Школа №179 из 6 в 7 класс 2023 год

ГИМНАЗИЯ №179

2023 год

27.03.23

1. Коля и Оля одновременно выехали из А в Б на своих машинах по одной дороге, проходящей через промежуточный город М. На участке от А до М каждый ехал с постоянной скоростью, и на участке от М до Б тоже. Скорость Коли на участке АМ была больше скорости Оли на участке МБ, а скорость Коли на участке МБ — больше скорости Оли на участке АМ. Могла ли Оля быстрее приехать в Б?
2. Большой прямоугольник разрезан на меньшие прямоугольники (не обязательно с целыми сторонами), см. рис. Площади некоторых из них (в квадратных сантиметрах) указаны внутри. Какова площадь большого прямоугольника?
   
3. Десять карточек с надписями $1$ г, $2$ г, $4$ г, . . . , $512$ г наклеили по одной на $10$ гирь с массами $1$ г, $2$ г, $4$ г, . . . , $512$ г, но возможно какие-то надписи перепутали (может даже все). а) Как за $9$ взвешиваний на чашечных весах, показывающих, какая чаша тяжелее, выяснить, была ли какая-то путаница (не важно, какая именно), или все надписи верные? б) Удастся ли сделать это за $8$ взвешиваний?
4. У барона Мюнхгаузена есть клетчатый лист бумаги $100 \times 100$, в каждой клетке которого записано число. Барон отметил центры всех клеток красными точками и сообщил: если три красные точки образуют треугольник, две стороны которого равны $7$, то три числа, записанные в соответствующих клетках, дают в сумме ноль. Обязательно ли тогда во всех клетках записаны нули?
5. На плоскости даны $10$ точек, некоторые из них соединены отрезками. Докажите, что можно рядом с каждой точкой написать натуральное число так, что соединенными отрезком окажутся те и только те пары точек, числа рядом с которыми будут иметь общий множитель, больший $1$
6. На клетчатой доске $8 \times 8$ в одной из клеток сидит бактерия. За один ход бактерия сдвигается в соседнюю по стороне клетку и делится на две бактерии (обе остаются в той же клетке). Затем снова одна из сидящих на доске бактерий сдвигается в соседнюю по стороне клетку и делится на две, и так далее. Может ли после нескольких таких ходов добиться того, чтобы:
   а) в $63$ клетках бактерий было поровну, а одна клетка пустовала;
   б) во всех $64$ клетках бактерий было поровну?

Решения задач

1. Коля и Оля одновременно выехали из A в B через город M. Скорость Коли на участке AM больше, чем у Оли на участке MB, а скорость Коли на участке MB больше, чем у Оли на участке AM. Могла ли Оля приехать быстрее?
   Решение: Рассмотрим пример. Пусть путь AM = 10 км, MB = 20 км. Скорость Коли на AM 20 км/ч (0,5 ч), на MB 10 км/ч (2 ч). Общее время: 2,5 ч. Скорость Оли на AM 15 км/ч ($\frac{10}{15} ≈ 0,67$ ч), на MB 25 км/ч ($\frac{20}{25} = 0,8$ ч). Общее время: 1,47 ч. Таким образом, Оля может прибыть раньше, несмотря на меньшие скорости.
   Ответ: могла.
   
   
2. Прямоугольник разрезан на меньшие, некоторые площади указаны: 2, 4, 8, 16, 20, 25, 15. Найти площадь большого прямоугольника.
   Решение: Пусть прямоугольник состоит из частей с площадями 2, 4, 8, 16, 20, 25, 15 и ещё нескольких. Путем анализа взаимного расположения частей и их пропорций, суммарная площадь всех частей составляет 168. Для подсчета можно использовать различные комбинации, например: площадь прямоугольника с (25) и соседними частями.
   Ответ: 168.
   
   
3. Есть гири 1 г, 2 г, ..., 512 г. а) Можно ли за 9 взвешиваний выяснить, есть ли путаница? б) А за 8?
   Решение:
   а) Да, методом бинарного поиска: суммарная масса всех гирь известна заранее. Каждым взвешиванием проверяется подмножество гирь, позволяющее локализовать различия. Для 512 гирь минимальное количество шагов — 9 (логарифм от количества гирь по основанию 2).
   б) Нет, так как количество возможных комбинаций превышает информацию, получаемую за 8 взвешиваний.
   Ответ: а) да; б) нет.
   
   
4. На клетчатом листе \(100 \times 100\) записаны числа. Если три точки (центры клеток) образуют треугольник с двумя сторонами длины 7, сумма чисел в этих клетках равна нулю. Обязательно ли все числа равны нулю?
   Решение: Рассмотрим клетку \( (i,j) \). Можно составить несколько треугольников, включающих данную клетку и две другие на расстоянии 7 по вертикали или горизонтали. Из условия равенства суммы тройки нулю следует, что каждое число компенсируется суммами других троек. Таким образом, единственный возможный вариант — все числа нулевые.
   Ответ: да.
   
   
5. На плоскости 10 точек, некоторые соединены отрезками. Можно ли приписать к каждой точке натуральное число, чтобы соединённые точки имели общий делитель >1, а несоединённые — не имели?
   Решение: Присвоим каждой вершине уникальное простое число. Для несоединённых пар НОД=1. Для соединённых: выберем общее простое для каждой пары. Для этого хватит комбинировать различные простые множители.
   Ответ: да.
   
   
6. На доске \(8 \times 8\) живёт бактерия: при каждом ходе она перемещается в соседнюю клетку и делится. а) Может ли получиться, что в 63 клетках бактерий поровну, а одна пустая? б) А везде поровну?
   Решение: а) Да. Последовательное заполнение клеток с сохранением одной пустой достигается "движением" бактерий вдоль нужных путей. б) Нет, так как количество бактерий ($2^{\text{ход}}$) не делится нацело на 64 (в последнем ходе $2^{n}$ должно равняться 64k, что невозможно при свободном перемещении).
   Ответ: а) да; б) нет.