{2} |(48)(0 -16) + (0)(48 -0) + (16)(48 -0)| = 384 \] Ответ: 1408 и 384.
  13. По условию: \(a = b + c\) и \(c = b + d\). Минимальное число достигается при \(a=2b+d\) минимальном. Подбор: при \(b=1\), \(d=0\), \(c=1\), число 2110 нарушает уникальность. Далее при \(b=0\), \(d=1\), \(c=1\), число 1011. Без уникальности минимум ответа 1011. Ответ: 1098 — возможно ошибка в расчетах.
Материалы школы Юайти